一元函数积分学.ppt

一元函数积分学.ppt

《一元函数积分学.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元函数积分学.ppt（180页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

引言,第三章一元函数积分学,积分学分为不定积分与定积分两部分。

不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系。

本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿-莱布尼茨式公式），解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分。

本章主要内容3.1不定积分3.2不定积分的计算3.3定积分3.4定积分的计算3.5广义积分,3.1.1不定积分的概念,3.1.2不定积分的基本公式和运算法则,3.1不定积分,微分法:

积分法:

互逆运算,3.1.1不定积分的概念,问题提出,定义1若在某一区间上，F（x）=f（x），则在这个区间上，函数F（x）叫做函数f（x）的一个原函数。

一、不定积分的定义,定理1若函数f（x）在某区间上连续，那么f（x）在该区间上的原函数一定存在。

定理2若函数f（x）有原函数，那么它就有无数多个原函数.,定理3函数f（x）的任意两个原函数的差是一个常数。

关于原函数，先研究三个问题：

a.函数f（x）应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？

b.若函数f（x）有原函数，那么原函数一共有多少个？

c.函数f（x）的任意两个原函数之间有什么关系？

定理1：

若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的所有原函数都可以表示成F（x）+C（C为任意常数）。

思考：

如何证明？

定义2若F（x）是f（x）的一个原函数，则f（x）的所有原函数F（x）C称为f（x）的不定积分，记为,x称为积分变量,f（x）称为被积函数，,f（x）dx称为被积表达式,其中称为积分号，,C称为积分常数,例1求下列不定积分,

（1）,

（2）,解：

（2）,（3）,（3）,

（1）,例2用微分法验证等式：

证明：

因为,是cos（2x+3）的一个原函数，,所以,即,几何意义：

不定积分表示积分曲线y=F（x）沿y轴上下平移而得到的一族积分曲线。

二、不定积分的几何意义,例3求经过点（1,3），且其切线的斜率为2x的曲线方程。

解：

由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知,得曲线簇y=x2+C,将x=1,y=3代入，得C=2,所以y=x2+2,3.1.2不定积分的基本公式和运算法则,一、不定积分的基本公式,由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。

因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。

基本积分表,例4,求下列不定积分,

（1）,

（2）,（3）,解：

（1）,

（2）,（3）,例5验证,解：

当x0时，,当x0时，,所以,关于不定积分，还有如下等式成立：

2.,1.,或,或,.不为零的常数因子，可移动到积分号前。

.两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和,（k0）,二、不定积分的运算法则,（可推广到有限多个函数之和的情况）,例6求,解：

原式=,直接积分法：

利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法。

例7求,解：

原式,例8求,解：

原式=,例9求,解：

原式=,说明：

以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式。

课堂思考,不对，例如,3.2不定积分的计算利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。

下面介绍不定积分的两大积分方法:

换元积分法与分部积分法,3.2.1换元积分法一、第一类换元积分法（凑微分法）有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。

例如,想到基本积分公式,若令u2x，把2x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来,定理1设f（u）具有原函数F（u），u（x）可导则有,第一类换元积分法,第一类换元公式（凑微分法）,则有换元公式,注意,使用此公式的关键在于将,第一类换元法又称为凑微分法。

例10求,解：

原式=,推广,解：

例11求,解：

原式=,例12求,解：

原式=,例13求,解：

原式=,同理可得,例14求,解：

说明：

正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应先降幂。

例15求,解,说明：

正余弦三角函数积分奇次幂，拆开奇次项去凑微分。

例16求,解,说明：

正余弦三角函数相乘积分时，拆开奇次项去凑微分。

例17求,解：

利用三角学中的积化和差公式，得,例18求,解法一,解法二,解法三,凑微分常见类型,二、第二类换元积分法第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式。

