多项式除法汇编.docx
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多项式除法汇编
关于多项式除以多项式
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幕排列，然后再仿照两个多位数相除的汁算方法,用竖式进行计算.例如，我们来计算（7x+2+6x=）+（2x+l）,仿照6724-21,it算如下：
十沧十2
+3玄
22O
++
44
（7x+2+6£）十（2x+l）二3x+2.
由上而的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项
6x=,得商式的第一项3x,然后用3x去乘除式，把积6x：
+3x写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积，得4x+2,再把4x+2当作新的被除式，按照上而的方法继续计算，宜到得出余式为止.上式的汁算结果，余式等于0.如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0,我们就说这个多项式能被另一个多项式整除,这时也可说除式能整除被除式.
整式除法也有不能整除的情况.按照某个字母降幕排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时,除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式.例如，计算（9€+2x'+5）m（4x-3+€）.
解：
2龙+1
n2+4x-3）2x3++5
2/+验$-乂
u2+5
/+4n-3
2x+8
所以商式为2x+l,余式为2x4-8.
与数的带余除法类似，上面的计算结果有下而的关系：
9x=+2x+5=（4x-3+£）（2x+1）+（2x+8）.
这里应当注意，按照x的降幕排列，如果被除式有缺项，一左要留出空位.当然，也可用补0的办法补足缺项.
当除式、被除式都按降幕排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数.因此，il•算时，只须写出系数,算出结果后，再把字母和相应的指数补上去.这种方法叫做分离系数法.按照分离系数法，上而例题的计算过程如下：
2+1
1十4一3）2十9十0十52+8-6
1+6+5
1十4—M
2^3
于是得到
商式=2x+h余式=2x4-8.
对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，（2x3-5x-4）（3x2-7x+8）按分离系数法讣算如下:
2+0-5-4
3-7十8
6+0-15-12
-14+0+35+22
+16+0-40-32
6-14+1+23-12-32
所以,
（2x°—5x—4）（3x「一7x+8）
=6x°—14x'+x‘+23x‘一12x—32・
如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法讣算下面各题.
1-（6x3+x:
—1）三（2x—1）・
2.（2x”+3x—4）■?
（x—3）・
3.（x3—2x-—5）（x~2x2—1）・
4.（x+y）（x*—xy+y"）.
【本讲教育信息】
一.教学内容：
单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式二.重点、难点
整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。
【典型例题】
［例1］化简求值:
（-2a4x2+4«3x3o2x4）（-^2x2）a=—
4英中2,
（-2a4x-2-—a2^4）-
解：
4
=2a2-
4
二丄
当一㊁=一4时1013
=2x（J-4x-x（-4）+-x（一4）
原式224
131
=2x-+8+-xl6=20-
442
［例2严八心+52
］二4兀+?
»+1
2
922?
A.丿B.丄砂C.2D.以上都不对
解析：
解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了2,所以所求代数式的系数为2而最后一项为1，所以所求代数式为2/屛。
但这是一道选择题可以用代入法把a、B、C四个答案代入试试,很快发现也是Ao
说明：
同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。
［例3］化简［©+刃2_p0+4x）-加
解：
原式二（4/+4心+丿2_》2-4aj7-8x）^2j
=（4x2-8x）-2x=2x-4
［例4］计算（朋+"+2）*〔2x+1）
我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则
3x4-2
力十6疋+仆+2
6x2+3x
4x+2
4"20所以（6"+7x+2）（2x+1）=3x+2
规则：
1.先把除式与被除式按降幕排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补0。
2.用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下而
（同类项对齐），从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，按照上而的方法继续计算，直到得出余式为止。
［例5］+（x+2）=5j-3
兀-3
工+
5严+10乳
一3尤一6
-3x-6
ET
此题已把除式与被除式按降幕排列好了先用被除式的首项％2除以除式的首项X得衙式育项张，再用5a乘2
以仗+刀得（乂+10%）把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（-张-6）,再把（-玄-6）作为新的被除式，用（一女）琛以兀得一3再用一3乘以0+2）得（-3a-6）卜-而作减法得o除完。
［例切少订曲+护曲+你―习
在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做,则同类项不能对齐。
所以应该在缺项的地方补0。
2x+1
/+力-?
72?
+9?
