鸡兔同笼.docx
《鸡兔同笼.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《鸡兔同笼.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
鸡兔同笼
“鸡兔同笼”问题的另类教学
●施银燕
困惑与思考
“不仅要教知识还要教方法”已经成了数学教育界的共识。
但是教什么方法却众说纷纭。
不管什么词，加上一个“法”字就成了数学方法，这是普遍现象。
怎么才能称得上是数学方法？
我认为应该蕴含了对数学理论与本质认识的数学思想，换言之，应有数学思想的灵魂。
我们首先要做的是，对一般的数学方法和“招数”做出区分，对方法也应分出层次：
如果把整个方法体系看作一棵大树的话，那么，有一些方法是根，另一些方法便是枝叶。
小学里，无疑更应该关注有深刻背景的、能广泛迁移的、具有生长性的方法的根。
带着这些认识，我开始了我的“鸡兔同笼”之旅。
在我国，“鸡兔同笼”问题作为一类有趣又重要的数学问题的代表，大量出现在各种数学书中。
但是进入小学数学教材，近20年里，还是头一次。
这个内容到底该怎么教？
与针对学有余力的孩子开设的数学乐园的教学又有什么区别？
已有的教学中有哪些值得借鉴？
我调查了一个班的学生，几乎人人知道“鸡兔同笼”问题，人人在课外学过，甚至一说到“鸡兔同笼”问题都会用上假设这个词，而基本能模仿，套着路子用假设法解题的不到1/4，真正理解的就更少了。
问及我曾经辅导过的参加数学竞赛的学生（现在北大、清华、人大等就读），说到“鸡兔同笼”问题，他们几乎不约而同地选择了列方程来解。
5人中有2人甚至在我的一再提醒下，还是告诉我，忘了怎么用假设法了。
我自当小学数学老师这么多年一直和数学竞赛打交道，“鸡兔同笼”问题就是假设法对我而言早已是天经地义的事，但是我问我自己：
这方法是我自己想出来的吗？
显然不是。
如果说方法是普适性很强的东西，我更愿意把假设法称作是一种术，招数。
方程尽管是普遍适用的方法，但对没有系统学习代数知识的小学生而言，如何设未知数，如何找相等的数量关系，尤其是如何解这么一个方程都有相当的难度，中学教材也涉及这部分内容，我没必要提前教。
同一内容，可以反复思考，不同阶段有不同的侧重点，思考调查后，我给这节课做了这样的定位：
以“鸡兔同笼”问题为载体，教学最原始，而又最能广泛迁移的尝试法。
没上这节课之前，我对尝试法打心眼里排斥，总觉得这是极没有思维含量，非常原始的一种方法，让人不由自主地想到行为主义关于动物学习的“试误”说。
动物都会的本能，还用学吗？
在对二者不同本质的探寻中，区别逐渐清晰：
动物的“尝试”没有目标，是盲目的试，而我们要做的是有计划、有顺序的尝试，需要理性地分析和调整，如何基于数学思考进行分析调整是这节课所要解决的问题；尝试过程中伴随着不断的猜测，等猜测变成确定的规律之后，就达到了尝试的最高境界——不试。
动物尝试过程中，没有毅力一说，不放弃的唯一理由是外在的刺激——食物的诱惑，我们需要的是自我激励，是勇气坚持。
反复思考之后，我感到，尝试法有其独特的价值。
课堂实录
一、提出问题。
师：
喜欢猜谜吗？
有个问题，它历史悠久，至今已经有1500多年了；它流传广泛，世界上许多国家的大人孩子都研究过它；它出自我国古代的数学名著《孙子算经》；问题里提到两种常见的动物——
生：
“鸡兔同笼”！
师：
知道“鸡兔同笼”的请举手！
（全班都举起了手。
）
师：
大家都知道啊！
既然这样，说说看，你都知道些什么？
生1：
就是鸡和兔关在一个笼子里，告诉你有多少个头，多少只脚，然后问你有几只鸡，几只兔。
生2：
我还知道解决这个问题，用假设法。
就是假设全是鸡，然后算算有多少只脚，再和题目中的脚数相减，看看相差多少，然后要用鸡换成兔，就能求出兔的只数。
