高中数学必修五知识点总结经典.docx
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高中数学必修五知识点总结经典
必修五知识点总结
《必修五知识点总结》
第一章：
解三角形知识要点
一、正弦定理和余弦定理
a
b
c
1
C中，
a
c
、
、C的对边，，则有
2R
、正弦定理：
在
、b、分别为角
sin
sinC
sin
（R为
C的外接圆的半径）
2、正弦定理的变形公式：
①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；
②sin
a，sin
b
，sinC
c
；
2R
2R
2R
③a:
b:
c
sin
:
sin
:
sinC；
3、三角形面积公式：
SC
1bcsin
1absinC
1acsin
．
2
2
2
4
C中，有
a
2
b
2
c
2
2bccos
，推论：
cosA
b2
c2
a2
、余弦定理：
在
2bc
b2
a2
c2
2accosB，推论：
cosB
a2
c2
b2
2ac
c2
a2
b2
2abcosC，推论：
cosC
a2
b2
c2
2ab
二、解三角形
处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几
何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、
无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解
1、三角形中的边角关系
（1）三角形内角和等于180°；
（2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
-1-
必修五知识点总结
（3）三角形中大边对大角，小边对小角；
（4）正弦定理中,a=2R·sinA,
b=2R·sinB,
c=2R·sinC，其中R是△ABC外接圆半径.
（5）在余弦定理中:
2bccosA=b2
c2
a2.
（6）三角形的面积公式有:
S=1
ah,
S=1
absinC=1
bcsinA=
1
acsinB,S=P（Pa）（Pb）（Pc）其
2
2
2
2
中，h是BC边上高，P是半周长.
2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
（1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理.
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理.
（3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理.
（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理.
（5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理.
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是：
①化边为角；②化角为边.
4、三角形中的三角变换
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=－cosC；tan（A+B）=－tanC。
sinAB
cosC,cosA
B
sinC；
2
2
2
2
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r为三角形内切圆半径，
p为周长之半
（3）在△ABC中，熟记并会证明：
∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三
角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.
-2-
必修五知识点总结
三、解三角形的应用
1.坡角和坡度：
坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，根据定
义可知：
坡度是坡角的正切，即itan.
h
α
l
2.俯角和仰角：
如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做
仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.
3.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为.
注：
仰角、俯角、方位角的区别是：
三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角
是相对于正北方向而言的。
4.方向角：
相对于某一正方向的水平角.
-3-
必修五知识点总结
5.视角：
由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角
第二章：
数列知识要点
一、数列的概念
1、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式
可以写成a1,a2,a3,,an,，简记为数列an，其中第一项a1也成为首项；an是数列的第n项，也叫做
数列的通项.
数列可看作是定义域为正整数集N（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应
的一列函数值就是这个数列.
2、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（1）有穷数列：
数列中的项为有限个，即项数有限；
（2）无穷数列：
数列中的项为无限个，即项数无限.
3、通项公式：
如果数列an的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成anfn，那么这个式
子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
-4-
必修五知识点总结
4、数列的函数特征：
一般地，一个数列an，
如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫做递增数列;
如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫做递减数列;
如果数列an的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
5、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
二、等差数列
1、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差.
即an1and（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.
2、等差数列的通项公式：
设等差数列an的首项为a1，公差为d，则通项公式为：
ana1n1damnmd,n、mN.
3、等差中项：
（1）若a、A、b成等差数列，则
A
叫做a与b的等差中项，且
A
;
=a
b
2
（2）若数列an
为等差数列，则an,an1,an2成等差数列，即an1是an与an2的等差中项，且
an1
=anan2；反之若数列
an满足an1=an
an2，则数列
an是等差数列.
2
2
-5-
必修五知识点总结
4、等差数列的性质：
（1）等差数列
an
中，若m
n
pqm、n、p、q
N
则am
anapaq，若mn
2p，则
aman
2ap；
（2）若数列
a和b均为等差数列，则数列a
n
b也为等差数列；
n
n
n
（3）等差数列
an
的公差为d，则
d0
an
为递增数列，d
0
an为递减数列，d
0
an
为常数列.
5、等差数列的前n项和Sn：
（1）数列
an
的前n项和Sn=a1a2a3
an1
an,n
N
；
（2）数列
an
的通项与前n项和Sn的关系：
an
S1,n1
.
Sn
Sn1,n
2
n
a1
an
na1
nn1
（3）设等差数列an的首项为a1,公差为d，则前n项和Sn=
2
d.
2
6、等差数列前
n和的性质：
（1）等差数列
an
中，连续m项的和仍组成等差数列，即
a1a2
am,am1am2
a2m,
a2m1a2m2
a3m,仍为等差数列（即Sm,S2m
Sm,S3m
S2m,
成等差数列）；
（2）等差数列
an
nn1
d=dn2
a1
dn,当d
0时，Sn可看作关于n的
的前n项和Sn=na1
2
2
2
二次函数，且不含常数项；
（3）若等差数列an
共有2n+1（奇数）项，则S奇
S偶=an1
中间项且S奇=n
1,若等差数列
an共
S偶
n
有2n（偶数）项，则
S偶
S奇=nd且S偶=an1.
S奇an
-6-
必修五知识点总结
7、等差数列前n项和Sn的最值问题：
设等差数列an的首项为a1,公差为d，则
（1）a10且d0（即首正递减）时，Sn有最大值且Sn的最大值为所有非负数项之和；
（2）a10且d0（即首负递增）时，Sn有最小值且Sn的最小值为所有非正数项之和.
