线面垂直的判定与性质.docx

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线面垂直的判定与性质

线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：

如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：

一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

例1题图

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：

EF⊥SC.

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设

EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样

SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明

AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，

∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平

面SBC的证明.

【规范解答】

【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.

【例2】已知：

M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：

QR⊥AB.

【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有

（1）a∥b,a⊥c

b⊥c;

（2）a⊥α,b

α

a⊥b;（3）三垂线定理及其逆定理.

由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.

【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.

所谓“一个面”：

就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.

所谓“四条线”：

就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：

确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.

【例3】已知如图

（1）所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图

（2）形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:

A1C⊥AB1.

例3题图解

（1）

【解前点津】题设主要条件是AB1⊥BC，而结论是AB1⊥A1C，题设，题断有对答性，可在ABB1A1上作文章，只要取A1B1中点D1，就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB中点D即可，只要证得A1D垂直于AB1，事实上DBD1A1，为平行四边形，解题路子清楚了.

【解后归纳】证线线垂直主要途径是：

（1）三垂线正逆定理，

（2）线面，线线垂直互相转化.

利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.

证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.

例4题图

【例4】空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是.

【解前点津】如图，在直角梯形ABCD1中,CD1=6,

AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3,

∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为

【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.

●对应训练分阶提升

一、基础夯实

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①

②

③

b∥M④

b⊥M.

其中正确的命题是（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①②④

2.下列命题中正确的是（）

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有（）

第3题图

A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF

4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是（）

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:

l=β∩γ,l∥α,m

α和m⊥γ,那么必有（）

A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ

6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为（）

A.1B.2C.

D.

7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是（）

A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合

B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合

C.α与β必相交且交线m与d一定不平行

D.α与β不一定相交

9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

1若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，

其中真命题的序号是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

10.已知直线l⊥平面α，直线m

平面β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.

其中正确的命题是（）

A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②

二、思维激活

11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1（注:

填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）

13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时，有VC⊥AB.（注：

填上你认为正确的一种条件即可）

三、能力提高

14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

第14题图

（1）求证:

VC⊥AB;

（2）若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC

所成角的大小.

15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

第15题图

（1）求证：

MN∥平面PAD.

（2）求证：

MN⊥CD.

（3）若∠PDA＝45°，求证：

MN⊥平面PCD.

16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝

，PD＝

.

（1）求证：

BD⊥平面PAD.

（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=

，M是CC1的中点，求证：

AB1⊥A1M．

18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

（1）求证：

NP⊥平面ABCD.

第18题图

（2）求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

（3）求点C到平面D′MB的距离.

第4课线面垂直习题解答

1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.

2.C由线面垂直的性质定理可知.

3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.

4.D过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.

5.A依题意,m⊥γ且m

α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l

γ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.

6.D过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=

，

，

∴PD=

.

7.D由定理及性质知三个命题均正确.

8.A显然α与β不平行.

9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.

10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m

11.

cm2设正三角A′B′C′的边长为a.

∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，

又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．

S△A′B′C′=

cm2．

12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD（或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等）时,有A1C⊥B1D1（注:

填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形）.

点评：

本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.

14.

（1）证明:

∵H为△VBC的垂心,

∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,

∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.

（2）解:

由

（1）知VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,

∴AB⊥面DEC.

∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，

∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,

∴VC在底面ABC上的射影为CD.

∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,

∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,

∴VC与面ABC所成角为60°.

15.证明：

（1）如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，

则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝

CD＝

AB＝AM，故AMNE为平行四边形.

∴MN∥AE.

第15题图解

∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.

又CD∥AB，∴MN⊥CD.

（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PDA＝45°，E为PD的中点.

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，

∴MN⊥平面PCD.

16.如图

（1）证：

由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

第16题图解

故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×

＝12.

又AB2＝AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝

，PB＝

，BD＝

，

∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，

∴BD⊥平面PAD.

（2）由BD⊥平面PAD，BD

平面ABCD.

∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，

又PE平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.

∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝

.

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，

∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.

又EF＝BD＝

，在Rt△PEF中，

tan∠PFE＝

.

故二面角P—BC—A的大小为arctan

.

17.连结AC1，∵

.

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，

∴∠AC1C=∠MA1C1，

∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.

∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.

由三垂线定理知AB1⊥A1M.

点评：

要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立．

18.

（1）证明：

在正方形ABCD中，

∵△MPD∽△CPB，且MD＝

BC，

∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.

又已知D′N∶NB＝1∶2，

由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，

∴NP⊥平面ABCD.

（2）∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，

∴∠MCD为该二面角的平面角.

在Rt△MCD中可知

∠MCD＝arctan

，即为所求二面角的大小.

（3）由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝

，等腰△MBD′面积S2＝

，设所求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.

∵三棱锥D′—BCM体积为

，

∴