+0x+5
2x3+8x2一6x
/+6石+5
八+4石一孑
2x+§
现在新的问题出来了，再用2*除以兀'会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把2工+8叫做余式。
所以2/+9x2+5=（x2+4x-3）（2x+l）+（2x+8）
说明：
如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式=除式X商式+余式
余式的左义：
当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最髙次项，则这个新的被除式为余式。
［例7］已知多项式工-孑/十弘十q能被x2-x+3整除求少值。
解：
x—2
云一疋十3乳
一2x2十2x+a
—2兀2十2x—6
a+6
•••多项式/—女2十“十Q能被x2-x+3整除
•••余式幺+6=0a=-6
［例8］已知尸+花v+6能被^+2整除，求上的值。
j2-2x+（^+4）
勺戸+0/+也+6
x3+2x2
-It?
+A;x+6
-2a2-4^
+4）^+6
（^+4）x+2k+8
-2E-2
•.•x5+^+6能被入+2整除
.・.一2疋一2=0.・.^=-1
［例9］已知谿_x—l=0求6/+7x2-5^+1998的值
分析：
设法把6,+7“-无+1998用含有弘$-久-1的代数式表示
2x+3
3才2_才_”6戸+仏2一弱+1998
6乳彳一2/2—2久
8
9/-3x-3
2001
.・.6/+7x2-5x+1992=（3F_兀_1）（2兀+3）+2001
•・・3x2-x-1=0
.・.6/十7*—%十1998二2001
说明：
在这里我们用（&*+7j2一％+1998）除以（3"_兀_1）,有些同学存在困惑貂_“1=0怎能做除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除0这一点，同学们要好好体会。
【模拟试题】（答题时间：
30分钟）
1.计算①（~28<3Sb3r）-4^32）=
（-血險尹»（-；陋/）=
②6
2计养“i（-28^«-11mt-84mr-9l^v）（-7m）
（9tz4x5一6护昇-3（33x3）-（--tz3A3）
②3
也巩即卜（一玄络2）
3.计算（3兀"-7只+4只-为*（;r-2）
4.己知多项式3x2+ax2+ir+l能被X十1整除且商式是弘+1,求的值。
5.如果2八+2仏-12”-加能被2X-6x+9整除，求滋的值。
2云一％4+2/-力2
6.已知/_3a+l=0,求屮十1
7.确立a的值使多项式F+2x2+3x+a能被x+3除余数为1。
&求6*-5x3-3x2-x+4^以2乳+1的商式和余数
9.已知多项式处3十以2-4力-廿可被％+1和2x-3整除，求負、&的值及此式的因式。
1.選擇：
1.（）若多項式A除以多項式B得商式為Q、餘式為R、則下列敘述何者恆正確
9
（A）A-R是Q的倍式
（B）A—R是B的因式
（C）A是B的倍式
（D）B是A的倍式
《答案》A
詳解〔、由題意得：
A=BQ+R
（B）A—R=BQ，即A-R是B的倍式
（C）當R=0時，A才是B的倍式
（D）故選（A）
2.（）若“+"+机¥—6為x—2的倍式，則2x+F+皿一6亦為下列何者的
倍式？
（A）x+3（B）a—3（C）2t+3（D）2t—3
《答案》C
詳解：
因為2x+x：
6為x—2的倍式
所以x—2能整除2x+x：
6
用x—2去除2%'+“「—6得到：
-6+2伽+10）=0
解得加=_7
2x-\-X'+/HA—6
=（x—2）（2%'+5x4-3）
=（x—2）（x+l）（2x+3）
故選（C）
3.（）3x—\3x+ax—b^x—2x+3的倍式»貝l\a+h=?
（A）152（B）44（C）38（D）2
《答案》B
詳解：
用x，—2尤+3除3尤一13x'+ax—b
得：
a—23=0，—b+21=0
所以4=23，b=2\
故d+b=44，選（B）
4.（）若（x+2）和（2x+3）都是8x+17x4-/?
的因式»試求”=?
（A）-6（B）6（C）-12（D）12
《答案》A
詳解：
（x-F2）（2%+3）=2X24-7x+6
用2*+7x+6除+/d+17x+“得：
“一3（加一28）=0
又加=26
解得〃=—6,故選（A）
5.（）若（x+2）和（2x+3）都是+17x-hn的因式»貝巾"=?
（A）26（B）-26（C）30（D）-30
《答案》A
詳解：
（尤+2）（2%+3）=2”+7・¥+6
用Z^+Vx-l-b除-\-inx'+17兀+“得：
]
—7——（加一28）=0
解上式得:
加=26，故選（A）
6.（）若去-^牝,不是2x—1的倍式，則下列哪一個不可肓g是。
的值?
