高中数学第三章不等式32第1课时简单的一元二次不等式及其解法学案苏教版.docx
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高中数学第三章不等式32第1课时简单的一元二次不等式及其解法学案苏教版
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决．
知识点一 一元二次不等式的概念
思考 我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2>1的解？
你能举出一个解吗？
你能写出不等式x2>1的解集吗？
答案 能使不等式x2>1成立的x的值，都是不等式的解，如x＝2.不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集．
梳理
（1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
（2）能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解．
（3）不等式所有解的集合称为解集．
知识点二 “三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象
ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根
有两相异实根x1，x2（x1有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集
（－∞，x1）
∪（x2，＋∞）
∪
R
ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集
（x1，x2）
∅
∅
知识点三 一元二次不等式的解法
思考 根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.
答案 先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}．
梳理 解一元二次不等式的步骤：
（1）化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0（其中a>0）．
（2）计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解．
（3）有根求根．
（4）根据图象写出不等式的解集．
1．mx2＋5x<0是一元二次不等式．（×）
2．解不等式ax2＋bx＋c>0，即求横坐标x取哪些值时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方．（√）
3．解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性，可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是．（√）
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
解 因为Δ＝（－4）2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝
，
所以原不等式的解集为
.
反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
解 ∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－
，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是
.
命题角度2 二次项系数小于0
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝（－2）2－4×3＝－8<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是∅.
反思与感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担．
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
解 不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝（－6）2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－
，x2＝1＋
，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
.
命题角度3 实际问题中的一元二次不等式
例3 某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
考点 一元二次不等式的应用
题点 一元二次不等式在实际问题中的应用
解 设花卉带的宽度为xm（0×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，
即（x－600）（x－100）≥0，所以0反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
跟踪训练3 在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．
考点 一元二次不等式的应用
题点 一元二次不等式在实际问题中的应用
解 由题意列出不等式s甲＝0.1x甲＋
>12，
s乙＝0.05x乙＋
>10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集．
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
解 由题意得，x1＝1和x2＝2为方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．
由根与系数的关系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，解得x<
或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为
.
反思与感悟 给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
解 方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知
解得
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得
解得
1．不等式2x2－x－1>0的解集是________________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案
解析 ∵2x2－x－1＝（2x＋1）（x－1），
∴由2x2－x－1>0，得（2x＋1）（x－1）>0，
解得x>1或x<－
，
∴不等式的解集为
.
2．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
答案 3
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．
∴－7×（－1）＝
，故a＝3.
3．不等式x2＋x＋2<0的解集为________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案 ∅
解析 由Δ＝12－4×2<0，根据y＝x2＋x＋2的图象（图略）知x2＋x＋2<0的解集为∅.
4．某商品在最近30天内的价格f（t）与时间t（单位：
天）的函数关系是f（t）＝t＋10（0考点 一元二次不等式的应用
题点 一元二次不等式在实际问题中的应用
答案 {t|10≤t≤15，t∈N}
解析 日销售金额＝（t＋10）（－t＋35），
依题意有（t＋10）（－t＋35）≥500，
解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}．
1．解一元二次不等式的常见方法：
（1）图象法：
由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：
ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）；
②求方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
（2）代数法：
将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得{x|x>n或x若（x－m）（x－n）<0，则可得{x|m有口诀如下：
大于取两边，小于取中间．
2．实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0，人数应该为自然数等．
3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
一、填空题
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为____________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案
解析 因为6x2＋x－2≤0⇔（2x－1）·（3x＋2）≤0，所以原不等式的解集为
.
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为____________．
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
答案 {x|－1≤x≤2}
解析 由题意知，－
＝1，
＝－2，
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，
∴x2－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
3．若0>0的解集是____________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
答案
解析 ∵0>1，∴
>t.
∴（t－x）
>0⇔（x－t）
<0⇔t.
4．函数y＝
的定义域为__________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案 （－7,1）
解析 由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即（x＋7）（x－1）<0，所以－75．不等式
<2的解集为__________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案 {x|x≠－2}
解析 ∵x2＋x＋1>0恒成立，
∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔（x＋2）2>0，
∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．
6．设函数f（x）＝
则不等式f（x）>f
（1）的解集是____________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案 （－3,1）∪（3，＋∞）
解析 f
（1）＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，由x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，由x＋6>3，解得－3所以f（x）>f
（1）的解集是（－3,1）∪（3，＋∞）．
7．已知一元二次不等式f（x）<0的解集为
，则f（10x）>0的解集为______________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案 {x|x<－lg2}
解析 由题意知，一元二次不等式f（x）>0的解集为
，即－1<10x<
，解得x<－lg2.
8．已知f（x）＝（x－a）（x－b）＋2（a考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 “三个二次”间对应关系的应用
答案 a<α<β解析 设g（x）＝（x－a）（x－b），
则g（x）向上平移2个单位长度得到f（x）的图象，
由图易知a<α<β9．不等式－1考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式组的解法
答案 {x|－3≤x<－2或0解析 ∵
∴－3≤x<－2或010．不等式x2－3|x|＋2≤0的解集为__________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
答案 {x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}
解析 原不等式等价于|x|2－3|x|＋2≤0，即1≤|x|≤2.
当x≥0时，1≤x≤2；当x<0时，－2≤x≤－1.
所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．
11．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的定义
答案 （－∞，2]∪[4，＋∞）
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
二、解答题
12．已知全集U＝{x|x2>1}，集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，求∁UA.
考点 一元二次不等式的应用
题点 一元二次不等式解集与集合运算
解 依题意，得∁UA中的元素应满足
即
解得∁UA＝{x|x<－1或x≥3}．
13．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为
，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为
，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－
，2，∴
∴b＝－
a，c＝－
a，
∴不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－
x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又∵a<0，∴2x2－5x－3<0，解得－
∴所求不等式的解集为
.
三、探究与拓展
14．解不等式|x－2|－|x－5|≥x2－8x＋14.
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
解 设f（x）＝|x－2|－|x－5|.
①当x≤2时，f（x）＝－3，
而x2－8x＋14＝（x－4）2－2≥－2，
∴f（x）≥x2－8x＋14无解；
②当2原不等式等价于
解得3≤x<5；
③当x≥5时，f（x）＝3，
原不等式等价于
解得5≤x≤4＋
.
综上，原不等式的解集为[3,4＋
]．
15．已知集合A＝{x|x2－x－12<0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a≠0}，若C⊇（A∩B），求实数a的取值范围．
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 “三个二次”间对应关系的应用
解 A＝{x|－32}，
∴A∩B＝{x|2要使C⊇（A∩B），
需
即
解得
≤a≤2，即实数a的取值范围为
.
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