考研数学练习题推荐.docx
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考研数学练习题推荐
考研数学练习题推荐
WD《考前冲刺最后3套题》★★★
比较简单，练练手不错。
恩波《最后冲刺成功8套卷》★★★
网上都喊不难，但是我做的不是很理想。
怎么说呢，总觉得题目怪怪的。
和真题完全不是一个类型。
考试虫《8套模拟试卷》★★★
面市时间过早。
没有一定的能力就去做模拟题的话，效果不是很大。
虽然卖点是众多前命题组成员的集体智慧结晶，但也意味着出题风格与极力创新的现命题组的思路格格不入。
陈文灯《复习指南之100问专题串讲》★★★
两位考研前辈编写的一本书，具有一定的示范效应。
形式有点类似大帝的《超越135》，不过内容没那么全。
有些很巧很赞的方法，也有些方法复杂到不实用。
知识部分的讲解常有神来之笔。
李永乐《最后冲刺超越135分》★★★☆
以专题的形式呈现考研数学的重点内容。
并附有典型例题，有些难度很大，有些极其复杂。
但大部分还是令人舒坦的。
因为是例题，有人可能会倾向于只看不做。
我觉得还是笔耕不辍为妙。
不能说冲刺必备，但用来配合全书或指南做最后一轮复习还是可行的。
李永乐《基础过关660题》★★★☆
一本客观题练习集。
真的如传闻所言只是第一轮复习书吗?
我看未必。
书中的相当部分题目还是很有难度的。
我是这样理解的，如果660道题全会做，你的基础才算过关。
李永乐《线性代数辅导讲义》★★★★
大帝无愧于“线代之王”的称号。
薄薄的一本书把考研数学线性代数部分研究的非常透彻。
第二三轮复习必备。
得力于该书所讲的求行列式的递进法，我幸运地做对了08年考试中线代的一道难题。
黄先开曹显兵《经典冲刺5套卷》★★★☆
难度一般，可以拿来建立信心。
一些题目体现出了新鲜的元素，不妨做做让脑筋转转弯。
陈文灯《单选题解题方法与技巧》★★★★
Excellent，难以用语言形容。
如果用心做完这本书选择题还拿不了满分，真可以称得上是奇迹了。
《考研数学考试分析》★★★★
在复习末期，精心准备的考生一定会有这样一个问题。
那就是解题的规范性。
计算题和证明题，究竟怎么答才算标准，才不用担心因解题不规范而丢掉分数?
答案就在这本书中。
近四年数一到数四的真题及标准解题过程应有尽有，好好研究模仿吧。
对于经济类考生的又一大福音就是可以接触到数学一的真题。
做做数一还是有助于拓宽思路提升水平的。
\
姚孟臣《概率论与数理统计讲义》&《概率论与数理统计题型精讲》★★★★
在做这两本书之前，我感觉概率与统计部分很难很难。
做完之后，我豁然开朗到08年考试概率与统计部分得到了满分。
题量有点大，要学会举一反三才行。
有些数学符号和语言表述可能会让大家不太习惯。
李永乐《历年试题解析》★★★★
数学真题具有重大的战略意义。
从第二轮复习开始到考试前，需要经常反复地揣摩鉴赏。
大帝的这本书，解析详尽，触类旁通，非常不错。
另外其单独地列出真题，可以直接拿来模拟。
武忠祥《历年真题分类解析》★★★★☆
另一本优秀的数学真题书。
汇集了从1987起所有的历年真题，独一无二。
分类解析虽然算不上有新意，但难能可贵的是对题目在各章的分布做了详细统计，使考生对考试重点一目了然。
每章还附有练习题，可惜没有解析。
客观题解题方法部分犹如隔靴搔痒，令人意犹未尽。
李永乐《全真模拟经典400题》★★★★☆
大名鼎鼎，模拟必备。
前半部分重点解读新增考点，后半部分的十套题基本涵盖了全部知识点。
这本书拿在手中，首先要心态平稳，戒除恐惧。
从我第一年花5，6个小时做完拿七八十分到第二年花3个小时做完拿一百二三十分的经历来看，如果你觉得它太难，可能你的复习还有不少薄弱环节或者知识还未连成体系。
《考研数学大纲解析》★★★★☆
还是反复强调的权威性，该书中没出现的符号，公式等可以不用再考虑了。
对待这本书，要像对待全书或指南那么严肃。
内容均耳熟能详，例题也都是历年真题并附有常见错误做法以提醒考生。
看起来应该不会很费时费力。
另外，需要重点关注下书中提到的每章常考题型。
李永乐《复习全书》&陈文灯《复习指南》★★★★★
绝代双骄。
没必要纠缠在这两本书的比较上。
大帝的书不是那么简单，灯哥的书也不见得有多难。
前者内容完整即所谓的基础性，但编排略显杂乱;后者概括性很强令人一目了然但内容有所欠缺。
一个事实：
大帝专攻线代，灯哥长于高数。
另一个事实：
两者都是好书。
当然前提是你认真地做了两遍以上。
注意是做不是看。
也不能只做不思考。
详细解析
一、选择题：
1、首先讨论间断点：
1°当分母2?
