鸡兔同笼题目.docx

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鸡兔同笼题目

　这个问题，是我国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？

　　2×35＝70

　　94－70＝24

　　24÷2＝12

　　35－12＝23

　　我国古代《孙子算子》共三卷，成书大约在公元5世纪。

这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：

　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

　　题目中给出了鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。

鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。

　　现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：

24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

　　我们来总结一下这道题的解题思路：

先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。

概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。

类似地，也可以假设全是兔子。

　　我们也可以采用列方程的办法：

设兔子的数量为X，鸡的数量为Y

　　那么：

X+Y=35；4X+2Y=94算式可以得出：

兔子为12只，鸡为23只

[编辑本段]例题

　　1.班主任张老师带五年级

（2）班50名同学栽树，张老师栽5棵，男生每人栽3棵，女生每人栽2棵，总共栽树120棵，问几名男生，几名女生？

　　2.大油瓶每瓶装4千克，小油瓶2瓶装1千克，现有100千克油装了共60个瓶子。

问大小油瓶各多少个？

　　3.小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的同样多。

问小毛做对几道题？

　　4.有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？

　　我也不知道啊！

[编辑本段]详细解法

　　一,基本问题

　　""鸡兔同笼""是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型解法--""假设法""来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.

　　例1有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只

　　解:

我们设想,每只鸡都是""金鸡独立"",一只脚站着;而每只兔子都用两条后腿,像人一样用两只脚站着.现在,地面上出现脚的总数的一半,·也就是

　　244÷2=122（只）.

　　在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88,剩下的就是兔子头数

　　122-88=34,

　　有34只兔子.当然鸡就有54只.

　　答:

有兔子34只,鸡54只.

　　上面的计算,可以归结为下面算式:

　　总脚数÷2-总头数=兔子数.

　　上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!

能够这样算,主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是,当其他问题转化成这类问题时,""脚数""就不一定是4和2,上面的计算方法就行不通.因此,我们对这类问题给出一种一般解法.

　　还说例1.

　　如果设想88只都是兔子,那么就有4×88只脚,比244只脚多了

　　88×4-244=108（只）.

　　每只鸡比兔子少（4-2）只脚,所以共有鸡

　　（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.

　　说明我们设想的88只""兔子""中,有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式

　　鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

　　当然,我们也可以设想88只都是""鸡"",那么共有脚2×88=176（只）,比244只脚少了

　　244-176=68（只）.

　　每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚,

　　68÷2=34（只）.

　　说明设想中的""鸡"",有34只是兔子,也可以列出公式

　　兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

　　上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就知道另一个数.

　　假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,有人称为""假设法"".

　　现在,拿一个具体问题来试试上面的公式.

　　例2红铅笔每支0.19元,蓝铅笔每支0.11元,两种铅笔共买了16支,花了2.80元.问红,蓝铅笔各买几支

　　解:

以""分""作为钱的单位.我们设想,一种""鸡""有11只脚,一种""兔子""有19只脚,它们共有16个头,280只脚.

　　现在已经把买铅笔问题,转化成""鸡兔同笼""问题了.利用上面算兔数公式,就有

　　蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）

　　=24÷8

　　=3（支）.

　　红笔数=16-3=13（支）.

　　答:

买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.

　　对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的""脚数""19与11之和是30.我们也可以设想16只中,8只是""兔子"",8只是""鸡"",根据这一设想,脚数是

　　8×（11+19）=240.

　　比280少40.

　　40÷（19-11）=5.

　　就知道设想中的8只""鸡""应少5只,也就是""鸡""（蓝铅笔）数是3.

　　30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算.

　　实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如,设想16只中,""兔数""为10,""鸡数""为6,就有脚数

　　19×10+11×6=256.

　　比280少24.

　　24÷（19-11）=3,

　　就知道设想6只""鸡"",要少3只.

　　要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领.

　　下面再举四个稍有难度的例子.

　　例3一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时

　　解:

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30÷6=5（份）,乙每小时打30÷10=3（份）.

　　现在把甲打字的时间看成""兔""头数,乙打字的时间看成""鸡""头数,总头数是7.""兔""的脚数是5,""鸡""的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成""鸡兔同笼""问题了.

