几何体的外接球与内切球.docx
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几何体的外接球与内切球
几何体的外接球与内切球
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几何体的外接球与内切球
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
３、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、体积分割是求内切球半径的通用做法。
一、外接球
（一）多面体几何性质法
1、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16,则这个球的表面积是
A.16B.20Ｃ.24D.32
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，２,3,
则此球的表面积为。
（二）补形法
１、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是.
2、设P,A,B,C是球O面上的四点,且PA,PB,PC两两互相垂直,若PAPBPCa，则球心O到截面ABC的距离是．
小结一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2Ra2b2c2.
3、三棱锥OABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OAOB2OC2a,则三棱锥OABC外接球的表面积为（）
2
A．6a2
B．9a2Ｃ.12a2
D．24a2
４、三棱锥P
ABC的四个顶点均在同一球面上，
其中ABC是正三角形
PA平
面ABC,PA
2AB6则该球的体积为（）
A.163
Ｂ.323
C.48
D．
643
答案及解析：
10．B
点评:
本题考查球的内接体与球的关系,考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键.
5、如图的几何体是长方体ABCDA1B1C1D1的一部分，其中
ABAD3,DD1BB12cm则该几何体的外接球的表面积为
（A11cm2（B）22cm2（Ｃ）1122cm2（Ｄ）1122cm2
3
答案及解析:
１2．【知识点】几何体的结构.G1
B解析：
该几何体的外接球即长方体ABCDA1B1C1D1的外接球，而若长方体
ABCDA1B1C1D1的外接球半径为R，则长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线为2R，
2222211
所以（2R）232322222R2,所以该几何体的外接球的表面积22cm2,故
2
选Ｂ.
【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的关系，进而
得结论．
6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为１的两个全等的等腰直
角三角形,则该几何体的外接球的表面积是（
Ａ．1２πＢ.4π
答案及解析：
14.
考点：
?
由三视图求面积、体积.
分析：
三视图复原几何体是四棱锥,扩展为正方体，它的体对角线,就是球的直径,求出半径，解出球的表面积.
解答：
?
解:
由三视图知该几何体为四棱锥,记作Ｓ﹣AＢＣD,
其中ＳA⊥面ABCD．面AＢCD为正方形,将此四棱锥还原为正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以2ｒ=．
2
∴S球=4πｒ＝４π×＝3π.
答案:
Ｃ点评：
?
本题考查三视图求表面积,几何体的外接球问题,是基础题.
（三）寻求轴截面圆半径法
1、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为.
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球
半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．
2、求棱长为a的正四面体P–AＢＣ的外接球的表面积
3、三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中，AA1=２且AA１⊥平面ABC,△ABＣ是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）
A.８πB.?
C.?
D.?
8π
答案及解析:
7.C
考点：
?
球的体积和表面积．
专题：
?
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积.
解答：
?
解：
由题意可知：
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△AＢC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：
1；
因为AA1=2且AA1⊥平面ABC,所以外接球的半径为：
r==.所以外接球的体积为:
V=πr3=π×（）３＝．
故选：
C.
属于中档题.
点评:
?
本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识8．
4、已知三棱锥ABCD中,ABACBDCD2,BC2AD，直线
AD与底面
BCD所成角为3，则此时三棱锥外接球的体积为
3
C.432
D.832
答案及解析：
11．Ｄ
四）球心定位法
1、在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直
面角BAC
A．125
12
D,则四面体ABCD的外接球的体积为125125B.C．
96
125
D.
3
C
2、如图所示是
个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
B．16
C．32
D．
6４
3、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为
PA2,则此三棱锥外接球的半径为（）
3
4、如图，在三棱锥A﹣ＢCD中,△ACD与△BＣD是全等的等腰三角形，且平面AＣＤ⊥平
C．答案及解析：
E．
F．考点:
球的体积和表面积；球内接多面体．
G．专题：
空间位置关系与距离.
H．分析:
取AB，CＤ中点分别为E，F，连接ＥF，ＡＦ,ＢF，求出EF,判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA,ＯC，求出半径,然后求解表面积．
I．解答：
解:
取AB,CＤ中点分别为Ｅ，F,连接EF,AF,BF,由题意知AF⊥ＢＦ,ＡF=ＢF，
EF=2,易知三棱锥的外接球球心O在线段EＦ上,连接OＡ，ＯC,有R2＝ＡE2＋OE2,R２＝ＣF2＋ＯF2,求得,所以其表面积为．
J．故答案为：
.
K．
L．点评：
本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题,对考生的空间想象能力与运算
求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题,属于较难题.
M．2８.
N．２9．
5、在三棱锥ABCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心,若E为BC的中点,且直线AE与底面BCD所成角的正切值为
O．22,则三棱锥ABCD外接球的表面积为＿_＿_.
P．答案及解析：
Q．29.6
R．
二、内切球问题
1、一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为2的12根木条搭成的正方体中，
该气球球表面积最大是_＿__＿．
2、正三棱锥的高为1，底面边长为26。
求棱锥的内切球的表面积。
3、三棱锥ABCD的两条棱ABCD6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径
４、如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCＤ﹣Ａ1Ｂ1C1Ｄ1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）
A.π?
B.?
Ｃ．?
D.π
答案及解析：
4.C
考点：
截面及其作法．
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
根据正方体和球的结构特征,判断出平面ACD１是正三角形,求出它的边长,再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积
解答：
?
解:
根据题意知,平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点Ｄ为公共点的三个面的切点恰为三角形AＣＤ1三边的中点，
故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，
故选：
C
已知正四棱锥OABCD（底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥
答案及解析：
28.4
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