完整版复数的代数形式及其运算.docx

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复数的代数形式及其运算

第85课时课题：

复数的代数形式及其运算

一．教学目标：

掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。

二．教学重点：

复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。

三．教学过程:

（一）主要知识：

1．共轭复数规律，；

2．复数的代数运算规律

（1）i=1，i=i,i=1，i=i;

（3）i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；

；

3．辐角的运算规律

（1）Arg（z・z）＝Argz＋Argz

（3）Arg=nArgz（n∈N）

.。

.，n1.

或z∈R。

要条件是|z|＝|a|.

（6）z・z≠0,则

4．根的规律：

复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。

5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式

||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.

即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：

z，z所对应的向量共线且同向。

|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：

z,z所对立的向量共线且异向。

（二）范例分析

Ⅰ.2004年高考数学题选

1.（2004高考数学试题（浙江卷,6））已知复数z1=3+4i,z2=t+i，且是实数，则实数t=（）

A．B．C．?

D．？

2。

（2004年北京春季卷,2）当时，复数在复平面上对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.（2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（C）

A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆

Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：

1．化归思想

复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。

反之亦然。

这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。

【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。

解法一、设z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即为

用复数相等的定义得:

∴=1，=1+3i。

两边取模，得:

代入①式得原方程的解是=1，=1+3i。

【例2】（1993・全国・理）设复数z=cosθ＋isinθ（0＜

【解】∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ＋isin4θ

即,又∵0＜θ＜π,当时，或

【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。

【例3】设a，b，x，y∈R+，且（r＞0），

求证：

分析令=ax+byi,==bx+ayi（a,b,x，y∈R+），则问题化归为证明：

|｜+|｜≥r（a+b）.

证明设=ax+byi,=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），则

=|（a+b）x+（a＋b）yi｜=｜（a＋b）（x+yi）｜＝（a＋b）・r。

解如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：

即（x3a+yi）・（i）＝（x3a+yi）

由复数相等的定义得

而点（x，y）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为

【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章,而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解.

2．分类讨论思想

分类讨论是一种重要的解题策略和方法.在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零,各个击破.高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。

【例5】（1990・全国・理）设a≥0，在复数集C中解方程z＋2|z|=a。

分析一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z＋2｜z|=a转化为z=a2|z｜，则z∈R。

从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了.

总之，是一个需要讨论的问题.

【解】解法一∵z=a2|z｜∈R,∴z为实数或纯虚数。

∴问题可分为两种情况：

（1）若z∈R，则原方程即为|z|+2｜z｜a=0，

（2）若z为纯虚数,设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为｜y｜2|y|＋a=0

当a=0时，|y|=2即z=±2i。

当0＜a≤1时，

当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。

综上所述，原方程:

当a=0时,解为z＝0或z=±2i

解法二设z=x＋yi，x，y∈R，将原方程转化为

3．数形结合思想

数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。

运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意.

【例6】已知｜z｜=1，且z+z＝1，求z。

【解】由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，

【说明】这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数,提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性.

【例7】复平面内点A对应复数z，点B对应复数为\s\up9（_（_），O为原点，△AOB是面积为的直角三角形，argz∈（0，），求复数z的值．

【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论．

【解】因|OA|=｜z｜＞|\s\up9（_（_）|=｜OB|，故∠A不可能是直角，因而可能∠AOB=90o或∠ABO=90o．

若∠AOB=90o，示意图如图1所示．因z与\s\up9（_（_）所对应的点关于实轴对称，故argz=45o，

S△AOB=|OA|・｜OB｜=｜z|・｜\s\up9（_（_）｜=｜z|2=．于是，|z｜=2，

从而，z=2（cos45o+isin45o）=+i．

若∠ABO=90o，示意图如图2所示．因z与\s\up9（_（_）所对应的点关于实轴对称，且∠AOB＜90o，故argz=θ＜45o．

令z=r（cosθ+isinθ），则

cos2θ==，sin2θ=，S△AOB=|OA｜・｜OB|・sin2θ

　=r・r・=r2=．

于是，r=．又cosθ==，

sinθ==，故z=（+i）=2+i．

综上所述，z=+i或z=2+i．

【说明】①解题关键点:

正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何意义，作出满足条件的示意图．

②解题规律：

复数的几何意义来源于复数z=a+bi（a、b∈R）与复平面上的点（a,b）之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示．

③解题技巧：

复数z与它的共轭复数\s\up9（_（_）在复平面内对应的向量关于实轴对称．

④这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题,充分显示了数形结合的思想方法在解题中的作用。

4．集合对应思想

【例8】如图所示,在复平面内有三点P，P，P对应的复数

应的复数为a，2a，3a,且它们有相同的辐角主值θ（如图所示）,即A，P,P,P共线.

从而2sinθ＝2

因此有a=±2i。

5．整体处理思想

解复数问题中,学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题.这样常常给解题带来繁琐的运算，导致解题思路受阻.因此在复数学习中,有必要提炼和强化整体处理的思想方法，居高临下地把握问题的全局，完善认识结构,获得解题的捷径，从而提高解题的灵活性及变通性.

【例9】已知z=2i，求z3z＋z+5z＋2的值。

【分析】如果直接代入，显然比较困难，将z用三角式表示也有一定的难度.从整体角度思考，可将条件转化为（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0,再将结论转化为z3z＋z+5z＋2=（z4z＋5）（z＋z）+2，然后代入就不困难了.

【解】∵z=2i，∴（z2）=（i）=1

即z4z+5=0

∴z3z＋z+5z＋2=（z4z+5）（z＋z）+2=2。

【例10】已知,求。

【解】解由条件得

【说明】把题中一些组合式子视作一个”整体"，并把这个"整体”直接代入另一个式子，可避免由局部运算带来的麻烦.