师：
有多少同学会他说的这种假设法？
（大部分学生举起了手。
）
二、引导尝试。
师：
这么多同学都会。
那这节课我们还干什么呢？
这样，我教你们另外一种方法，你们还想学吗？
（生点头。
）
师：
（故作不解地）为什么？
生1：
我认为只有自己的方法是不够的，学习新的方法可以提高我们的思维能力。
生2：
学习新方法，不但可以完善自己原来的方法，而且可以检验一下原来的是不是对。
生3：
不同的方法可能有它不同的适用范围！
师：
说得真好！
我这儿就有一个“鸡兔同笼”问题。
（出示：
鸡兔同笼，有12个头，30条腿。
鸡、兔各有几只？
）我向大家推荐的方法是——（板书）尝试。
什么是尝试呢？
生：
我认为就是自己想一个数，再到题目里检验一下，看看对不对。
师：
是的，“尝”在字典里就是“试”的意思，尝试就是（生插话——试试）。
说到尝试，其实同学们一定不陌生，生活中经常会用到。
比如，我给你一串钥匙，让你去开办公室的门，你要不知道是哪把钥匙的话，这时就要——
生：
一把一把地试。
师：
一般来说，尝试一次就成功不太可能。
你准备先试什么，再试什么，有一个初步的考虑后，拿出课前发的表格，把尝试的过程写在表里。
（学生独立尝试，教师巡视。
约3~4分钟后，小组交流。
教师深入2~3个小组倾听，偶尔提问。
）
三、汇报交流。
师：
小组讨论非常热烈！
哪个小组愿意把你们组都认可、欣赏的方法推荐给大家？
简单说出推荐理由。
组1：
（呈现如下表格）
我们先尝试鸡是1只，兔是11只，这样算，一共有46条腿。
接着，我们又试了鸡是2只，兔是10只，腿就有44条，还是不对；我们再试了鸡是3只，兔是9只，腿就有42条——
师：
孩子们，我想，你们试的过程，我们大家从表格里都能看得很清楚，我们现在想知道的是，你们为什么要推荐它？
组1生1：
我们推荐这种方法，是因为它很简单，适合我们全体同学。
组1生2：
在表格里，大家能很清楚地看到数据是怎么变的：
每次鸡增加一只，兔子减少一只，腿的总数就少2。
这样就能很快找到正确答案。
这就是我们的推荐理由。
谢谢大家！
（全班学生给予掌声表示欣赏赞同。
台上学生欲拿回作品回座位。
）
师：
别着急，同学们还有问题想问你们呢！
生1：
后来你们再试的时候，为什么你们只试鸡的只数增加的情况却不试鸡的只数减少的情况呢？
生：
我们是从1只鸡11只兔，（也就是）从头开始试的，鸡最少有1只，当然只能慢慢增加不能减少了！
生2：
我还有个问题，既然你们看出1只鸡、11只兔有46条腿，腿数远远大于30，为什么你们还要一点点地增加，不一下子把鸡的只数多增加一些呢？
这样不就更简便了？
师：
施老师发现你的水平很高，已经在很巧妙地介绍另外的方法了。
一会儿我们再来听你说，好吗？
师：
我们一起再来看这张表。
他们成功地找到结果了，那他们的尝试有什么特点？
生1：
他们是按每次增加一只鸡，减少一只兔这么个办法来试的。
生2：
我发现他们的尝试特别有顺序。
师：
是的，他们把鸡、兔共12个头的情况有序地列举出来，（板书：
有序列举）这么有序地一一列举，有什么好处？
生：
这样就不会漏掉哪种情况，而且不会有重复。
师：
是啊，地毯式大搜索会特别保险，保证不会有“漏网之鱼”。
生：
有序地列举，还容易发现规律。
师：
哦，还有这个好处：
能发现规律？
同学们发现了什么规律？
生：
我发现鸡增加一只，兔子减少一只，腿就减少两条。
（学生点头认可。
）
师：
发现这个规律有什么用？
生1：
发现这个规律，我们就不用死算了，就可以根据这个规律去找。
每次腿减少两条就行了。
生2：
我补充：
46条腿比要求的30条腿多了16条，是两个8，所以鸡要增加8只，兔要减少8只。
鸡就是1+8=9只。
师：
真厉害！
发现了规律，都不用再试了，可以直接跳到正确的结果。
