ax
Aidy1dH1
令x+4y=u则——=
dx4dx4
1du1、
y+3
4dx4
du,
—=4u・+13
（lx
3,、
u=—tg（6x+c）-l
2
Y〃Y
16:
证明方程一乎=f（xy）.经变换刃包可化为变*分离方程，并由此求下列方程:
yax
1）y（l+x^y^）ix=xdy
2）X心二2+x：
y：
ydx2-x"y"
证明；令xy=u>则X—+y=—
dxdx
1duu
T•有:
X（lxX"
=f（u）+1
If
du=—dx
H（/（K）+I）J
所以原方程可化为变S分离方程•
、*Jv1duIt
1）令xy=u则丄-="—-
dxXdxX"
原方程可化为：
—=-[1+（xy）2]
（2）
dxX
』小、亠亠1山（UU,乍、
将1代入2式有J（1+u*）
Xaxx~X
u=Jw，+2+cx
17•求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：
设（X+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：
y=y'gX）+y则与X轴，y轴交点分别为：
X=Xo-绎y=Yo-Xoy
y
则x=2=Xq-所以xy=c
y
18•求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中cr=-
4
解：
由题意得：
y
—dy=—dxyX
ln|y|=ln|xc|y=cx.
It
a=—
4
则y=tgaX
所以c=ly=x.
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线.证明：
设gy）为所求曲线上的任意一点，则b=kx
则；y=kx'+c即为所求。
常微分方程习题2.1
e/v
1.—=2xv,并求满足初始条件Jx=0,y=l的特解.dx
解：
对原式进行变量分离得
—dy=两边冋时积分得dn|y|=+c即y=把x=O,y=1代入得
c=l,故'比的特角军为^=幺"
2・y〃x+（x+l）心=0■并求满足初始条件：
x=0,y=l的特解.解：
对原式进行变量分离得：
iix=—Vdy\当yHOH寸，两边同时积分得inx+1=—+c,B|Jy=
Vc+lnx+1
y
当y=a甘显然也是原方程的解当X=0』=l时，代入式子得故特解是
X+I
）一l+lnl+・Y
2
3心-1
解：
原式可化为：
22
空=4■•二飞显然匸丄工。
故分离变量得-^dy=-L-dxdxyx+xyi+y-x+x
（心0）,即（l+y）（l+F）=c2
两边积分得^hU+y
=Inx|——In1+才+Inc
2
故原方程的解为Q+y）（1+x'^X
5：
（y+x）dy+（y-x）dx=0
购dyy-xAydy丄du
W：
—=,令一=«,y=M儿一=u+X—
dxy+xX"Jxiix
则u+X—=—.^^分离.得L上工山心丄厶
i/xU+1U+1X
两边积分得J«zr/&M+；ln（l+“■）=-ln忖+乙
6：
堆*+JF_）广
解.令L=//,y=nx,—=U+A：
—,PJfJ原方程化为:
Xdxdx
i/x
，分离变量得:
jJ«=sgnA■•-J.VX/,-X
两边积分得:
arcsiin/=sgnx♦ln|Aj+c代回原來变量，t'farcsiii—=sgnx•\n\x\+c
X
另外,y=兀2也是方程的解。
7：
fgydv-etfjxJy=0
解：
变量分离，得：
dg刃Y=tgxilx两边积分得dn|smy|=-ln|cos-v|+c.