【例11】复平面上动点z的轨迹方程为:

|zz|＝｜z｜，z≠0，另一动点z满足z・z=1，求点z的轨迹。

解由|zz｜＝|z｜，知点z的轨迹为连结原点O和定点z的线段的垂直平分线.

将此式整体代入点z1的方程,得

的圆（除去原点）.

【例12】设z∈c，a≥0，解方程z|z｜＋az＋i=0。

边取模，得

【说明】解复数方程，可通过整体取模，化为实数方程求解。

综上所述，解答复数问题，应注意从整体上去观察分析题设的结构特征，挖掘问题潜在的特殊性和简单性，充分利用复数的有关概念、共轭复数与模的性质、复数的几何意义以及一些变形技巧，对问题进行整体化处理，可进一步提高灵活、综合应用知识的能力。

6．有关最值问题的多角度思考

【例13】复数z满足条件|z｜=1,求|2zz+1｜的最大值和最小值。

解法一|z|=1,∴z=cosθ＋isinθ

∴|2zz+1|=|2（cosθ＋isinθ）（cosθ＋isinθ）＋1|

=|（2cos2θcosθ＋1）＋（2sin2θsinθ）i|

∴|2zz+1｜=|2zz+｜

设z的实部为a，则1≤a≤1

|2zz+1|=｜2a＋z1|

∴|2zz+1｜=4

解法三：

设ω=x+yi（x，y∈R），z=a＋bi（a，b∈r）且a+b=1，

这说明ω对应的点是如图所示的椭圆，问题转化为求该椭圆上各点中与原点距离的最大值和最小值。

时的圆的半径。

得8x2x＋89r＝0，由相内切条件知Δ=0，

解法四由模不等式：

|2zz+1|≤2｜z|＋|z｜+1=4，等号成立的条件是2z,z，1所对应的向量共线且同向,可知z是负实数,在｜z｜=1的条件下，z=—1

∴当z=1时｜2zz+1|=4。

但另一方面：

|2zz+1｜≥2|z|｜z｜1=0,这是显然成立的，可是这不能由此确定|2zz+1|=0，实际上等号成立的条件应为2z，z，1表示的向量共线且异向，由2z与1对应的向量共线且异向知z=±i，但是当z=±i时，2z与z不共线，这表明｜2zz+1｜的最小值不是0。

以上这种求最小值的错误想法和解法是学生易犯的错误，此部分内容既为重点也为难点，应向学生强调说明,并举例，切记取等号的条件.

【例14】2001年普通高等学校招生全国统一考试（理18）

已知复数z1＝i（1—i）3．

（Ⅰ）求argz1及|z|；

（Ⅱ）当复数z满足｜z|＝1，求｜z-z1｜的最大值．

【分析】本小题考查复数的基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力．

【解】（Ⅰ）

∴，|z1|＝．

（Ⅱ）设，则

当时，取得最大值，从而得到的最大值为．

四．课后作业：

1、下列命题中正确的是［]

A．方程|z+5｜｜z5i｜=8的图形是双曲线

B．方程｜z+5｜=8的图形是双曲线

C．方程｜z+5i｜|z5i｜=8的图形是双曲线的两支

D．方程|z+5i|｜z5i｜=8的图形是双曲线靠近焦点F（0，5）的一支

2、方程的图形是[］

A．圆B．椭圆C．双曲线D．直线

3、在复平面上绘出下列图形：

4、已知是虚数，是实数。

（1）求z对应复平面内动点A的轨迹；

（2）设u=3iz+1，求u对应复平面内动点B的轨迹；

　（3）设，求对应复平面内动点C的轨迹.

5、设A，B，C三点对应的复数分别为z，z，z满足

（1）证明：

△ABC是内接于单位圆的正三角形；

（2）求S△ABC;

6、若,求所对应的点A的集合表示的图形，并求其面积．

7．设z1，z2是两个虚数，且z1+z2=—3,|z1|+|z2｜=4．若θ1=argz1,θ2=argz2，求cos（θ1—θ2）的最大值．

8．（2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海理17））

已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求|z1・z2｜的最大值和最小值.

四、专题训练参考答案

1、解：

DA的图形是直线,B的图形是圆，C是图形是双曲线的一去．故选D．｜|z+5i|—｜z—5i||=8才是双曲线的两支．

2、解：

A原方程即|z（2+i）|=7．故选A．3、解：

4、解:

（1）因为z是虚数,所以，于是，即,且，因此动点A轨迹是中心在原点,半径等于2的圆，但去掉两个点（2，0）与（2，0）．

（2）由u=3iz+1得u1=3iz．由

（1）及题设知|z|=2,z≠±2，所以

｜u1｜=6,且u1≠±6i

因此动点B的轨迹是圆,中心在（1，0），半径等于6,但去掉两点（1，6）与（1，6）．

（3）设z=2（cosθ+isinθ），（θ≠0，π）则

再令v=x+yi（x，y∈R），则

5、解：

（1）由（ii）知A，B,C三点都在单位圆上．再结合（i）得z=（z+z）设BC中点为D，它对应复数为z，那么

由于正三角形的外接圆与内切圆的圆心合一，因此△ABC的内切圆圆心6、因此动点A的图形是一个圆环．设此圆环面积为S,那么

7．解:

设｜z1｜=r，则|z2|=4—r（0＜r＜4）．将z1=r（cosθ1+isinθ1），z2=（4—r）（cosθ2+isinθ2），代入z1+z2=—3，得

　两式平方相加，得r2+（4-r）2+2r（4-r）（cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2）=9，

于是cos（θ1—θ2）==1+,

当r=2时,cos（θ1—θ2）取最大值.8．解:

故的最大值为最小值为.