其实这个方法和一开始同学们说的假设法是不是很相似？
（停顿。
）其他组有不同的推荐方案吗？
组2生1：
我们组的方法和他们差不多，也是先想1只鸡、11只兔，有多少条腿，再一个一个地往下试。
但我们是先从鸡、兔各有一半开始试的。
6只鸡、6只兔共有36条腿，比30只多，我们认为鸡一定比兔子多，这样我们再一个一个地试，最后试到9只鸡3只兔是30条腿。
组2生2：
我们认为这种方法比较简便。
组2生3：
我们不像他们组那么麻烦，试了那么多次。
师：
等一下，你们这个方法确实很简单，我们从表里能看到，只试了4次就找到结果了。
凭什么这么简单？
如果简单是因为碰巧运气好，那我们也没法学，简单的背后原因到底是什么？
（许多学生跃跃欲试。
）
师：
你们的知音还真不少！
看看他们能不能说出你们的心里话？
生1：
从鸡和兔各占一半开始试，试完之后就能看出到底是哪种动物多了。
生2：
从鸡、兔各一半开始试，就是36条腿，离正确答案更接近。
生3：
先假设鸡和兔各占一半，如果算出的腿的条数比30条多，那就增加鸡减少兔，如果算出来的腿数比30条少，那就反过来。
这样就能更快地找到答案。
生4：
从中间开始试，就可以使尝试的范围缩小两倍。
生5：
我同意你的观点，但给你纠正个说法：
尝试的范围缩小了一半，不是两倍。
师：
（板书：
分析调整）从刚才几个同学的发言中我听到了这两个词（指板书），你们的尝试不是没有根据的，而是通过对问题进行分析后再作调整，才使尝试的过程变得简便。
6只鸡6只兔，是36条腿，有的人只看到36≠30，这是一次失败的尝试；而咱们好多同学还能从中分析得到更多的信息：
36不仅不等于30，36＞30，腿多了，说明（生：
兔子多了），兔子多了，当然要减少兔子增加鸡，所以我只会往鸡增加这个方向再去尝试，大大缩小了尝试的范围。
通过思考分析之后作出调整，就能更快地成功！
师：
我记得刚才有个同学还有个好方法要介绍，是吗？
请——！
生：
我是从1只鸡11只兔开始试的，但我是跳着试的，所以也很快找到了结果。
师：
（故意地）你一下子从1只鸡跳到了5只鸡，你就不怕把正确答案给跳过了？
生：
我是看到腿多了很多，估计鸡要增加不少，所以说我跳着试是有根据的！
师：
我喜欢这样有根据的跳跃！
生：
（激动地）我给她补充：
就算发现跳过了，也没关系！
再回头试，那样就不用再把鸡的（只数），往大里试了，范围也缩小了很多！
（老师点头赞许。
）
生：
我们是从11只鸡、1只兔开始试的，这样算总共有26条腿，离结果30很接近，所以这种方法更简便。
生：
我第一步就试了8只鸡4只兔，有32条腿，第二步就成功了。
因为我通过分析条件，12个头才30条腿，平均一只动物不到3条腿，我就知道鸡的只数一定比较多！
师：
大家的方法各不相同。
但这些不同的方法中，却有着相同的地方！
生：
都是对问题、对尝试的结果进行分析，然后再作调整的。
师：
真善于总结！
师：
刚才小组交流的时候，我看到这样一幅作品：
那个小组没推荐它。
（学生小声议论：
没做完呢！
太乱了，没顺序！
算错了！
）
师：
是的，试了几次，还没找到结果。
可以说，这几次尝试都失败了。
那么，这几次失败的尝试是不是毫无意义，和没试一样呢？
（一些学生附和：
“是。
”另有几个学生十分激动：
“不是。
”随后举起了手。
）
生：
这几次尝试尽管失败了，但可以让人们知道，已经有三种想法被排除了！
所以不能说这些尝试是没有意义的。
师：
认识真深刻！
你的话让我想到了一位科学家——爱迪生。
爱迪生在发明灯泡时，他试着用了一千多种材料做灯丝，助手灰心地说：
“你已经失败了一千多次了，成功很渺茫，我看你还是放弃吧！
”爱迪生却说：
“我不这么认为！
我认为我成功了！
我成功地发现这一千多种材料是不能做灯丝的！
”最后爱迪生在6000多次失败之后，终于成功找到了做灯丝的材料。
