高中数学 第三章函数的概念与性质函数的表示法讲义 新人教A版必修一第一册.docx

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高中数学第三章函数的概念与性质函数的表示法讲义新人教A版必修一第一册

3.1.2　函数的表示法

最新课程标准：

（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用．

（2）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

知识点一　函数的表示法

　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．

2．由列表法和图象法的概念可知：

函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.

知识点二　分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

　1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝

其“段”是不等长的．

[教材解难]

　教材P68思考

（1）三种表示方法的优缺点比较

优点

缺点

解析法

一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值

不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示

列表法

不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值

它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系

图象法

直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质

只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大

（2）并不是所有的函数都能用解析式表示（事实上，图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝

列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段）．

[基础自测]

1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x（x∈{1,2,3,4}）的函数为（　　）

A．y＝2x　　　　　　　　　B．y＝2x（x∈R）

C．y＝2x（x∈{1,2,3，…}）D．y＝2x（x∈{1,2,3,4}）

解析：

题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.

答案：

D

2．已知函数f（x）＝

则f

（2）等于（　　）

A．0B.

C．1D．2

解析：

f

（2）＝

＝1.

答案：

C

3．已知函数f（2x＋1）＝6x＋5，则f（x）的解析式是（　　）

A．3x＋2B．3x＋1

C．3x－1D．3x＋4

解析：

方法一　令2x＋1＝t，则x＝

.

∴f（t）＝6×

＋5＝3t＋2.

∴f（x）＝3x＋2.

方法二　∵f（2x＋1）＝3（2x＋1）＋2.

∴f（x）＝3x＋2.

答案：

A

4．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出．

x

1

2

3

f（x）

2

1

1

x

1

2

3

g（x）

3

2

1

则f（g

（1））的值为________．

当g（f（x））＝2时，x＝________.

解析：

由于函数关系是用表格形式给出的，知g

（1）＝3，

∴f（g

（1））＝f（3）＝1.由于g

（2）＝2，∴f（x）＝2，∴x＝1.

答案：

1　1

题型一　函数的表示方法[经典例题]

例1　

（1）某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（　　）

（2）已知函数f（x）按下表给出，满足f（f（x））>f（3）的x的值为________．

x

1

2

3

f（x）

2

3

1

【解析】　

（1）由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.

【答案】　

（1）D　

由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律

【解析】　

（2）由表格可知f（3）＝1，故f（f（x））>f（3）即为f（f（x））>1.

∴f（x）＝1或f（x）＝2，∴x＝3或1.

【答案】

（2）3或1

观察表格，先求出f

（1）、f

（2）、f（3），进而求出f（f（x））的值，再与f（3）比较.

方法归纳

理解函数的表示法应关注三点

（1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．

（2）判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．

（3）函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．

跟踪训练1　某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x（x为正整数）与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．

解析：

（1）列表法：

x/台

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y/元

3000

6000

9000

12000

15000

18000

21000

24000

27000

30000

（2）图象法：

如图所示．

（3）解析法：

y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．

　本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．

题型二　求函数的解析式　[经典例题]

例2　根据下列条件，求函数的解析式：

（1）已知f

＝

，求f（x）；

（2）f（x）是二次函数，且f

（2）＝－3，f（－2）＝－7，f（0）＝－3，求f（x）．

【解析】　

（1）设t＝

，则x＝

（t≠0），代入f

＝

，得f（t）＝

＝

，

故f（x）＝

（x≠0且x≠±1）．

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

因为f

（2）＝－3，f（－2）＝－7，f（0）＝－3.

所以

解得

所以f（x）＝－

x2＋x－3.

（1）换元法：

设

＝t，注意新元的范围．

（2）待定系数法：

设二次函数的一般式f（x）＝ax2＋bx＋c.

跟踪训练2　

（1）已知f（x2＋2）＝x4＋4x2，则f（x）的解析式为________；

（2）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝4x－1，则f（x）＝________.

解析：

（1）因为f（x2＋2）＝x4＋4x2

＝（x2＋2）2－4，

令t＝x2＋2（t≥2），则f（t）＝t2－4（t≥2），所以f（x）＝x2－4（x≥2）．

（2）因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0），

则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b.

又因为f（f（x））＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.

所以

解得

或

所以f（x）＝2x－

或f（x）＝－2x＋1.

答案：

（1）f（x）＝x2－4（x≥2）

（2）2x－

或－2x＋1

（1）换元法

设x2＋2＝t.

（2）待定系数法

设f（x）＝ax＋b.

题型三　求分段函数的函数值　[经典例题]

例3　

（1）设f（x）＝

则f

＝（　　）

A.

　　　B.

C．－

D.

（2）已知f（n）＝

则f（8）＝________.

【解析】　

（1）∵f

＝

－2＝－

，

∴f

＝f

＝

＝

，故选B.

判断自变量的取值范围，代入相应的解析式求解．

（2）因为8<10，所以代入f（n）＝f（f（n＋5））中，

即f（8）＝f（f（13））．

因为13>10，所以代入f（n）＝n－3中，得f（13）＝10，

故f（8）＝f（10）＝10－3＝7.