（A）-3（B）-l（C）l（D）3
《答案》A
詳解：
用2x—1去除应代+:
得餘式為。
+3
因為不是"一1的倍式
所以餘式3不可能為0
即0值不可能為—3
故選（A）
二、填充：
1.已知x+2與4x+l都是8”—2x—41x—10的因式，則因式分解8.y—2x—4lx—10=0
《答案》（x+2）（4x+l）（2x—5）
詳解：
（x+2）（4x+1）=4F+9x+2
用4“+9x+2除张-2x:
-41X-10
得商式為2x—5
所以8x-2x-41x-10=（x+2）（4x+l）（2x-5）
2.如圖，翊墾做了-•個多項式直式除法，發現多項式2x—3是多項式似+亦+
9x+b的因式，其中部分係數以a、b、c、d、e、/表示，則：
M+cr+32x-3）4f+df+9x+〃
4才_2
df+9x
-2^+ex
6x+Z?
6x-9T
（1）a=，b=，
c=，d—，
e='f=0
（2）4x+d+9x+Z?
的另一個因式為。
《答案》
（1）一8，—9，一1，一2，3，0
（2）2x:
—x+3
詳解：
（1）由直式除法可矩：
2c=—2，c——1
（?
=—3c=3
J4-2=0»d=—2
/=0（整除、餘式為0）
/?
—9=0，b=9
⑵*+0+3=2^-尤+3是4d+°十+9x+b的因式
3.若v—3x+m為5x—9x!
+nx—12的因式，則加=，n=
《答案》一2>-28
詳解：
用x：
—3x+加除5x—9x:
12
得：
（n—5m）+18=0»—12—6m=0
解得：
m=—2»H——28
4.已知工+x+l為X+k的因式，則：
（1比=°
（2）因式分解x+ko
《答案》
（1）-1
（2）（,+x+l）（x—1）
詳解:
⑴用*+卄1除d+R
得：
R+1=0»故比=—1
⑵用％：
+x+l除d+k得到的商式為x—1
所以d+R=+-l=（x-l）（x;+x+l）
5.若x—1與x—2皆為x—6x+kx—6的因式»則：
（1）比=°
（2）因式分解x—6a-+恋一6=。
《答案》
（1）11
（2）（x-l）（x-2）（x-3）
詳解：
（l）（x—1）（兀一—
用x2—3x+2除x—6aj+/lv—6
得:
伙_2）_9=0
解得：
£=11
⑵用%2—3x+2除x—6a"+h—6
得商式為：
x—3
所以x—6a:
+也一6=（a—1）（a—2）（x—3）
6.已知2—d+x—1有因式X：
+1»則因式分解X-A4-A—1=
《答案》（2+l）（x—l）
詳解：
用”+0x+l（缺項補0）除才一"+x—1
得商式為：
X—1
故X—工+%—1=（十+1）（A—1）
7.若X-\-rnx+必+10為x—2與x+5的倍式*則：
（1）（/7?
77）=。
（2）x+/d+必+10的因式分解為0
《答案》
（1）（2,—13）
（2）（x-2）（x+5）（x-l）
詳解：
（1）（尤一2）（尤+5）=”+3尤一10
用x24-3x—10|^x-\-rnx'+空+10得：
（n+10）—3（加一3）=0
10—10（加一3）=0
解得：
m=2»n=—13
故（加，“）=（2,—13）
（2）用*+3兀一10除£+W-13x+10
得商式為X—1
所以，+2/一13兀+10=（/+3兀一10）（兀一1）
=（x-2）（x+5）（x-l）
8•已知32一12+27x—14是"一3兀+7的倍式，則因式分解％—llx：
+27x
—14=°
《答案》（x—3x+7）（3x—2）
詳解：
用d—3x+7除3d-llx+27a—14
得商式為：
3x—2
即3x—11*+27x—14=）（x—3x+7）（3jv—2
9.設2a+l®4x6的因式*則：
（1）/?
j—°
（2）x—2是否為4x+mv—6的因式？
答：
°
（3）因式分解4x+mv—6=。
《答案》（D-13⑵是
（3）（2x+l）（x—2）（2x+3）
詳解：
⑴用2%+1除4d+0疋+皿—6（缺項補0）
得：
一6——（in+1）=0
■
解得：
m=—l3
（2）用x—2除4”+0W—13x—6（缺項補0）
得商式為4“+8.丫+3»餘式為0»整除
故比一2是4x'+mi—6的因式
⑶由⑵知:
4x-13x-6=（a—2）（4x2+8x4-3）
用2x+1除4W+8x+3
得商式為2v+3，餘式為0
即4疋+&丫+3=（力+1）（2x+3）
故4+-13x-6=（2x+l）（x-2）（2v+3）
10.若了一x—1是多項式2x—5x;—ov+3的因式*貝临=。
《答案》—1
詳解：
用—X—1除2%'—5x—ax+3
得（一“+2）—3=0
故4=—1
11・設乳+1及2x—3都是+ov—13x+/?
