7.
已知向^a=（cos0.sin0）,Z?
=（l,-2）,若a/lb,则代数式型纟二竺纟的值是（）
sin0+cos0
C-5
A-1
jrTT
函数/（x）=cos（2x+—）的图象可由函数g（x）=sin（2x+—）的图彖如何变换得到（）
TT
A.向左平移工个单位长度得到
2
7T
B.向右平移上个单位长度得到
2
TT
c向左平移才个单位长度得到
7T
D.向右平移工个单位长度得到
4
9.已知a=（cosQ,sinQ）,b=
（cos（-a）,sin（-a））,那么“ab=0”是“Q=比兀+彳（keZ）”
A.
充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.
充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知函数f（x）=x3-6x2+9x,g（x）
意的XiGfO,4],总存在x2e[0,4],
Irr>0
12-己知函数用）=e；K。
’蛉）"@是自然对数的底数），若关于x的方程5））”。
恰有两
个不等实根旺、兀2，且占<兀2，则兀2-西的最小值为
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
7[
13.函数y=Asin（ex+0）（4>0,血>0」（p\<~）的图彖如右图，则该函
数的表达式为
14.下面四个命题：
1命题“Hx>0,3x+2V0”的否定是Tx>0,xJ3x+2M0”；
2要得到函数y=sin（2x+-）的图彖，只要将y=sin2x的图彖向左平移兰个单位；
33
3若定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x）,则f（x）是周期函数；
4已知奇函数f（x）在（0,+<-）上为增函数，且f（-1）=0,则不等式f（x）<0的解集为{x|x
<-1}.
其中正确的是.（填写序号）
15.三角形的三条边成等差数列，且最大内角为120度，则三条边从小到大的比为
16.已知函数/（x）=H满足/（x）=g（x）+h（x）,且分别是上的偶函数和奇函数，若Vvg（O,2]
使得不等式g（2x）-创（x）no恒成立，则实数的収值范围是
三、解答题：
（17题~21题，每题12分，选做题10分，共70分。
）
17.已知向量m=（cosoiv,sincox）,n=（cosozr,V3cos6t2¥）（69>0）,设函数f（x）=m-n——
2
TT
（1）若函数J\x）的零点组成公差为斤的等差数列，求函数/（兀）的单调递增区间；
'jy"JlII
（2）若函数于（兀）的图象的一条对称轴是x=—（0<^<3）,当-一vxW—吋，求函数/（兀）的值
1268
域.
18.
如图所示，在\ABC中，M是AC的中点,
71
ZC=-.AM=2.
3
7T
（1）若ZA=—,求AB；
4
（2）若BM=",求AABC的面积S.
19.2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:
11
关注
不关注
合计
青少年
15
中老年
合计
50
50
100
（1）根据已知条件完成上面的2x2列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？
（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选収的3人中关注“一带一路”的人数为X,求X的分布列及数学期望.
其中n=d+b+c+d
附:
参考公式K?
二-—"缪严—-
（Q+b）（c+d）（a+c）（/?
+d）
临界值表:
P（K2>KQ）
0.05
0.010
0.001
K°
3.841
6.635
10.828
乂3
20.
设函数/（%）=（a+l）/+4or+/?
其中a、beF
21.己知函数/（x）=xlnx+ov+1,awR•
（1）当x〉o吋，若关于x的不等式/（X）>0恒成立，求a的取值范围;
（2）当ne时，证明：
—^―2卅+42nn+\
请考生从22.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑，并在答题过程中写清每问的小题号
22.在直角坐标系兀Oy中，直线/的倾斜角为且经过点P（-l,0）.以原点0为极点，以轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为
”一6qcos&+5=0.
（1）若直线/与曲线C有公共点，求的取值范围；
（2）设M（x,y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围.
23.设函数f{x）=ax-\.
（1）若/（x）<2的解集为[—3,1],求实数a的值；
（2）当a=2时，若存在xeR,使得不等式/（2x+l）—/（x—1）<7—3加成立，求实数m的取值范围.
高2016级高三（上期）10月月考理科数学试题答案
I.D2.B3.B4.D5.D6.D7.C8.C9.B10.A
II.C
【考点】6K：
导数在最大值、最小值问题中的应用.
【解答】解：
惭数f（x）=x'-6x2+9x,导数为f‘（x）二3/-12x+9二3（x-1）（x-3）,可得f（x）的极值点为1,3,
由f（0）=0,f
（1）=4,f（3）=0,f（4）=4,
可得f（x）在［0,4］的值域为［0,4］；
g（x）二吉x-卑5+ax-吉（a>l）,
323
导数为g'（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）,
当1当xVl或x>a时，g'（x）>0,g（x）递增.
由g（0）=--y,g
（1）二专（a-1）,g（a）=--^-aJ+~-a2-g（4）=13-4a,当3WaW4时,13・4aW*（a・l）,
g（x）在［0,4］的值域为［■寺，寺（a-1）］,
由对任意的XiG［0,4］,总存在［0,4］,使得f（xi）二g（X2）,
可得［0,4］匸［-寺,寺（a-1）］,即有4W*（a-1）,解得a29不成立；当lVaV3时，13・4a>*（a・l）,g（X）在［0,4］的值域为［-y,13-4a］,由题意可得［0,4］匸［■寺,13・4a］,
qq
即有4W13-4a,解得aW亍，即为1当a>4时，可得g
（1）取得最大值，g（4）<-3为最小值，即有［0,4］c［13-4a,*1）］,
113
可得13-4aW0,4W丁（a-1）,即a^—且aM9,
g
综上可得，a的取值范围是（1,亍]U[9,+Q.
14.①③15.3:
5:
7
故选：
C.
