初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题含答案 42.docx

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初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题含答案42

初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题（含答案）

如图

（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

（2）在x轴上是否存在点P，使得PA+PB最短，最短距离是多少？

（3）直接写出A1B1C1三点的坐标.

【答案】

（1）见解析；

（2）

；（3）点A1（2，3），点B1（3，1），点C1（1，-2）.

【解析】

【分析】

（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变，画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1即可；

（2）作点B关于x轴的对称点B2，连接B2A，交x轴于点P，此时PA+PB最短，即PA+PB=AB2，再利用勾股定理求出AB2的长即可；（3）根据直角坐标系中的三角形，直接写出A1、B1、C1三点的坐标即可.

【详解】

（1）∵关于y轴对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变

∴如图所示：

△A1B1C1就是所求作的三角形.

（2）作点B关于x轴的对称点B2，连接B2A，交x轴于点P，此时PA+PB最短，

∴PA+PB=AB2=

=

，

∴最短距离为：

；

（3）点A1（2，3），点B1（3，1），点C1（1，-2）.

【点睛】

本题考查的是作图-轴对称变换及轴对称-最短路线问题，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

92．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40°．

（1）求∠NMB的度数；

（2）如果将

（1）中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；

（3）你发现∠A与∠NMB有什么关系，试证明之．

【答案】

（1）∠NMB=20°；

（2）∠NMB=35°；（3）∠NMB=

∠A，证明见解析.

【解析】

试题分析：

（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；

（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案；

（3）由在△ABC中，AB=AC，根据等腰三角形的性质，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，即可求得答案．

试题解析：

（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，

∴MN⊥AB，

∴∠NMB=90°−∠ABC=20°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，

∴∠ABC=∠ACB=55°，

∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，

∴MN⊥AB，

∴∠NMB=90°−∠ABC=35°；

（3）∠NMB=

∠A.

理由：

∵在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=

，

∵AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，

∴MN⊥AB，

∴∠NMB=90°−∠ABC=

∠A.

点睛：

此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.注意数形结合思想的应用.

93．如图，上午8时，一艘轮船从A处出发以每小时20海里的速度向正北航行，10时到达B处，则轮船在A处测得灯塔C在北偏西36°，航行到B处时，又测得灯塔C在北偏西72°，求从B到灯塔C的距离．

【答案】从B到灯塔C的距离40海里

【解析】

【分析】

易得AB长为40海里，利用三角形的外角知识可得△ABC为等腰三角形，那么BC=AB．

【详解】

解：

由题意得：

AB=（10-8）×20=40海里，

∵∠C=72°-∠A=36°=∠A，

∴BC=AB=40海里．

答：

从B到灯塔C的距离为40海里．

【点睛】

考查方向角问题；利用外角知识判断出△ABC的形状是解决本题的突破点．

94．如图，在线段AB上取一点C（非中点），分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于点F，连接BD交CE于点G，AE和BD交于点H.

（1）求证：

△ACE≌△DCB

（2）求∠BHE的度数

【答案】

（1）证明见解析；

（2）∠BHE=60°.

【解析】

【分析】

（1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS定理即可得△ACE≌△DCB；

（2）利用全等三角形对应角相等得到∠CAE=∠DCB，利用外角性质及等量代换即可求出∠BHE的度数．

【详解】

（1）∵△ACD，△ECB是等边三角形，

∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠ECB=60°，

∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACE=∠BCD，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

∵∠ACD=∠CDB+∠CBD，∠ACD=60°，

∴∠CAE+∠CBD=60°，

∴∠BHE=∠CAE+∠CBD=60°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

95．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠C=∠E，∠BAD=∠CAE，AC=AE．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）若∠B=60°，求证：

△ABD是等边三角形．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知求得∠BAC＝∠DAE，再由已知∠E＝∠C，AE＝AC，所以根据ASA可判定△ABC≌△ADE；

（2）由全等三角形对应边相等得到AB=AD，再由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得到结论．