的因式，則2a-\-b=。
《答案》一2
詳解:
（x-Fl）（2x—3）=2x2—X—3
用2a2—%—3除6x—13x+b
II
得：
一4+■（"+3）=0，b+■（a+3）=0
••
解得：
a=5，b=—12
故2“+b=2x5+（—12）=—2
12.若多項式（x-2）（x+2r+4x+8）有因式v+4，則此多項式可因式分解為—
《答案》（X—2）（0+4）（x+2）
用x：
+0x4-4（缺項補0）除x+2r+4x+8
得商式為：
x+2
所以x+2r+4尤+8=（匕+4）（x+2）
故（x—2）（x+2r：
+4x+8=（x-2）（x;+4）（x+2）
13.若x+ax—3x+b為++2x+l的倍式»則：
（1）a=o
（2）Z?
=o
《答案》（DO
（2）-2
詳解：
用X：
+2尤+1除*+“十一3x+b
得：
—4—2（a—2）=0，b—（a—2）=0
解得：
a=0，b=—2
14.欲使P—3x+l為r—4的倍式，則必須在i—3卄1中加上常數R，則E
0
《答案》一5
詳解：
用x—4除d—3x+l+R
得餘式為：
£+5
因為”一3x+l為x—4的倍式
所以£+5=0
故《=—5
3.計算：
1•若V—2x+b為3x—2xl+ox+12的因式、則：
（1加、“的值分別為何？
（2）因式分解3x—2xl+«x+12=?
《答案》
（1）"=1，b=3
（2）（x:
—2x+3）（3x+4）詳解：
3+4
1—2+b+12
3-6+3Z>
4+（门一3方）+12
4一8+4方
0
（1）因為”一2x+〃為3x—2x'+q+12的因式所以x，—2x+b口J以整除3x'—2x'+ov+12即（ti-3b）-（-8）=0
na—3b=—8
（1）
12—4/?
=0=>b~3
（2）
將⑵式代入⑴式中，解出g=1
⑵由上面的除法可知
（3x-2aj+av+12HxJ-2x+b）=3x+4
也就是說3*-2x:
+or+12可以因式分解為（d—2v+3）（3x+4）
2.若2x-—3x+b是2x—lx+ox+2的因式»則：
（1加、"之值分別為何？
（2）承上題、請因式分解2x-7x:
+oy+2q
《答案》（l）a=5，b=-l
（2）（2?
-3x-l）（x-2）
詳解：
（1）
x—2
2r-3x+/?
）"_7屮+or+2
X—3.F+bx
_4屮+@_加+2
一4才+6x_2b
（a—b~6）x+（2+2b）
'.'2x'—3x~\~b是—lx'+仪+2的因式
：
.2x—3x+b能整除2/-7x'+ox+2
則彳~
（2-^=0
（2）\"2x—7xJ+ox+2=（2x‘—3x+b）（x—2）
又a=5，b——1
••・2x—lx•+5x+2=（2a*'—3x—1）（x—2）
3.已知6x—1lx—19x—6是x—3與2v+1的倍式，則因式分解6x—1lx—19x_6=?
《答案》（兀―3）（2x+l）（3x+2）
詳解：
因為（x—3）（2%+1）=2—5x—3
而且6.r—1lx'—19x—6是x—3與2t+1的倍式
所以6x—1Lv—19x—6是2a“—5x—3的倍式
又6x—12—19x—6=（2x!
—5x—3）（3x+2）
所以6x—1lx'—19x—6可以因式分解為（x—3）（2x+l）（3x+2）
4.已知f+x—1是2x+3”—x—1的因式、則因式分解2x+3x—x—1=?
《答案》X+x—l）（2x+l）
詳解：
因為d+x—1是2x'+3r—x—1的因式
所以;r+x—1可以整除2x+3,v—x—1
乂（2x+3x'—x—1）一（”+x—1）=2丫+1
所以2x+3r—x—1口J以因式分解為（r+x—1）（2兀+1）5.已知x+2是d-\-bx-6的因式，貝胁=?
《答案》一1
詳解：
1-3
1+2）1+/?
-
1+2
-6
d-
-3-
-6
-6
（/>+1）+0
因為x+2是v+bx_6的因式所以d+bx-6能被兀+2整除即b+1=0，解出b=—1
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