同学们，这位同学如果继续试下去，能成功吗？
生1：
能！
生2：
不能！
大家看，首先，他的尝试很没顺序，一会儿把鸡减少，一会儿又把鸡增加，试来试去，那就很容易把正确的给漏掉了！
大家再看，他这里还算错了！
8只鸡4只兔，不是40条腿！
所以我觉得他如果不思考，不调整自己的想法，是不可能成功的！
师：
谢谢你，这么认真地对待别人的失败！
你的话让我们的分析变得深入！
（对作品的主人）孩子，通过刚才的讨论，你现在有什么想法？
生（有一丝窘迫，小声但又很坚定地）：
我的尝试也是有顺序的，我先是试着减少鸡增加兔子，但是我发现腿更多了，所以我就朝反方向去试，增加鸡减少兔，但是这次我算错了，算到腿仍然变多了。
我就没再试下去。
再有点时间一定能发现自己的错误的！
师：
你特别会反思！
（带头鼓掌）一次没完成的尝试，带给大家这么多的收获，真好！
四、巩固应用。
师：
通过刚才的学习，同学们对尝试这一方法一定有了新的认识，带着这些认识，我们再来看另外一个问题：
今年妈妈28岁，乐乐4岁。
几年后，妈妈的年龄是乐乐的4倍？
什么时候妈妈的年龄是乐乐的9倍？
师：
这两个问题，你们准备怎么试？
把你们尝试的过程写在背面！
（学生独立尝试。
一会儿，一些学生兴奋地想说答案。
“解决了第一问的，可以想想第二问！
”老师示意暂缓，并与个别学生小声交谈。
数分钟之后——）
师：
找到结果了？
第一问的答案是多少？
生：
4年！
师：
多少人通过自己的尝试成功解决了这个问题？
（约2/3的学生举起了手。
）
师：
同样的结果，尝试的方法可能是不同的，好方法让我们大家来分享！
谁愿意先说？
生1：
我是这么试的！
1年后，妈妈29岁，乐乐5岁，不是4倍；2年后，妈妈30岁，乐乐6岁，是5倍，还不行……直到4年后，妈妈32岁，乐乐8岁，正好妈妈的年龄是乐乐的4倍。
生2：
我只尝试了2次！
大家看，我只试了2年后，4年后，我是这么想的——
师：
（打断）同学们，猜一猜他把1年后、3年后这些情况直接给排除了，是什么依据？
（数秒之后。
）
生：
我知道了，因为最后要求妈妈的年龄是乐乐的4倍，那么妈妈的年龄一定是双数，所以只能两年两年地加！
师：
怎么样？
欣赏这个方法吗？
生：
欣赏！
他通过思考，排除了一些情况，使尝试更简便了！
师：
第二问呢？
生1：
我试了好多次，还是试不出来！
（几个学生小声地呼应：
“不可能！
”）
生2：
（激动地）我找到答案了，应该是1年前！
一开始我也是往后试，但是我发现了一个规律，越往后，妈妈年龄是乐乐年龄的倍数越来越小，所以我就猜想妈妈年龄是乐乐的9倍应该是以前的事，我往前倒推，果然1年前妈妈27岁，乐乐3岁，正好是9倍！
（学生给予热烈的掌声。
）
师：
掌声因何响起？
生：
我很佩服他！
他在尝试的过程中像爱迪生那样，面对失败进行思考，发现规律，就找到了尝试的方向！
五、回顾总结。
师：
对尝试这一方法，现在你怎么看？
生1：
我认为，并不是任何问题都有现成的方法能解决，许多时候需要我们去尝试。
师：
同意！
面对新问题，尝试法更有用武之地。
生2：
学数学，只有不停地去尝试，你才能取得成功！
生活中也是这样！
生3：
遇上一个问题，无从下手的时候，不见得非要想一个高明的方法，用这种有点原始的尝试法，一点点地去试，也能找到答案！
生4：
以前我觉得“鸡兔同笼”这个问题很难，用假设法步骤很多，我老要忘掉。
但用尝试法，我觉得就很简单！
生5：
尝试不是傻试，也要动脑子分析，思考得越多，排除的就越多！
师：
是啊，尝试的学问还真不少！
尝试，首先需要像第一个吃螃蟹的人那样，勇敢地去试；尝试过程必然伴随着失败，面对失败，不仅需要像爱迪生试灯丝时的那份坚持，更需要对尝试的结果进行不断地分析、调整，才能更快地成功！
升级会员 