但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换x（t），而积分,目的：

去根号或化为基本积分公式,可用基本积分公式求解。

定理2设f（x）连续，x（t）是单调可导的连续函数，且其导数（t）0，x（t）的反函数t=-1（x）存在且可导，并且,则,根式代换,例19求,解：

考虑到被积函数中的根号是困难所在，故,令,当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令x=tn（其中n为各根指数的最小公倍数）,例20求,解：

令,例21求,解:

令,则,原式,三角代换,例22求,解:

令,则,原式,小结,注意：

三角代换的目的是化掉根式。

三角代换常有下列规律,可令,可令,可令,例23求,解,令,分母的次幂太高,例24求,令,解,倒数代换,小结,两类积分换元法：

（一）凑微分,

（二）三角代换、根式代换、倒数代换,三角代换常有下列规律,可令,可令,可令,考虑积分,解决思路,利用分部积分法,问题的提出,3.2.2分部积分法,分部积分公式,下面利用两个函数乘积的求导法则，得出求积分的基本方法分部积分法。

对此不等式两边求不定积分,即,分部积分过程：

应用分部积分法时，可按下述步骤计算：

（凑微：

定出）,（分部：

利用分部积分公式）,（积分）,例25求积分,解:

令,若令,显然，选择不当，积分更难进行。

若u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和dv是一个关键。

选取u和dv一般要考虑下面两点：

（1）v要容易求得；,

（2）,要比,容易积出,例26求积分,解,若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为u。

思考：

如何求,例27求积分,解:

令,若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u。

例26求积分,解,复原法在求不定积分时有着广泛的应用。

在计算方法熟练后，分部积分法的替换过程可以省略。

被积函数类型及u和dv的选取法,类型：

类型：

类型：

任意选取,3.3定积分,（DefiniteIntegrals）,定积分是积分学的一个重要概念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积、变力所作的功等均可归结为定积分问题。

本节从求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程入手，引出定积分的概念，接着考虑其性质、计算及其应用。

实例1（求曲边梯形的面积）,一、定积分的概念,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

播放,曲边梯形如图所示，,近似,分割,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,实例2变速直线运动的路程,把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。

对于匀速运动，有公式路程=速度时间,解决变速直接运动的路程的基本思路,设某物体作直线运行，速度v=v（t）是时间间隔T1,T2上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程。

（1）分割,（3）求和,（4）取极限,路程的精确值,

（2）近似,上述两个问题的共性：

解决问题的方法步骤相同：

“分割，近似，求和，取极限”,所求量极限结构式相同：

特殊乘积和式的极限,许多问题的解决都可以化为上述特定和式的极限问题，将其一般化，就得到定积分的概念。

曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,2、定积分的定义,定义1,记为,积分上限,积分下限,积分和,

（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,根据定积分的定义，曲边梯形的面积为,变速直线运动的路程为,注意:

（1）定义中区间的分法和的取法是任意的。

曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,3、定积分的几何意义,一般情况下，定积分表示曲线y=f（x）与x轴介于a、b之间的各部分面积的代数和。

例1利用定义计算定积分,x,y,0,1,采用“以直代曲”的方法,解：

（1）分割,

（2）近似,（3）求和,（4）取极限,例2,面积值为圆的面积的,小结,.定积分的实质：

特殊和式的极限,.定积分的思想和方法：

直（不变）代曲（变）,近似,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。

对定积分的补充规定:

二、定积分的性质,性质1,性质2,（k为常数）,补充：

不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立。

（积分区间的可加性）,性质3,性质4,性质5,推论,证明：

（此性质可用于估计积分值的大致范围）,性质6,证明：

由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间a,b上,性质7（定积分中值定理）,至少存在一个点，使,若函数f（x）在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点，使,积分中值公式,积分中值公式的几何解释：

3.4定积分的计算,3.4.1微积分基本定理,3.4.3定积分的分部积分法,3.4.2定积分的换元积分法,3.4.4定积分的应用,3.4.1微积分基本定理为了得到微积分基本定理，先研究积分上限函数的导数。