V*3x
y
解:
变量分离・
9:
x（lnX-Iny）Jy一ydx=0
解：
方程可变为:
―In—•i/v——dx=Q
X'X
令"=上,贝y有丄〃A；=—""dm//
XX1+InW
代回原变量得：
b=l+ln上。
X
10：
虬严
dx匕
解：
变量分离”Jy=£“iix两边积分y=e+c
4:
（1++（1—y}xdy=0
解：
山y=0或r=0是方程的解，当巧hum,变量分离土厶=上2小，=0
XV
=G
两边积分InX+X+Iny—y=c,即Inxy+x-y=故原方程的解为ln|咄=x-y=c;y=0;x=0・
小、.T-V
矿e
解：
变量分离"y=€仏两边积分得：
d=d+Q
哙弋+刃2
解：
令v+y=f,则空=虫+1dxdx
原方程可变为竺=1+1
dx
变量分离得r——dt=
代回变量得：
arctg（x+y）=x+c
令；V+y=f,则生=竺_1,原方程可变；/L=l+ldxdxdxZ"
F
变量分离——dt=dx.两边积分r-azrfgf=x+G代回变量r+1
x+y-arctg（x+y）=x+c13竺=2-yT
dxX-2y+\
解：
方程缈x_y-l=0,x_2y+1=0;的解也=.y=-
人V1V11泅若2x-y.
令x=X—=y+_■则有——=・
33dXX-2Y
令L=u.则方程可化为:
X也=2-2U+2U
X（IX\-2U
变量分离
14竺
dxX-y-2
解^令X-y=5+则生=1一竺,
dxdx
原方程化为1-虫=-^,变量分离（r-7）dr-7厶
dxt-1
两边积分=-7x+c
代回变量*（X—y+5丁一7（x-y+5）=-7x+c.厶
15.；^=（"1尸+⑷+1）2+盹+
解：
方程化:
^^^-=x"+2x+l+16y"+8y+1+8号+1=（A+4y+1）"+2dx
令1+“4），»,则关于X求导得1+4色=也，所以丄^=“2+2,
dxdx
-”■4
228
分离变量齐me
厶，两边积分得"cfg（-+—x+-y）=6x+e,是
原方程的解。
16.
dy_/-2x-
解:
e/v
（）a）2-2x2
3_3[（y3）2_2F]
dxy'（2xy^+Fdx2xy^+"
令/=愉则原方程化为
du
3m--6a-'
dx2xit+x~
牙・
2-+I
X
=z+A-—,所以3z~6=込+片冬,dxdx2z+l（fx
2z+l
dx2z+1
当z2_z-6=0,得z=3或z=-2是
（1）方程的解。
艮慣=3x或）》=_2x是方程的解。
当z2_z-6hOHL变量分离严+1dz亠心两边积分的G-3）7（z+2）3=xNZ-z-d
即（）/_3*（屮+203=“c乂因为）/=3兀或〉卩=-2兀包含在通解中牡=0H寸。
故原方程
的解为C/-3x）7（：
/+2x）3=2怙
dy_2x^+3x>'+X
17.,s——
dx3x-y+2y-y
解：
原方程化为牛=|^£|令专;;;;;务=务■為#
人1M.tdu2v+3/（+1
令“;;;;;;;则_=齐冇口
f2"+3w+l=0的解为a,_D；令z=p_h,Y=“+i,方程组3v+2u-1=0
2+3》
；；O…从而方程Q）化为空=3+2三
z
Ay^/vdt匕匕八Idf2+3t
令t=—f,贝fJW—=r+z—r,所以t+z—=,,
zdzdzdz3+2f
dt2-2/'
z—=
dz3+2f
•⑵
2-2f2=OI时，9即f=±l,是方程
（2）的解Q得y，
=大2_2或F=是原方程的解
2-心呗，分离变量笙茅妇如两边积分術+宀（八宀2）,•
另外
r=x2-2,或包含在其通解中，故原方程的解为r+x2=（y2一兀2+2）5（
解：
令心。
如普磐二匸船若m工。
得宀T矛盾。
△f
所畑om”（Eto"'+"）7⑴=to爲t；；（播"（O）（】+Jf））
警沖+m）
化）=才（0）山两边积分得arctgx（t）=x'（0）t+c
1+D
X（t）=tg[s'（0）t+c]当t=0时X（0）=0故c=0所以x（t）=tg[s*CO）t]
习题2.2
求下列方程的解
1〃）•
1.—=y+sinxdx
解：
y=e妙（Jsinxe」“厶+。
）
=亡"[-—（suix+cos%）+c]
2
=ceJ—（sinx+cosx）是原方程的解。
2
dxh
2.—T3x=e-'dt
dV
解：
原方程可化为：
—=-3x+e-^
dt
所以：
e"eJm山+c）
=c+是原方程的解。
^5
ds1.
