版高中数学第一章解三角形111正弦定理二学案新人教B版必修5含答案.docx
《版高中数学第一章解三角形111正弦定理二学案新人教B版必修5含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学第一章解三角形111正弦定理二学案新人教B版必修5含答案.docx（5页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
版高中数学第一章解三角形111正弦定理二学案新人教B版必修5含答案
1.1.1 正弦定理
（二）
学习目标
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题．
知识点一 正弦定理的常见变形
1．sinA∶sinB∶sinC＝________；
2.
＝
＝
＝
＝______；
3．a＝__________，b＝____________，c＝__________；
4．sinA＝__________，sinB＝________，sinC＝__________.
知识点二 判断三角形解的个数
思考1 在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形解的个数．
梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角，三角形解的个数并不一定唯一．
例如在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理
＝
，可求得sinB＝
.在由sinB求B时，如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a思考2 已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？
梳理 解三角形4个基本类型：
（1）已知三边；
（2）已知两边及其夹角；（3）已知两边及其一边对角；（4）已知一边两角．
其中只有类型（3）解的个数不确定．
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1 在△ABC中，已知acosB＝bcosA．你能把其中的边a，b化为用角表示吗（打算怎么用上述条件）?
梳理 一个公式就是一座桥梁，可以连接等号两端．正弦定理的本质就是给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系．所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来．简称边角互化．
思考2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化？
类型一 判断三角形解的个数
例1 在△ABC中，已知a＝1，b＝
，A＝30°，解三角形．
引申探究
若a＝
，b＝1，B＝120°，解三角形．
反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值（不等于1时）在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求．
跟踪训练1 已知一三角形中a＝2
，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形．
类型二 利用正弦定理求最值或取值范围
例2 在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．
反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题：
（1）先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素．
（2）将所求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（三角函数），从而转化为函数的值域或最值问题．
跟踪训练2 在△ABC中，若C＝2B，求
的取值范围．
类型三 正弦定理与三角变换的综合
例3 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．
反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．
跟踪训练3 已知方程x2－（bcosA）x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，其中a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状．
1．在△ABC中，AC＝
，BC＝2，B＝60°，则角C的值为（ ）
A．45°B．30°C．75°D．90°
2．在△ABC中，若
＝
＝
，则△ABC是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求
的值．
1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．
2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．
升级会员 