e?
0时，x?
2x
2
，且limf?
?
，此为无穷间断点；
2ln2x?
ln2x?
0?
2°当x?
0时，limf?
0?
1?
1，limf?
2?
1?
1，此为可去间断点。
x?
0?
再讨论渐近线：
1°如上面所讨论的，limf?
?
，则x?
x?
2
ln2
2
为垂直渐近线；ln2
2°limf?
limf?
5，则y?
5为水平渐近线。
x
x
当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。
2、f?
|x4?
x|sgn?
|x|
sgn?
|x|。
可见x?
?
1为可导点，x?
0和x?
3为
不可导点。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：
f|?
?
|，当xi?
yj时
为可导点，否则为不可导点。
注意不可导点只与绝对值内的点有关。
?
x
x?
0?
设f?
?
ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是
?
,x?
0?
0
0
x?
0
1
2
3
limf?
f?
0，故f在x?
0处连续。
f’?
lim
x?
0
f?
f
?
0，故f在x?
0处一阶可导。
x?
0
当x?
0时，f’?
?
?
?
x12x’
‘223
?
ln?
lnlnxsgnx
?
12
，则limf’?
f’?
0，故f’在x?
0处连续。
?
23x?
0ln|x|ln|x|f’’?
lim
x?
0
f’?
f’
?
?
，故f在x?
0处不二阶可导。
x?
0
a
b
x?
0
对?
a,b?
0，limxln|x|?
0。
这是我们反复强调的重要结论。
3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?
1,1]内可积；
1?
?
?
sin,x?
0
对，首先假设该函数存在原函数F?
?
，但对任意常数C，都无x
?
x?
0?
C
法满足F’?
lim
x?
0
11F?
F1
?
0，故该函数不存在原函数。
另一方面，?
2cosdx
?
1xx?
0x
111
?
2?
2cosdx?
?
2sin，该结果无意义，故该函数在[?
1,1]内不可积。
0xxx0
1
1
对，x?
0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。
另一方面，
?
1
arctan
1
dx和x
?
?
1
arctan
1
dx都有意义，故该函数在[?
1,1]内可积。
x
对，显然该函数存在原函数。
但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?
1,1]内不可积。
设f?
?
1
?
1
tan
?
x
2
dx发散，arctan?
C?
?
222?
?
21?
cosxsecx?
12?
tanx2?
2?
?
1tanx
arctan?
0?
x
2222
不妨令F?
?
，那么f在[0,?
]内的所有原函数0 ,x?
2?
?
1?
?
tanx
arctan,?
x2?
2?
2?
2?
为F?
C，其中C为常数。
如果不采用上述“拼凑”，则不能保证
1?
tanx?
arctan?
?
在[0,?
]内连续，更谈不2?
2?
上可导。
4、对，原式?
?
1
lnxx
3
dx?
?
?
1ylnylnyy
33
1
dy，其中?
1
lnxx
3
dx和?