3・一=-scosz+—sin2fdt2
AM卜cosfdfzf1•Afsrff
解：
s=eJ（J—sin2Ze^dt+C）
=ef（Jsinfcosf严'df+C
-sin//・.sin/sin/\
e（sinZe—e+c）
e"n'+sin/-l是原方程的解0
4.冬-纬=宀，dxn
n为常数.
解：
原方程可化为：
冬=6，+0*
dxn
=x\e^+c）是原方程的解.
5-少上去+0dxX"
z/v1—2V
dx
解：
原方程可化为：
—=■—y+1X"
dx+c）
（ln.r+->«-In
=e2（卜
=x\i+ce^｝是原方程的解.
6.
解€
则y=（tv
Jvdu
—=u+x—
dxdx
因此J«+%—
dxUdn1
dxu
irdu=dx
-3x=x-i-c
（*）
将1=»带入（*）中得，y3-3x4=c?
是原方程的解.
X
7型一空十+iy
dxx+1
解竺=空+（“1）3
dxx+1
尸皿之=（"1）2
方程的通解为：
y』皿力+C）
=（x+l）-（f7*（x+l）'dx+c）
J（x+1）-
=（x+l）2（J（x+1）dx+c）
即：
2y=c（x+l）-+（x+ir为方程的通解。
解竺=型ZL丄“y2dyyy
则p（y）=-.e（y）=r
fp（y）d7用
e』=■=y
方程的通解为:
X二JPg（J「JPSdQy）心+c）=y（f-*Ad'+c）
Jy
二y+cy
即+cy是方程的通解，且炖也是方程的解。
9竺=空+出卫为常数dxX
解：
MA）=-,e（x）=—
XX
方程的通解为：
y二丿川”皿皿
10.Q+y"dx
5Jv13
解：
亠=一一y+x（lxX
=x"（f——dx+c）
Jx"X
a=0（甘，方程的通解为y=x+ln/x/+c
a=1时，方程的通解为y=cx+xln/x/T
"0,1时，方程的通解为
e（x）J%+c）P{x}=--,Q{x}=x^
fp（Q必■卩办1
€丿=0小=—
X
方程的通解为:
y=e
y=cx
Xi
-P—一
1-aa
=—（fx*r\/x+c）
XJ
x'c
=—+—
4X
方程的通解为：
y=-+-
4X
II.^+,vy=xy
dx
解:
竺=_与+小/dx
两边除以b
dyJ3亦"…^^=-2{-xy~-+x^）令yJ=z
—=-2（-xz+x^）
dx
P{x}=lx,Q{x}=-2x』呱=严=/方程的通解为：
z=丿⑴必（『丿“力”边⑴必+^）
=eh（J
■*■（一2.「）dx+C）
=x"+ce^'+1
故方程的通解为：
），仗2+加'+1）=1,且y=0也是方程的解。
…,小，,C7InX1
12.（yInX-2）yax=xdy—x~+-^+—Andy\nx72v解:
十=—y一一-
axXX
两边除以y2
cly_Inx2）厂*
y~dxXX
dy-'_InA-2y-'
dxXX
令y-l=2dz2InX
PM=-,Q（x）=-—
XX
方程的通解为：
Z=e^（IeJQ（x）dx+c）
旦皿+c）
X
（-dx>-f-rftInX
Z=0（f
儿（）Jx+c）=x"{
JX
cJInx1=—X'++-
424
方程的通解为：
），（£/+—+-）=1,且尸0也是解。
424
13
2xydy=（2y"-x}dx
dy_2y"-x_y1
dx2xyX2y这是n-l时的伯努利方程。
两边同除以一，
y
JvV"1
y—：
-=
dxX2
令W字=2）卑
（ixax
虬亠竺_1
dxXX
2
P（s）=—Q（x）=-1
J
由一阶线性方程的求解公式
p7fT
I—dvP—f—dt
Z=（Jy"dx+e）
=x+x~c
=x+x~c
两边同乘以£「4=（Ry+E
dxX
（lx
x~
竺=沁
dx
dx
dzV+3xz3zz"
=—
XX'
dx
这是n=2时的伯努利方程.
