直线平面垂直的判定与性质.docx

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直线平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质

高中数学

高中三年级

江苏

60

线面垂直的判定与线面角

面面垂直的判定与二面角

线面垂直的性质

面面垂直的性质

平行、垂直关系的综合问题

使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

直线与平面垂直的判定和性质定理的应用

近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。

在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。

直线与平面垂直

（1）直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

（2）直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b

平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

判定线面垂直的常用方法

（1）利用线面垂直的判定定理．

（2）利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．

（3）利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．

（4）利用面面垂直的性质．

判定线线垂直的方法：

（1）平面几何中证明线线垂直的方法；

（2）线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

（3）线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

判断面面垂直的方法

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

（2014·盐城摸底）设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

（1）若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；

（2）若m⊥α，n∥m，则n⊥α；

（3）若n∥α，m⊂α，则n∥m；

（4）若m∥α，n∥α，则m∥n.

其中真命题是________（填序号）．

（2）

对于

（1），n⊂α，n与α相交，n⊥α都有可能；对于（3），n与m异面，n∥m都有可能；对于（4），m与n相交，平行，异面都有可能．

（2014·常州模拟）给出下列命题：

（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，则另一条直线也与直线m垂直；

（4）若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中所有真命题的序号为________．

（1）（3）（4）

由判定定理可知

（1）正确；

（2）中没有明确这两条直线是否相交，故

（2）错误；由等角定理可知（3）正确；（4）中若与交线不垂直的直线与另一个平面垂直，可在该平面内作一条与交线垂直的线，则该直线必定垂直于另一个平面，这样与交线垂直的直线和不垂直的直线相互平行，这在同一平面内相互矛盾，故（4）正确．

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题

①

⇒β∥γ　②

⇒m⊥β

③

⇒α⊥β　④

⇒m∥α

其中正确的命题是________（填写序号）．

①③

对于②，直线m与平面β可能平行或相交；对于④，直线m可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．

（1）求证：

直线AE⊥直线DA1；

（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.

见解析

（1）证明：

连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，

又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.

（2）所示G点即为A1点，证明如下：

由

（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，

∵AE⊂平面AHE，

∴DF⊥AE.

又DF∩A1D＝D，

∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.

（2013·徐州、宿迁三检）如图，AB，CD均为圆O的直径，CE垂直圆O所在的平面，BF∥CE.求证：

（1）平面BCEF⊥平面ACE；

（2）直线DF∥平面ACE.

见解析

证明：

（1）因为CE垂直圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以CE⊥BC.

因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC.

因为AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面ACE，

所以BC⊥平面ACE.

因为BC⊂平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE.

（2）由

（1）知AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，

所以BD⊥BC.

因为AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD.

因为BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，

所以BD∥平面ACE.

因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE.

因为BD∩BF＝B，BD，BF⊂平面BDF，

所以平面BDF∥平面ACE.

因为DF⊂平面BDF，所以直线DF∥平面ACE.

1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．

2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．

3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．