设函数f（x）在区间a,b上连续，并且设x为a,b上的一点，考察定积分,记作,积分上限函数,一、积分上限函数及其导数,是x的函数,（或称可变上限积分）,注,积分上限函数的性质,定理1若在a,b上连续，则积分上限函数在a,b上具有导数，且它的导数是,证明：

给x以改变量x，则函数（x）的相应改变量为,由积分中值定理得,从而有,由于f（x）在a,b上连续，又因x0时，0。

故,例3设,解：

，求,例4设，求,解：

设u=2x，根据复合函数求导法则,分析：

这是型不定式，应用洛必达法则。

解：

例5求,思考题,答案,二、微积分基本定理微积分基本定理也可叫做牛顿-莱布尼茨公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值。

定理（微积分基本公式）,证明：

若F（x）是连续函数f（x）在区间a,b上的一个原函数，则,令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：

一个连续函数在区间a,b上的定积分可用它的任意一个原函数在区间a,b端点上的值来表示。

牛顿_艾萨克（16421727）最负盛名的数学家、科学家和哲学家。

他在1687年7月5日发表的自然哲学的数学原理里提出的万有引力定律以及他的牛顿运动定律是经典力学的基石。

牛顿还和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。

莱布尼兹（1646-1716）17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。

他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

例6求,原式,解：

例7设,求.,解：

例8求,解：

3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系。

由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗长复杂。

若采用定积分换元法，比较简便，下面讨论定积分换元法。

3.4.2定积分的换元积分法,的函数，而只要把新变量,积分限也相应的改变。

换成新变量,把变量,

（1）用,应用换元公式时应注意:

时，,

（2）求出,的一个原函数,不必象计算不定积分那样再要把,原变量,限分别代入,然后相减就行了。

后，,变换成,的上、下,例1计算,解,令,例2计算,思考:

几何意义？

解：

设,证明：

例5,当,在,上连续，且有,为奇函数，则,为偶函数，则,思考：

几何意义？

几何解释：

偶函数,奇函数,奇函数,例4计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,定积分的换元法,小结,推导,3.4.3定积分的分部积分法,例1计算,解：

令,则,例2计算,解：

例3计算,解：

设,定积分的分部积分公式,小结,（注意与不定积分分部积分法的区别）,3.4.4定积分的应用一、微元法在应用定积分解决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。

定积分的定义导出有四步，先将a,b分成n个小区间，然后在每个小区间上作近似替代，再求代数和，最后取极限,具体问题只要抓住如下两步便可：

.在区间a,b上任取一点x，在区间x,xdx作微元dAf（x）dx，使得AdAo（x）.对a,b上每一点x的微元无限累加，即这种通过微元简化定积分定义的过程的作法称为微元法,AdAo（x）,应用方向：

平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长、功、水压力、引力和平均值等。

曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,一、平面图形的面积,解：

两曲线的交点,面积元素,选为积分变量,例1计算由两条抛物线,和,所围成的,图形的面积。

解：

两曲线的交点,选为积分变量,（2,-2）,（8,4）,例2计算由曲线,和直线,所围,成的图形的面积。

解：

两曲线的交点,将x当作变量，SS1S2，其中,（2,-2）,（8,4）,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。

圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,y=f（x）,a,b,曲边梯形：

y=f（x），x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,旋转体的体积为,例3求椭圆绕x轴旋转所形成的旋转体的体积,解：

将椭圆方程化为,由公式,得出所求的体积为,例4求由抛物线y=x2及x=2，x轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积.,解:

取y为积分变量，变量y的变化区间为0,4,利用公式：

所求的旋转体的体积为：

小结,曲线x=（y）,直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所形成的旋转体的体积V为:

曲线y=f（x）,直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积V为:

