362圆的切线的判定及内切圆.docx
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362圆的切线的判定及内切圆
第3课时 圆的切线的判定及内切圆
关键问答
①切线的判定方法有哪些？
②什么是三角形的内心？
它有什么性质？
1.①下列直线中一定是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线D．过圆的直径的端点的直线
2．若直线l是⊙O的切线，要判定AB⊥l，还需要添加的条件是（ ）
A．AB经过圆心OB．AB是直径
C．AB是直径，B是切点D．AB是直线，B是切点
3．②如图3－6－23，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝________°.
图3－6－23
命题点1 证明圆的切线 [热度：
99%]
4．如图3－6－24，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，O是线段AD上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O交AC于点E，EF⊥BC于点F，则EF________⊙O的切线．（填“是”或“不是”）
图3－6－24
5.③2017·白银如图3－6－25，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C.
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：
直线CD是⊙M的切线．
图3－6－25
方法点拨
③要证明已知直线是圆的切线，若已知直线过圆上某一点，则可作出过这一点的半径，再证明直线垂直于该半径；若未指明直线与圆有公共点，则可过圆心作已知直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.
6．2018·黄石如图3－6－26，已知A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，⊙O的直径BE＝2
，∠BCD＝120°，A为
的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE.
（1）求线段BD的长；
（2）求证：
直线PE是⊙O的切线．
图3－6－26
命题点2 与三角形的内切圆有关的计算 [热度：
92%]
7．④已知直角三角形的两条直角边长分别为12cm和16cm，则这个直角三角形的内切圆的半径是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
解题突破
④
（1）三角形的内心与各顶点的连线将三角形分成3个小三角形，而每个小三角形的高均为其内切圆的半径，底为三角形的三边，所以S△ABC＝
（AB＋AC＋BC）·r（r为其内切圆的半径）；
（2）直角三角形内切圆半径的计算公式：
r＝
（a，b为直角边长，c为斜边长）．
8．如图3－6－27，圆I是三角形ABC的内切圆，D，E，F为3个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为（ ）
图3－6－27
A．68°B．52°C．76°D．38°
9．2018·荆门如图3－6－28，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I是△ABC的内心，将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为（ ）
图3－6－28
A．（－2，3）B．（－3，2）C．（3，－2）D．（2，－3）
10.如图3－6－29，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D，E，F，则下列等式：
①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF；④∠AED＋∠BFE＋∠CDF＝180°，其中等式成立的有（ ）
图3－6－29
A．1个B．2个C．3个D．4个
11.⑤如图3－6－30，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连接BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.
（1）求∠A的度数；
（2）求⊙O的半径．
图3－6－30
方法点拨
⑤对于三角形的内切圆中的计算问题，要注意切线性质的应用，一般情况下，看到切点连半径是常用辅助线的作法.
命题点3 切线的判定与性质的综合应用 [热度：
99%]
12．如图3－6－31，在△ABO中，OA＝OB，C是AB边的中点，以点O为圆心的圆过点C.
（1）求证：
AB与⊙O相切；
（2）若∠AOB＝120°，AB＝4
，求⊙O的面积．
图3－6－31
13.⑥如图3－6－32，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，CD＝4，求▱OABC的面积．
图3－6－32
方法点拨
⑥解决有关切线问题的关键是正确添加辅助线，添加辅助线的原则与方法是“有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径”.
14．如图3－6－33①，Rt△ABC的两条直角边长分别为6和8，作Rt△ABC的内切圆，则内切圆的半径为2；作Rt△ABC斜边上的高，则Rt△ABC被分成两个小直角三角形，分别作其内切圆，得到图②，这两个内切圆的半径的和为________；在图②中继续作小直角三角形斜边上的高，再分别作被分成的小直角三角形的内切圆，得到图③，…，依此类推，若在Rt△ABC中作出了16个这样的小直角三角形，它们的内切圆面积分别记为S1，S2，…，S16，则S1＋S2＋…＋S16＝________．
图3－6－33
15.⑦联想三角形内心的概念，我们可引出如下概念．
定义：
到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
举例：
如图3－6－34①，若PD＝PE，则点P为△ABC的准内心．
应用：
如图3－6－34②，BF为等边三角形ABC的角平分线，准内心P在BF上，PD⊥AB，PE⊥BC，且PF＝
BP，求证：
点P是△ABC的内心．
图3－6－34
方法点拨
⑦理解新情境下的定义，并在新问题中，把新定义或新法则转化成已经学过的基本事实、定理、定义．新定义问题往往涉及分类讨论的数学思想.
详解详析
1．B [解析]A项，割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确．B项，符合切线的判定，故正确．C项，应为垂直于圆的半径且过半径外端点的直线，故不正确．D项，应为过圆的直径的端点并与该直径垂直的直线，故不正确．故选B.
2．C [解析]根据圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”进行分析，则这里的AB是直径，且一端是切点．故选C.
3．130 [解析]∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝
（∠ABC＋∠ACB）＝
×（180°－80°）＝50°，∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
4．是 [解析]如图，连接OE.
∵∠BAC＝90°，D为BC边的中点，∴AD＝
BC＝CD，
∴∠C＝∠DAC.
∵OA＝OE，
∴∠DAC＝∠AEO，
∴∠C＝∠AEO，∴OE∥BC.
∵EF⊥BC，∴EF⊥OE，∴EF是⊙O的切线．
5．解：
（1）∵A（0，6），N（0，2），
∴AN＝4.
∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，
∴NB＝
＝4
，
∴B（4
，2）．
（2）证明：
连接MC，NC.
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN＝90°，
∴∠NCB＝90°.
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD＝
NB＝ND，
∴∠CND＝∠NCD.
∵MC＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC.
∵∠MNC＋∠CND＝90°，
∴∠MCN＋∠NCD＝90°，
即MC⊥CD，
∴直线CD是⊙M的切线．
6．解：
（1）如图，连接DE，
∵∠BCD＋∠DEB＝180°，
∴∠DEB＝180°－120°＝60°.
∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.
在Rt△BDE中，sin60°＝
，
∴BD＝BE·sin60°＝2
×
＝3.
（2）证明：
如图，连接EA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，∴∠PAE＝90°.
∵A为
的中点，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝45°.
在△ABE和△APE中，
∵AB＝AP，∠BAE＝∠PAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△APE，
∴∠P＝∠ABE＝45°，
∴∠PEB＝90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
7．C [解析]∵直角三角形的两条直角边长分别为12cm，16cm，
∴直角三角形的斜边长是20cm，
∴内切圆的半径为（12＋16－20）÷2＝4（cm）．
故选C.
8．C [解析]∵圆I是三角形ABC的内切圆，D，F为切点，∴ID⊥AB，IF⊥AC，∴∠IDA＝∠IFA＝90°，∴∠A＋∠DIF＝180°.∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，∴∠A＝180°－104°＝76°.故选C.
9．A [解析]过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E.
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC＝4，AC＝3，则AB＝5.
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边的距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF＝1，故I到BC的距离也为1，
则AE＝1，故IE＝3－1＝2，OE＝4－1＝3，
∴I（3，2）．
∵△ABC绕原点O逆时针旋转90°，
∴I的对应点I′的坐标为（－2，3）．
故选A.
10．B
11．解：
（1）连接OD，OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OF⊥AC.
又∵∠DOF＝2∠DEF＝2×45°＝90°，
∴∠A＝360°－∠ODA－∠DOF－∠OFA＝360°－90°－90°－90°＝90°.
（2）设⊙O的半径为r，
要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
由
（1）知四边形ADOF是矩形，又OD＝OF，
∴OD∥AC，OD＝OF＝AD＝AF＝r，
∴△BOD∽△BGA，
∴
＝
，
即
＝
，解得r＝
，
∴⊙O的半径为
.
12．解：
（1）证明：
连接OC.
∵在△ABO中，OA＝OB，C是AB边的中点，
∴OC⊥AB.
∵以点O为圆心的圆过点C，
∴AB与⊙O相切．
（2）∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°.
∵AB＝4
，C是AB边的中点，
∴AC＝
AB＝2
，
∴OC＝AC·tanA＝2
×
＝2，
∴⊙O的面积为π×22＝4π.
13．[解析]
（1）连接OD，要证CD是⊙O的切线，需证∠ODC＝90°，可转化为证∠CEO＝∠CDO，故证△ODC≌△OEC即可；
（2）▱OABC的面积是△OCD面积的2倍，求出△OCD的面积即可．
解：
（1）证明：
连接OD.
∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，
∴∠COE＝∠OAD，∠COD＝∠ODA，
∴∠COD＝∠COE.
又∵OD＝OE，OC＝OC，
∴△ODC≌△OEC（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC.
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC＝90°，
∴∠ODC＝90°.
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）S△OCD＝
CD·OD＝
×4×3＝6，
而▱OABC的面积是△OCD面积的2倍，
故▱OABC的面积为6×2＝12.
14.
4π [解析]
（1）如图①，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为E，F，则∠OEC＝∠OFC＝90°.
∵∠C＝90°，∴四边形OECF为矩形．
∵OE＝OF，∴矩形OECF为正方形．
设圆O的半径为r，则r＝
＝2.
∴S1＝π×22＝4π.
（2）如图②，由S△ABC＝
×6×8＝
×10×CD，
得CD＝
.
由勾股定理，得AD＝
＝
，BD＝10－
＝
.
同理可得：
⊙O的半径＝
＝
，⊙E的半径＝
＝
，
∴这两个内切圆的半径的和＝
＋
＝
，
∴S1＋S2＝π×（
）2＋π×（
）2＝4π.
（3）如图③，由S△CDB＝
×
×
＝
×8×MD，得MD＝
，
由勾股定理得CM＝
＝
，MB＝8－
＝
，
由
（2）得⊙O的半径＝
，同理得⊙E的半径＝
＝
，
⊙F的半径＝
＝
，
∴S1＋S2＋S3＝π×（
）2＋π×（
）2＋π×（
）2＝4π.
…
观察规律可知S1＋S2＋S3＋…＋S16＝4π.
15．证明：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.
∵BF为△ABC的角平分线，
∴∠PBE＝30°，∴PE＝
BP.
∵BF是等边三角形ABC的角平分线，
∴BF⊥AC.
∵点P是△ABC的准内心，PD⊥AB，PE⊥BC，PF＝
BP，
∴PE＝PD＝PF，∴点P是△ABC的内心．
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。
为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?
吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:
“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!
”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。
特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:
提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。
根本原因还是无“米”下“锅”。
于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。
所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。
要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
[关键问答]
①
（1）根据定义，即和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?
尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
（3）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②三角形的内心是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．
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