【详解】

（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．

在△ABC和△ADE中，∵

，∴△ABC≌△ADE（ASA）．

（2）∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD．

∵∠B=60°，∴△ABD是等边三角形．

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定及全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

96．已知：

点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．

（1）点D、E分别在线段BA、BC上；

①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，则∠APD的度数为　　；

②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数；

（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：

BD＝CE．

【答案】

（1）①60°；②45°；

（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）连结AC，由条件可以得出△ABC为等边三角形，再由证△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AECF是平行四边形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出结论；

（3）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，推出CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．

【详解】

（1）①如图1，连结AC，

∵AD＝BE，BD＝CE，

∴AD+BD＝BE+CE，

∴AB＝BC．

∵∠B＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC．

在△CBD和△ACE中

，

∴△CBD≌△ACE（SAS），

∴∠BCD＝∠CAE．

∵∠APD＝∠CAE+∠ACD，

∴∠APD＝∠BCD+∠ACD＝60°．

故答案为60°；

②如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，

∴∠FAD＝90°．

∵∠B＝90°，

∴∠FAD＝∠B．

在△FAD和△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．

∵∠BDC+∠BCD＝90°，

∴∠ADF+∠BDC＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴∠FCD＝45°．

∵∠FAD＝90°，∠B＝90，

∴∠FAD+∠B＝180°，

∴AF∥BC．

∵DB＝CE，

∴AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF，

∴∠EAC＝∠FCA．

∵∠APD＝∠ACP+∠EAC，

∴∠APD＝∠ACP+∠ACE＝45°；

（2）如图3，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，

∴∠FAD＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠FAD＝∠DBC＝90°．

在△FAD和△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．

∵∠BDC+∠BCD＝90°，

∴∠ADF+∠BDC＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴∠FCD＝45°．

∵∠APD＝45°，

∴∠FCD＝∠APD，

∴CF∥AE．

∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，

∴∠FAD＝∠ABC，

∴AF∥BC．

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF＝CE，

∴CE＝BD．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．

97．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．如图，已知

．求证：

．

证明：

在△ABC和△DCB中，

AB=DC（已知）

AC=DB（已知）

=（）

∴△ABC≌△DCB（）

∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC（）

∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB即∠1=∠2

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

找出与△ABC对应的△DCB，根据SSS方法判定三角形全等即可求得△ABC≌△DCB，根据全等三角形对应角相等的性质即可解题．

【详解】

证明：

在△ABC和△DCB中，

AB=DC（已知）

AC=DB（已知）

BC=CB（公共边）

∴△ABC≌△DCB（SSS）

∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC（全等三角形对应角相等）

∴∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB,即∠1=∠2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABC≌△DCB是解题的关键．

98．已知AB＝AC，BD＝CE，求证：

∠B＝∠C．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

首先证明

，再根据

即可证明．

【详解】

证明：

∵

，

∴

在

和

中

∴

∴

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定方法边角边定理，熟练掌握该定理是证题的关键．

99．尺规作图题：

已知：

、

，线段a．

求作：

，使

，

，

．（注：

不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

作射线CM，在射线CM上截取CB=2a，作∠ECB=β，∠FBC=

，射线CE交射线BF于点A，则△ABC即为所求．

【详解】

解：

如图，△ABC即为所求．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

100．画△ABC，使∠A＝50°，∠B＝70°，AC＝2cm。

【答案】

【解析】

【分析】

先由三角形内角和求出∠C,再画出线段AC=2cm，然后分别在端点A和B以线段AC为一条边，做出∠A和∠C且两角另一条边交于点B.

【详解】

做法：

如图

由∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C=180°-50°-70°=60°

画出长为2cm的线段AC

分别在端点A和B以线段AC为一条边，做出∠A和∠C;

两角的另一边相交于点C.

【点睛】

本题考查按要求作图，但是直接作，不能完成。

因此，先求出∠C成为解答本题的关键。