三、等比数列
1、等比数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q表示（q0）.
即an1
qq为非零常数
，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
an
2、等比数列的通项公式：
设等比数列an的首项为a1，公比为q，则通项公式为：
ana1qn1amqnm,nm,n、mN.
3、等比中项：
（1）若a、A、b成等比数列，则
A叫做a与b的等比中项，且
A2=ab;
（2）若数列an为等比数列，则an,an1,an2
成等比数列，即an1是an与an2的等比中项，且
an2
1=anan2；反之若数列an
满足an2
1=anan2
，则数列an
是等比数列.
4、等比数列的性质：
（1）等比数列an中，若mnpqm、、n、pqN,则amanapaq，若mn2p，则
amana2p；
（2）若数列an和bn均为等比数列，则数列anbn也为等比数列；
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必修五知识点总结
（3）等比数列
an的首项为a1，公比为q，则
a1
0或
a1
0
an
为递增数列，
a1
0
或a1
0
an为递减数列，
q
10
q
1
0
q
1
q
1
q1
an
为常数列.
5、等比数列的前n项和：
（1）数列
an
的前n项和Sn=a1a2a3
an1
an,n
N
；
（2）数列
an
的通项与前n项和Sn的关系：
a
S1,n
1
.
n
Sn
Sn1,n
2
na1,q
1
（3）设等比数列an的首项为a1，公比为qq
0，则Sn
a1
1
qn
.
1
q
q1
由等比数列的通项公式及前
n项和公式可知，已知
a,q,n,a,S
中任意三个，便可建立方程组求出另外两
1
n
n
个.
6、等比数列的前n项和性质：
设等比数列
an中，首项为a1，公比为q
q0，则
（1）连续m项的和仍组成等比数列，
即a1
a2
am,am1
am2
a2m,a2m1
a2m2
a3m,
仍为等比数列（即Sm,S2m
Sm,S3m
S2m,
成等差数列）；
（2）当q
a1
1qn
a1
1qn
a1
a1
qn
a1
qn
a1
1时，Sn
1q
，
1q
1q1q
q1
q1
设a1
t，则Sntqn
t.
q1
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必修五知识点总结
四、递推数列求通项的方法总结
1、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把
由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.
2、两个恒等式：
对于任意的数列
an
恒有：
（1）an
a1
a2
a1
a3a2
a4
a3
anan1
（2）an
a1
a2
a3
a4
an
an
0,n
N
a1
a2
a3
an1
3、递推数列的类型以及求通项方法总结：
类型一（公式法）：
已知Sn（即a1
a2
an
f（n））求an
，用作差法：
an
S1,（n1）
Sn
Sn1
（n2）
类型二（累加法）：
已知：
数列
an
的首项a1,且an
1
an
f
n,nN，求通项an.
给递推公式an
1
an
fn,n
N
中的n依次取
1,2,3，,,，
n-1,可得到下面n-1个式子：
a2
a1
f1,a3a2
f2,a4
a3
f3,,an
an1
fn1.
利用公式an
a1
a2
a1
a3
a2
a4a3
an
an
1
可得：
an
a1
f1
f2
f3
fn1.
类型三（累乘法）：
已知：
数列
an
an
1
f
n,
n
N，求通项an.
的首项a1,且
an
给递推公式an
1
fn,n
N
中的n一次取1,2,3，,,
，
n-1,可得到下面n-1个式子：
an
a2
f1,a3
f2,a4
f3,,an
fn1.
a1
a2
a3
an
1
利用公式an
a1
a2
a3
a4
an
an0,n
N
可得：
a1
a2
a3
an1
an
a1
f1
f2
f3
fn1.
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必修五知识点总结
类型四（构造法）：
形如an1pan
q、a
n1
pa
qn（k,b,p,q为常数）的递推数列都可以用
待
n
定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。
①an1
pan
q解法：
把原递推公式转化为：
an1
t
p（ant），其中t
q
，再利用换
1p
元法转化为等比数列求解。
②an1
pan
qn解法：
该类型较要复杂一些。
一般地，要先在原递推公式两边同除以
qn1，得：
an1
pan
1
引入辅助数列bn
（其中bn
an
p
1
q
n1
q
q
n
q
q
n），得：
bn1
bn
q
再应用
q
an1
pan
q的方法解决。
类型五（倒数法）：
已知：
数列
an
的首项a1,且an1
pan
r
0,nN，求通项an.
qan
r
an1
pan
1
qanr
1
r
q
1
r1
q
qanr
an1
pan
an1
pan
p
an1
pan
p
设bn
1,则bn1
1.
bn1
rbn
q，
an
an1
p
p
若r
p,则bn
1
bn
q
bn1
bn
=q，即数列
bn
是以q为公差的等差数列.
p
p
p
若r
p,则bn
1
rbn
q（转换成类型四
①）.
p
p
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必修五知识点总结
五、数列常用求和方法
1.公式法
直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求
和而后相加减.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子
Sna1a2an1an的两边同乘以公比q（q0且q1），得到qSna1qa2qan1qanq，
两式错位相减整理即可求出Sn.
5、常用公式：
1、平方和公式：
12
22
n
2
n2
n
n
1
2n
1
1
6
2
2、立方和公式：
13
23
n
3
n3
1
2
n
2
nn
1
1
1n
2
3、裂项公式：
分式裂项：
1
11
;
1
1
1
1
nn1nn1
nnk
knnk
.
1
1
1
根式裂项：
n
1
n;
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