　　根据前面的公式

　　""兔""数=（30-3×7）÷（5-3）

　　=4.5,

　　""鸡""数=7-4.5

　　=2.5,

　　也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

　　答:

甲打字用了4小时30分.

　　例4今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年

　　解:

4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作""鸡""头数,弟的年龄看作""兔""头数.25是""总头数"".86是""总脚数"".根据公式,兄的年龄是

　　（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

　　1998年,兄年龄是

　　14-4=10（岁）.

　　父年龄是

　　（25-14）×4-4=40（岁）.

　　因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是

　　（40-10）÷（3-1）=15（岁）.

　　这是2003年.

　　答:

公元2003年时,父年龄是兄年龄的3倍.

　　例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只

　　解:

因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成""8条腿""与""6条腿""两种.利用公式就可以算出8条腿的

　　蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）

　　=5（只）.

　　因此就知道6条腿的小虫共

　　18-5=13（只）.

　　也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀.再利用一次公式

　　蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.

　　因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

　　答:

有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉.

　　例6某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人

　　解:

对2道,3道,4道题的人共有

　　52-7-6=39（人）.

　　他们共做对

　　181-1×7-5×6=144（道）.

　　由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样

　　兔脚数=4,鸡脚数=2.5,

　　总脚数=144,总头数=39.

　　对4道题的有

　　（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.

　　答:

做对4道题的有31人.

　　习题一

　　1.龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只

　　2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副

　　3.一些2分和5分的硬币,共值2.99元,其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍,问5分硬币有多少个

　　4.某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,其中2元与5元的张数一样多.那么2元,5元,10元各有多少张

　　5.一件工程,甲单独做12天完成,乙单独做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着单独做完余下的部分,这样前后共用了16天.甲先做了多少天

　　6.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段

　　7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张

　　二,""两数之差""的问题

　　鸡兔同笼中的总头数是""两数之和"",如果把条件换成""两数之差"",又应该怎样去解呢

　　例7买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张

　　解一:

如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

　　（680-8×40）÷（8+4）=30（张）,

　　这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.

　　因此8分邮票有

　　40+30=70（张）.

　　答:

买了8分的邮票70张,4分的邮票30张.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二:

譬如,假设有20张4分,根据条件""8分比4分多40张"",那么应有60张8分.以""分""作为计算单位,此时邮票总值是

　　4×20+8×60=560.

　　比680少,因此还要增加邮票.为了保持""差""是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是

　　（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.

　　因此4分有20+10=30（张）,8分有60+10=70（张）.

　　例8一项工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天

　　工程要多少天才能完成

　　解:

类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有

　　（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.

　　雨天是7+3=10天,总共

　　7+10=17（天）.

　　答:

这项工程17天完成.

　　请注意,如果把""雨天比晴天多3天""去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个.这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.

　　总脚数是""两数之和"",如果把条件换成""两数之差"",又应该怎样去解呢

　　例9鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只

　　解一:

假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14（只）,鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍）,于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

　　（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.

　　鸡是

　　100-38=62（只）.

　　答:

鸡62只,兔38只.

　　当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

　　（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.

　　也可以用任意假设一个数的办法.

　　解二:

假设有50只鸡,就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

　　4×50-2×50=100,

　　比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只（千万注意,不是2）.因此要减少的兔数是

　　（100-28）÷（4+2）=12（只）.

　　兔只数是

　　50-12=38（只）.

　　另外,还存在下面这样的问题:

总头数换成""两数之差"",总脚数也换成""两数之差"".

　　例10古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字.有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.

　　解一:

如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差

　　13×5×4+20=280（字）.

　　每首字数相差

　　7×4-5×4=8（字）.

　　因此,七言绝句有

　　28÷（28-20）=35（首）.

　　五言绝句有

　　35+13=48（首）.

　　答:

五言绝句48首,七言绝句35首.

　　解二:

假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字）,28×10=280（字）,五言绝句的字数,反而多了

　　460-280=180（字）.

　　与题目中""少20字""相差

　　180+20=200（字）.

　　说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加

　　200÷8=25（首）.

　　五言绝句有

　　23+25=48（首）.

　　七言绝句有

　　10+25=35（首）.

　　在写出""鸡兔同笼""公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设.现在来具体做一下,把列出的计算式子与""鸡兔同笼""公式对照一下,就会发现非常有趣的事.