?
?
1ylny
3
1
dy都发散，
故该二重积分也发散；对，原式?
发散；
1
?
1
1xlnx
3
dx?
?
?
1
dy，其中?
1
1xlnx
3
dx发散，故该二重积分也
对，原式?
?
lnxxe
?
03
dx?
?
?
e
?
1
y3
1
y
dy，其中?
1
lnxx
3
dx发散，故该二重积分也发散；
对，原式?
?
1
1
x3
x
dx?
?
?
lnyy
3
1
dy，其中?
1
e
?
1x3
x
dx和?
?
?
lnyy
3
1
dy都收敛，故该二
重积分也收敛。
1°2011智轩高等数学基础导学讲义原文：
变量x和y之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。
2°同济六版高等数学教材上册原文：
设函数f在区间[a,?
?
）上连续，且f?
0。
如果存在常数p?
1，使得limxf存在，则反常积分
x
p
?
?
?
a
fdx收敛；如果limxf?
d?
0，
x
或limxf，则反常积分
x
?
?
a
fdx发散。
设函数f在区间?
0，x?
a
q
为函数f的暇点。
如果存在常数0?
q?
1，使得limf存在，则反常积分?
fdx收敛；如果limf?
d?
0，或
a
x?
a?
q
b
x?
a?
limf，则反常
x?
b?
x?
b?
积分
?
b
a
fdx发散。
※下列反常积分收敛的是
1
?
0lnxdx
1
?
?
?
1
1
dxlnx
?
1
lnxx
dx
?
?
?
lnxx
1
dx
※下列反常积分发散的是
1x3
1x3
?
?
1
lnxx
3
2
dx
?
?
?
lnxx
3
2
1
dx
?
?
1
e
?
x
dx
?
?
?
e
?
1
x
dx
※下列反常积分发散的是
?
?
ln
dx
x
?
?
1
1sindx
xx
1
?
?
?
arctanxx
dx
?
?
?
1?
x
edxx2
5、正确答案为。
下面进行讨论：
fx’?
lim
则f可微。
?
x?
0
f?
ff
?
0，同理fy’?
0，且lim?
0，
22?
x?
0?
x?
x?
?
y?
y?
0
另一方面，当x2?
y2?
0时，fx’?
2xsin
12x1
，显然?
cos222222
x?
yx?
yx?
y
limfx’?
fx’。
同理limfy’?
fy’。
x?
0
y?
0
x?
0y?
0
对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续；对，f在点处不可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’不连续；对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续。
以上三个选项留给大家练习。
2011智轩高等数学基础导学讲义——第7章第6页原文：
22
?
?
g,x?
y?
0
快速判断f?
?
在点是否可微的技巧如下：
22
?
0 ,x?
y?
0?
下列二元函数在点处可微的是
1?
2222
x?
y,x?
y?
0?
22
x?
yf?
?
?
0 ,x2?
y2?
0?
1?
22
xy|sin,x?
y?
0?
22
x?
yf?
?
?
0 ,x2?
y2?
0?
?
x3?
y322,x?
y?
0?
22
f?
?
x?
y
?
,x2?
y2?
0?
0
?
?
212
?
ex?
y,x2?
y2?
0
f?
?
?
0 ,x2?
y2?
0?
6、引用《2011年智轩考研数学红宝书》原文：
?
fxx’’
由Hessian矩阵H?
?
?
fxy’’fxy’’?
的正定性决定极值的充分条件如下：
fyy’’?
?
1°H正定?
fxx’’?
0或fyy’’?
0，且|H|?
0?
极小值；°H负定?
fxx’’?
0或fyy’’?
0，且|H|?
0?
极大值；°H不定?
|H|?
0?
非极值；
H不定?
|H|?
0，不能确定，应特别讨论。
下面逐一讨论选项：
对，根据2°和3°，当f是极大值时，H只能是负定矩阵或不定矩阵，正确；
对，根据1°，正确；对，根据3°的第2条，正确；
对，根据3°的第1条，若fxy’’?
0，则|H|?
?