X'
两边同除以r
1dz
31
》1
Z"（lxxzX"
dT
1dz
z?
dx
P（X）=—
dx
dT-3TI,•>•—?
dxXx~
Q（x）=4
X'
由一阶线性方程的求解公式
f—rftIf-rfv
T=』*（J—clx+c）
一尹心
—x~e+ce=x
2
—+xe=c
2
dx小+x'y3
dx3
——=yx+yXdy
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
AX+b
rdyX'
竺=_2f也
dydy
dz
dy
一马一2y'=-2>7-2y'P（y）=-2yQ（y）=一2才
由一阶线性方程的求解公式
Z=€卜曲（J-2汽-卜曲心+C）
=f7（-J2y^e-"dy+c）
=_y・+l+cQ
+{+ee~-'）={
込jF+c•厂f
16y=K+[y（/）山
一*一必
=0*+y（x）
P（x）=lQ（x）=^由一阶线性方程的求解公式
y=J皿（J几T":
仪+c）
=e'（je'e~\fx+c）
=K（x+c）
（x+c）=e"+[e"（X+c）dx
c=l
y=f\X+C）17设函数0（t）于一8〈t〈+8上连续，0（0）存在且满足关系式0（t+s）=e（t）0（S）
试求此函数。
令t=s=O得（P（0+0）=0（0）0（0）tip（P（0）=0（0）2故0（0）=0或0（0）=I
（1）当仇0）=0时
0（f）=0（/+0）=0（/）卩（0）即0（f）=0
Vfe（-8,+8
（2）当0（0）=1时
必）=]im农十Jim呦卩⑷）一呦
03
△f
AttO
Az
△f
AtO△/2/tO
Az
=0（O）0（f）
干是1（纟=0（o）0（f）变量分离得空=0（0）〃/积分0=1・严°"dt（P
由于0（0）=1,KPt=0时0=1=>c=l
故0（0=严°"
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（23）之解:
（2）若＞■=y（x）是（2.3）的非零解，而y=y（;v）是（2.28）的解，则方程（2・28）的通解可表为y=cy{x}+y（x）,其中f为任意常数.
（2.28）
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明：
^=P（x）y+G（x）
dx
（2.3）
（1）
儿是（2.28）的任意两个解
（1）-
（2）
学=P（小+Q（x）dx
字=P（x）”+Q（x）（lx
得
（1）
心宀）*（恥卞）
dx
即y=”一儿是满足方程（2.3〉所以，命题成立。
（3）
dyWnzX
-^—=P{x}y
ax
今—血）+g）
ax
（4）
1）先证y=cy+y是（2.28）的一个解。
于是cx（3）+（4）得
学+字=cP（x}y+P（x）y+Q（x）axax
M（Q+））=pa）（cy+y）+e（x）ax
故y=cy+y是（2.28）的一个解。
2）现证方程（4）的任一解都可写成cy+y的形式
设”是（2.28）的一个解
则
于是（4’）-（4）得
（4’）
dx
从而
"iP{x）dx
）i一y=卅=O'
所以,
”=y+cy命题成立。
（3）
设儿，儿是（2.3）的任意两个解
（5）
^=p（g
ax
（6）
孕=戶（龙）儿
ax
于是
（5）xc得^=cP（x）y3dx
=P（x）（cy3）其中c为任意常数dx
也就是满足方程（2.3）
（5）±（6）得
学土字=P⑴儿土P（x）儿axax
dx
即些3訂⑴（以儿）
也就是y=±满足方程（2.3〉所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方：
（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项:
解：
设P（x.y）为曲线上的任一
升级会员 