　　例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是

　　（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.

　　例9,假设都是兔,鸡的只数是

　　（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.

　　10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是

　　（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.

　　首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与""鸡兔同笼""公式比较,这三个算式只是有一处""-""成了""+"".其奥妙何在呢

　　当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.

　　例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只

　　解:

如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是

　　（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.

　　答:

这次搬运中破损了17只玻璃瓶.

　　请你想一想,这是""鸡兔同笼""同一类型的问题吗

　　例12有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错（包含不答）1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小

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jjvcd

2010-1-213:

09:

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　一、典型鸡兔同笼

　　这个问题，是我国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：

"今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

这就是鸡兔同笼的问题。

　　首先，我们分析下题意。

这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔？

　　鸡兔同笼问题共有四种解决办法：

　　1.列表法（五年级课本要求掌握）

　　解法：

把鸡的头数、脚数与兔子的头数、脚数列表一一对应，最后查出鸡有多少，兔有多少。

　　这个办法属于基本方法，虽然老师称之为笨法，但是不影响解决问题，而且简明好理解。

　　缺点：

不适合大数。

如果七八十个头，一两百只脚，考试就不用算别的题了，光画表查鸡兔玩了。

。

。

。

。

　　2.假设与置换法（中国古代流传的方法）

　　解法：

A。

假设所有的头都是鸡20X2＝40足46-40＝6足（与实际相比，差六足）

　　B．置换，换一次增加两条腿4-2＝2足

　　C．6÷2＝3兔20-3＝17鸡

　　注意：

这种办法的关键是要保证其中一个量（头）不变。

　　3.玻利亚跳舞法（西方解法）

　　解法：

A。

金鸡独立，兔子双腿倒立：

腿少了一半变23足，头还是一样多：

20头

　　B．鸡不动；兔子学鸡，一脚独立：

足20，头20.

　　可以得出，有23-20＝3只兔子一脚独立了，所以鸡的数目可求。

　　心得：

孩子认为这一方法好玩好记，解决问题速度最快。

　　4.方程法（一元一次方程，四年级课本要求掌握）

　　解：

设鸡有X只，、则兔子有20-X只

　　列方程：

2X+4（20－X）＝46

　　解得：

X＝17兔子可求。

　　二、新型鸡兔同笼

　　某些问题中的量可能并不是鸡与兔,但是其本质仍是鸡兔同笼问题.比如下面两个问题.我们都采用第二种假设与置换法来解决.

　　例题：

在一个停车场上，汽车、摩托车共停了60辆，一共有190个轮子。

其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，求停车厂上汽车和摩托车各有多少辆？

　　解：

假设60辆都是汽车，则有轮子（60×4=）240个，比已知条件多出（240-190=）50个，这是因为每一辆摩托车被假设为汽车时，就多出2个轮子，所以多出来的50轮子中包含多少个2个轮子，就是多少辆摩托车被假设为汽车的辆。

　　摩托车：

（60×4-190）÷（4-2）=25（辆）

　　汽车：

60-25=35（辆）。

　　例题：

某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明得72分，他做对多少道题？

　　解：

假设15道全对了，则得（8×15=）120分，比已知条件多（120-72=）48分，这是因为每一道错题假设为对题时，相差（8+4）=12分，所以求出来的48分中包含几个12，就是做错题的数量。

　　做错题：

（8×15-72）÷（8+4）=4（道）

　　做对题：

15-4=11（道）。

　　个人认为解决鸡兔同笼问题最为简洁易懂的方法为第二种假设法,但对于不同学段的学生,应采用不同的解决方法,对于高年级的学生来说,方程解决是最为简单的;而对于低年级的小朋友来说,可能玻利亚跳舞法更容易引起他们的兴趣。

这也许也可以理解为是因材施教吧.

　　当然对于新型鸡兔同笼问题,如果学生能够正确分析理解的话,我们也可以用典型的鸡兔同笼问题四种解决方法中的任何一种来解决,问题的关键并不是利用哪种方法解决,而在于能否分析出问题的本质是关于鸡兔同笼的问题.

　　总结：

我们通过对鸡兔同笼的问题的理解，掌握其之间的数量关系，进而再掌握解题思路和方法，能够培养学生的灵活性。

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