Newton迭代法求解非线性方程.docx
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Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程
一、Newton迭代法概述
构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如果能将非线性方程
用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿（Newton）法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设
是方程
的一个近似根，把如果
在
处作一阶Taylor展开，即：
（1-1）
于是我们得到如下近似方程：
（1-2）
设
，则方程的解为：
（1-3）
取
作为原方程的新近似根
，即令：
k=0,1,2,…（1-4）
上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：
（1-5）
是曲线
上点
处的切线方程。
迭代格式（1-4）就是用切线式（1-5）的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值
的要求较高，初值足够靠近
时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛，则需对
加一些条件。
如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：
（1-6）
上式中，
，称为下山因子。
因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿下山法。
牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算
之外，还要计算
的值。
如果
比较复杂，计算
的工作量就可能比较大。
为了避免计算导数值，我们可用差商来代替导数。
通常用如下几种方法：
1.割线法
如果用
代替
，则得到割线法的迭代格式为：
（1-7）
2.拟牛顿法
如果用
代替
，则得到拟牛顿法的迭代格式为：
（1-8）
3.Steffenson法
如果用
代替
，则得到拟牛顿法的迭代格式为：
（1-9）
二、算法分析
1.割线法
割线法的迭代公式为：
k=0,1,2,…
割线法是超线性收敛，其程序流程图为：
2.拟牛顿法
牛顿拟迭代法迭代公式为：
（1）对单根条件下，牛顿拟迭代法平方收敛，牛顿拟迭代法程序框图如下所示：
（2）对重根条件下，此时迭代公式修改为：
m为根的重数
此时，牛顿迭代法至少平方收敛。
3.Steffenson法
Steffenson迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。
三、牛顿法的程序
给定初值
，用牛顿法格式
，
，求解非线性方程
。
*********************************************************************
function[p1,err,k,y]=newton（f1041,df1041,p0,delta,max1）
%f1041是非线性函数。
%df1041是f1041的微商。
%p0是初始值。
%delta是给定允许误差。
%max1是迭代的最大次数。
%p1是牛顿法求得的方程的近似解。
%err是p0的误差估计。
%k是迭代次数。
%y=f（p1）
p0,feval（'f1041',p0）
fork=1:
max1
p1=p0-feval（'f1041',p0）/feval（'df1041',p0）;
err=abs（p1-p0）;
p0=p1;
p1,err,k,y=feval（'f1041',p1）
if（errbreak,
end
p1,err,k,y=feval（'f1041',p1）
end
*********************************************************************
四、程序实例与计算结果
例用上述程序求方程
的一个近似解，给定初值为，误差界为
。
解：
先用m文件先定义二个名为和的函数文件。
functiony=f1041（x）
y=x^3–3*x+2;
functiony=df1041（x）
y=3*x^2-3;
建立一个主程序
clear
newton（'f1041','df1041',,10^（-6）,18）
然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序，即：
>>prog1041
计算结果如下：
p0=
ans=
p1=
err=
k=1
y=
p1=
err=
k=1
y=
p1=
err=
k=2
y=
p1=
err=
k=2
y=
p1=
err=
k=3
y=
p1=
err=
k=3
y=
p1=
err=
k=4
y=
p1=
err=
k=4
y=
p1=
err=
k=5
y=
p1=
err=
k=5
y=
p1=
err=
k=6
y=
p1=
err=
k=6
y=
p1=
err=
k=7
y=
p1=
err=
k=7
y=
p1=
err=
k=8
y=
p1=
err=
k=8
y=
p1=
err=
k=9
y=
p1=
err=
k=9
y=
p1=
err=
k=10
y=
p1=
err=
k=10
y=
p1=
err=
k=11
y=
p1=
err=
k=11
y=
p1=
err=
k=12
y=
p1=
err=
k=12
y=
p1=
err=
k=13
y=
p1=
err=
k=13
y=
p1=
err=
k=14
y=
p1=
err=
k=14
y=
p1=
err=
k=15
y=
p1=
err=
k=15
y=
p1=
err=
k=16
y=
p1=
err=
k=16
y=
p1=
err=
k=17
y=
p1=
err=
k=17
y=
p1=
err=
k=18
y=
ans=
这说明，经过18次迭代得到满足精度要求的值。
以下是程序运行截图：
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