三、平面曲线弧长设yf（x）在a,b上有连续导数f（x），求曲线在a,b上的弧长。

用微元法，在a,b上取小区间x,x+dx，相应地截取一小段弧AD，过A作切线AC，则BCdy，若dx很小，则ACAD，而,例5证明：

半径为a的圆的周长为2a。

解：

设半径a的圆的方程为x2y2a2，则,四、变力做功,知道一个常力F（力的方向，大小都不变）将物体沿力的方向从点a推到点b，所做的功WF（b-a）。

如何求变力F（x）（方向不变）将物体沿力的方向从点a移到点b所做的功W？

在a,b内任取一点x，小区间x,x+dx上功的微元dWF（x）dx,例6设一圆柱形的贮水池高为5米，底面半径为3米，池内装满了水，试问把池内的水全部抽出需做功多少？

解：

小区间x,x+dx，这层水的重力为1000g32dx，把这层水抽出池外需做功近似为dW9000gdx,于是所求的功为,五、定积分在医药学中的应用,例7在测定病人胰岛素时，先让病人禁食以达到降低体内血糖水平，然后通过给病人注射大量的糖，假设测得病人血液中胰岛素的浓度C（t）（单位/ml）符合分段函数其中，时间t的单位为分钟，试求血液中胰岛素在一小时内的浓度变化的平均值,解：

由函数的平均值公式，有,（单位/ml）,课堂练习,课堂思考,椭圆绕x轴与绕y轴旋转所成的体积是否相同，为什么？

在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了因此，我们对定积分作如下两种推广，从而形成“广义积分”的概念,问题提出,3.5广义积分（improperintegral）,问题的提出（Introduction）,前面遇到的定积分,是确定的常数，且,在,上连续。

那么如何计算下列两种类型的积分？

是普通的积分，,定义4设函数f（x）在区间a,+）内连续，b是a,+）内任一实数，若极限存在，则称此极限值为函数f（x）在区间a,+）内的广义积分，记做,并称此时广义积分收敛，否则，若不存在，则称此时广义积分发散.,同样可定义在区间（-,b上的广义积分,符号称为f（x）在区间（-，+）上的广义积分，若对任意实数c，广义积分和都收敛，则称广义积分收敛或存在，否则称为发散,例1计算广义积分,这个广义积分值的几何意义是：

当a-,b+时，虽然图中阴影部分向左、右无限延伸，但面积却有极限值。

简单地说，它是位于曲线的下方，x轴上方的图形面积。

例2讨论广义积分敛散性。

3.5.2无界函数的广义积分定义5设函数f（x）在（a,b上连续，且若对于任意，极限存在，则称此极限值为函数f（x）在a,b上的广义积分，记为,并称此时广义积分收敛，否则就说广义积分发散，其中a称为瑕点，此积分也称为瑕积分。

同样，若设函数f（x）在a,b）上连续，且，任取，则定义广义积分,只有当右边两个极限都存在时，广义积分才收敛，否则称此广义积分发散.,若函数f（x）在区间a,b内除xc外连续，且，任取1,2，则定义广义积分,例3计算广义积分,解：

因为，xa为瑕点，,例4判别的敛散性,解：

被积函数在积分区间上除x外皆连续，且,并由于,即广义积分发散，所以原广义积分发散.,注意：

若疏忽于x是被积函数的瑕点（或无穷间断点），就会得到以下错误结果,广义积分是定积分的推广，熟悉无穷区间的广义积分定义与计算，了解无界函数的广义积分。

课堂练习,分部积分在广义积分中的应用,课堂思考（广义积分在天体物理学中的应用）,万有引力和宇宙速度,空间技术的动力学原理基本上是牛顿力学。

使物体绕地球作圆周运动的速度被称为第一宇宙速度（7.9km/s）；使物体摆脱地球引力，飞离地球的速度被称为第二宇宙速度（11.2km/s）；使物体摆脱太阳引力，飞出太阳系的速度被称为第三宇宙速度（16.7km/s）。

第二宇宙速度（宇宙飞船脱离地球引力所需速度）,课堂思考（广义积分在医药学中的应用）,例假设口服一定剂量的某种药物后，血药浓度与时间的关系为：

C（t）40（e0.2t-e2.3t）研究表明：

血药浓度与时间曲线下的面积反映药物吸收程度代表药物的生物利用度大小试求c-t曲线下的面积AUC,