12.D13.y=2sin（2x+—）
16.【答案】C00，2⑵
2-2t+->2^*3厂厂厂
Y,此时不等式t,当且仅当t,即t珂2时，取等号，.732",故答案为（v,2j2].
17.由/（%）=/7?
•7?
-—=cos2air+V3sin-—
Z5+匣sin2血-丄=sin（2少+◎・・・2分
226
TTITTT222TC
由切巧4+訂2炽+空得-
=sin（4x+—）
6
分）
（2）在屮，由余弦定理得
:
.S^=-xBCxCMxsm-=
23
妝./+胡J如眈g分血+WM眈冷，
7=4+EC2-2EC,解得BC=3（负值舍去），
7091
・・・M是的中点，.：
$=2爲妣=3柘・（12分）
关注
不关注
合计
青少年
15
30
45
中老年
35
20
55
合计
50
50
100
19-⑴依题意可知，抽取的“青少年”共有lOOx和45人，“中老年”^100-45=55A.
完成的2X2列联表如:
_n（ad一be），_1（X）x（3（）x35-2（）x15尸
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）55x50x55x45
因为卩（疋>6.635）=0.01,9.091>6.635，所以有99%的把握认为关注“一带一路”和年龄段有关
（2）根据题意知，选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问，的取值可
以为0,1,2,3,则
0
1
2
3
5
15
3
1
21
28
14
84
所以的分布列为数学期望盼口煜+1唔+2唱+3x〜時“
20.【考点】函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性.
【分析】
（1）先求导函数，利用函数f（x）在x=3处取得极小值是寺，可得f‘（3）二0,f（3）二*,从而可求a、b的值;
（IT）先求导函数，f‘（x）=x2-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）,比较2a与2的大小，从而进行分类讨论，进而可确定函数的单调递增区间
（III）函数f（X）在（・1,1）±有且只有一个极值点，等价于（x）在（・1,1）上有且只有一个fa解；由（IT）及零点存在定理可得彳,，从而可确定a的収值范围.
f
（1）<0
【解答】解：
（I）•・•『（x）二处・2（a+1）x+4a
31
Af/（3）=9-6（a+1）+4a=0得洸Tf（3）二三解得：
b=-4
乙I乙
（II）Tf'（x）=x-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f‘（x）二0,即x二2a或x二2.
当a>l时，2a>2,Af7（x）>0时，x>2a或x<2,即f（x）的单调递增区间为（-f2）和（2a,
+8）.
当护1时，f‘（x）=（x-2）空0,即f（x）的单调递增区I'可为（-f+8）.
当a0时，x<2a或x>2,即f（x）的单调递增区间为（・8,2a）和（2,
+8）.
21.
（1）rtif（x）>OfWxlnx+ox+1>0（x>0）.
整理，得一a<\nx+丄恒成立，即一6r<（lnx+—）niin.XX
令F（x）=lnx+-.则F（r）=--丄=卑.
XxX
・・・幣数F（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增.
・・・函数F（x）=lnx+-的最小值为F（l）=1.
x
/.—a<1,即dn—1.
・・・a的取值范围是［-l,+oo）.
（2）・・・为数列［J{的前n项和，丄为数列|—?
—［的前n项和.
2n+4I（n+1）（h+2）In+\In{n+1）
・•・只需证明!
—即可.
（/?
+l）（n+2）nn（n+1）
由
（1）,当q=-1时，Wxlnx-x+1>0,即lnx>x-—.
X
zn+\.〃+1.n1
令尢=——>1,即得In——>1=——•
nn72+172+1
Aln2-^^->（^—）2>
nn+\（斤+1）（〃+2）n+1n+2
现证明ln2^<—]—
nn{n+1）
<
现证明21nx1）.
构造函数G（x）=x-—-2\nx（x>1）,
X
nIc/、.12—2兀4"1
则GG）=1+———=z——>0•
XX
•••函数G（x）在［l,+8）上是增函数，即G（x）>G（l）=0.
・••当兀>1时,有G（x）>0,即21n兀v兀一丄成立.
X
令x=J—f贝9（*）式成立.综上，得Vn（斤+l）（n+2）n“（Ti+1）
对数列[1LLn21—?
—[分别求前n项和，得
[（n+l）（〃+2）J[nJ[/?
.（/?
+1）J
n」ri23,2〃+1n
2n+42nn+\
22.
（1）将C的极坐标方程6qcos&+5=0化为直角坐标为Jc2+y2-6x+5=0直线的参数方程为
“+心％为参数）.y=tsina
2分
将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得尸—&cosa+12=0，
得cosa>
直线与曲线有公共点,aA=64cos2€Z-48>0
ae[0,7i\:
.a的取值范围为
[O$]
6
（2）曲线C的方程F+歹2_6兀+5=0化为（X—3尸+尸=4,
其参数力程为
x=3+2cos&八]、r.八（&为参数）,
y=2sin&
M（兀刃为曲线C上任意一点,
.•.x+y=3+2cos+2sin=3+2>/2sin|0+—\,
•••兀+y的取值范围是[3-272,3+2721.
10分
23
.
（1）/（^）<2B|J|or-l<2,-2<-1<2,-\当Q>0时，一丄<兀5°,即一-=-3,3=1无解aaaa
当Q<0时，-令一丄=1,-=-3,解得a=-\aaaa
综上：
a--\
（2）当d=2时，h（x）=f（2x+1）-f（x-1）
17
当x—时,方（兀）有最小值,B|J/?
（^）min=-—
■
-2x-4,x<——
4
z3
6工一2,——42
3
2x+4,x>—
2
存在xeR,使得不等式/（2x+1）—/（兀一1）57—3加成立,
等价于/2（x）inin<7-3m,即一-<7-3m,所以m<-
10分
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