【答案】　

（1）B　

（2）7

方法归纳

（1）分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．

（2）像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．

（3）已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解．

跟踪训练3　已知f（x）＝

求f（－1），f（f（－1）），f（f（f（－1）））．

解析：

∵－1<0，∴f（－1）＝0，∴f（f（－1））＝f（0）＝π，

∴f（f（f（－1）））＝f（π）＝π＋1.

根据不同的取值代入不同的解析式．

题型四　函数图象[教材P68例6]

例4　给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R，

（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；

（2）∀x∈R，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．

例如，当x＝2时，M

（2）＝max{f

（2），g

（2）}＝max{3,9}＝9.

请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．

【解析】　

（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）．

（2）由图1中函数取值的情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．

由（x＋1）2＝x＋1，得x（x＋1）＝0.解得x＝－1，或x＝0.

结合图2，得出函数M（x）的解析式为

M（x）＝

　1.先在同一坐标系中画出f（x）、g（x）；

2．结合图象，图象在上方的为较大者；

3．写出M（x）.

教材反思

（1）画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．

（2）画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，先用配方法化成y＝a（x－h）2＋k的形式

，确定抛物线的开口方向（a>0开口向上，a<0开口向下）、对称轴（x＝h）和顶点坐标（h，k），在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．

（3）求两个函数较大者，观察图象，图象在上方的为较大者．

跟踪训练4　作出下列函数的图象：

（1）y＝－x＋1，x∈Z；

（2）y＝2x2－4x－3,0≤x<3；

（3）y＝|1－x|.

解析：

（1）函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图（a）所示．

（2）由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图（b）．

（3）因为y＝|1－x|＝

故其图象是由两条射线组成的折线，如图（c）．

（2）先求对称轴及顶点，再注意x的取值（部分图象）．（3）关键是根据x的取值去绝对值．

解题思想方法　数形结合利用图象求分段函数的最值　

例　求函数y＝|x＋1|＋|x－1|的最小值．

【解析】　y＝|x＋1|＋|x－1|＝

作出函数图象如图所示：

由图象可知，x∈[－1,1]时，ymin＝2.

【反思与感悟】　

（1）分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．

（2）求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．

（3）研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．

一、选择题

1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是（　　）

A．这天15时的温度最高

B．这天3时的温度最低

C．这天的最高温度与最低温度相差13℃

D．这天21时的温度是30℃

解析：

这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．

答案：

C

2．已知f（x－1）＝

，则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）＝

　B．f（x）＝

C．f（x）＝

D．f（x）＝1＋x

解析：

令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f（t）＝

＝

，

∴f（x）＝

.

答案：

C

3．函数y＝

的图象的大致形状是（　　）

解析：

因为y＝

＝

所以函数的图象为选项A.

答案：

A

4．已知函数f（x）＝

且f（a）＋f

（1）＝0，则a等于（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

解析：

当a>0时，f（a）＋f

（1）＝2a＋2＝0⇒a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f（a）＋f

（1）＝a＋1＋2＝0⇒a＝－3，符合题意．

答案：

A

二、填空题

5．f（x）＝

的定义域为______，值域为______．

解析：

函数定义域为[0,1]∪（1,2]＝[0,2]．

当x∈（1,2]时，f（x）∈[0,1），故函数值域为[0,1）∪[0,1]＝[0,1]．

答案：

[0,2]　[0,1]

6．已知函数f（2x＋1）＝3x＋2，且f（a）＝4，则a＝________.

解析：

因为f（2x＋1）＝

（2x＋1）＋

，所以f（a）＝

a＋

.又f（a）＝4，所以

a＋

＝4，a＝

.

答案：

7．若f（x）－

f（－x）＝2x（x∈R），则f

（2）＝________.

解析：

∵f（x）－

f（－x）＝2x，

∴

得

相加得

f

（2）＝4，f

（2）＝

.

答案：

三、解答题

8．某同学购买x（x∈{1,2,3,4,5}）张价格为20元的科技馆门票，需要y元．试用函数的三种表示方法将y表示成x的函数．

解析：

（1）列表法

x/张

1

2

3

4

5

y/元

20

40

60

80

100

（2）图象法：

如下图所示．

（3）解析法：

y＝20x，x∈{1,2,3,4,5}．

9．求下列函数解析式：

（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，求f（x）；

（2）已知f（x＋1）＝x2＋4x＋1，求f（x）的解析式．

解析：

（1）由题意，设函数为f（x）＝ax＋b（a≠0），

∵3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，

∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，

即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，

由恒等式性质，得

∴a＝1，b＝3.

∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3.

（2）设x＋1＝t，则x＝t－1，

f（t）＝（t－1）2＋4（t－1）＋1，

即f（t）＝t2＋2t－2.

∴所求函数为f（x）＝x2＋2x－2.

[尖子生题库]

10．画出下列函数的图象：

（1）f（x）＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）；

（2）f（x）＝|x＋2|.

解析：

（1）f（x）＝[x]＝

函数图象如图1所示．

图1　　　　　　　　　　　图2　　

（2）f（x）＝|x＋2|＝

画出y＝x＋2的图象，取[－2，＋∞）上的一段；画出y＝－x－2的图象，取（－∞，－2）上的一段，如图2所示．