[fxy’’]?
0，非极值，与已知矛盾，故入选。
由极值出发讨论Hessian矩阵时，要留意Hessian矩阵不定的情形。
※设f在P的某邻域内有二阶连续的偏导数，且记
2
A?
fxx’’，B?
fxy’’，C?
fyy’’
一、选择题
1?
2
?
xcos?
asinx,x?
0,
1、设f?
?
，且f在x?
0处可导，则?
?
bx?
c,
x?
0,?
A?
a?
?
b,c?
0?
B?
a?
b,c?
0?
C?
a?
?
b,c任意?
D?
a?
b,c任意
2、设连续函数f在u?
0处可导,且f?
0,lim1
t?
0
?
?
t4
x2
fdxdy＝y2?
t2
?
A?
1f?
?
B?
?
1
f?
?
C?
f?
?
D?
?
f?
3、设f在可导，x0?
0，）是y?
f的拐点，则?
A?
x0必是f?
的驻点
?
B?
）必是y?
?
f的拐点?
C?
）必是y?
?
f的拐点
?
D?
对?
x?
x0与x?
x0，y?
f的凹凸性相反
4、曲线y?
x2
与直线x?
0,x?
1,y?
t所围成的图形的面积情况为
?
A?
t?
12时,面积最大?
B?
t?
1
2时,面积最小?
C?
t?
1?
D?
t?
1
4时,面积最大4时,面积最小
5、设A是n阶矩阵，且A的行列式|A|?
0，则A中?
A?
必有一列元素全为0?
B?
必有两列元素对应成比例
第1页共页
）
TT
?
A?
0?
B?
1?
C?
?
D?
7、设两事件A,B，已知AB?
，则必有
?
A?
A与B独立?
B?
A?
B?
C?
A=B?
D?
A与B对立
8、设X~P，则Y?
3X?
2X?
1的数学期望为
2
?
A?
?
?
B?
?
?
C?
?
2
?
5?
?
1?
D?
?
2?
2?
?
1
二、填空题、微分方程y?
?
ytanx?
cosx的通解y=______________.10、设f为可导函数，且满足条件lim
x?
0
f?
f
?
?
1，则曲线y?
f在点）处
2x
的切线斜率为______________.11、设
3n?
1
的收敛域是，则axax?
2,2n?
n的收敛半径是_____________.
n
n?
1
n?
1
?
?
12、设S
表示半球面z?
则曲面积分I?
?
?
dxdy?
______________.
S
?
102?
?
?
13、设A是4?
3矩阵，且A的秩r?
2，而B?
?
020?
，则r=______________.
?
?
103
14、设二维随机变量~N,Z?
X?
Y，则Cov?
______________.
三、解答题15、
1
第页共页
1
求极限limx。
x?
0
16、
设x?
，证明ln2?
x2。
17、
?
2z
设z?
f?
u,x,y?
u?
xe其中f具有二阶连续偏导数，求dz,。
?
x?
y
y
18、
计算积分
19、
设L是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为。
记
D
?
x?
1?
，其中D:
?
?
?
0?
y?
2
I?
?
dx?
dy，y
证明:
曲线积分I与路径L无关；当ab?
cd时，求I的值。
0、
设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2?
2A?
0，已知A的秩为r?
求A的全部特征值；
当k为何值时，矩阵A?
kE为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
21、
第页共页
?
x1x3
问?
为何值时，线性方程组?
4x1?
x2?
2x32有解，并求出解的一般形式。
?
6x?
x?
4x?
2?
?
3
3?
12
22、
?
1?
2x
?
e,x?
0,2?
y?
6
已知二维随机变量的联合分布密度为f?
?
?
其它?
0,
求P?
X?
3Y?
2?
;
Z?
3X?
Y的概率密度fZ。
23、
设A，B为两个随机事件,且P?
111
P?
P?
令32
A发生，?
1,?
1,B发生，Y?
?
X?
?
0，A不发生，0，B不发生.?
?
求
二维随机变量的概率分布；Z?
X?
Y的概率分布。
2
2
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