学大精品讲义六上数学含答案第八讲工程问题一.docx
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学大精品讲义六上数学含答案第八讲工程问题一
第八讲工程问题
（一）
课程目标
1.工程问题中工作总量、工作时间、工作效率的意义的理解；
2.工程问题的工作总量、工作时间、工作效率三个数量关系的理解与运用；
3.工程问题中利用单位“1”表示工作总量的运用；
课程重点
运用工程问题的工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系解决问题。
课程难点
1.工程问题中工作总量、工作时间、工作效率三个数量关系的理解和运用；
2.工程问题中利用单位“1”表示工作总量的运用；
3.工程问题中的合作问题；工程问题中先单独做再合作的问题。
教学方法建议
1.工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，所以要求我们认真审题，抓住关键，选择适合的方法。
2.研究这三种数量关系，在解题中要注意三种数量关系的对应关系。
即求谁的工
作时间，就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。
（讲解、分析、比较、练习。
）
一．知识梳理
1.计算有关工程问题的工作总量、工作时间、工作效率的问题叫工程问题。
工程问题中有整数应用题和分
数应用题，它们讨论同样都是工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。
2.工程问题的特点：
一般没有具体的工作总量，工作总量通常用单位“1”表示，用
1表示各单位
工作时间
的工作效率。
工作效率与完成工作总量所需时间互为倒数。
解工程问题应用题，一般都是围绕寻找工作效率的问题进行。
3.工程问题的基本数量关系式：
工作效率⨯工作时间=工作总量工作总量÷工作效率=工作时间
总做总量÷工作时间=工作效率
工程问题主要是研究这三种数量关系，在解题中要注意三种数量关系的对应关系。
即求谁的工作时间，就要找它所对应的工作总量和它对应的工作效率。
4.工程问题有关注水和放水的问题，两开关齐开，研究的是工作效率的差。
工程问题往往关系复杂，题型多样，富于变化，所以要求我们认真审题，抓住关键，选择适合的方法。
二．方法归纳
工程问题是分数应用题的一种，这类问题的特点是一般不给出具体的工作总量，解题时常把工作总量看作单位1，工作问题作为一种典型应用题，具有特定的解题思路，实际生活中有许多题目可以用这种思考。
可以利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，
抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整
个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
基本思路：
以每人每天的工作量计算工作效率。
关键问题：
以工作效率为突破口，梳理工作的过程。
注意事项：
要找准单位“1”
三．课堂精讲
例1一项工程，甲单独完成需要3小时，乙单独完成需4小时，甲乙合作几小时完成这项工程的1？
2
【解题规律】能把工作总量看成单位“1”，找出工作效率，考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时要注意从问题出发，找出已知条件与所求问题之间的关系，再已知条件回到问题即可
解决问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
1.生产一批零件，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要12天完成，丙单独做需要10天完成，如果甲、乙、丙三人合作，多少天完成？
2.一项工程，甲单独做需要20小时，乙单独做要30小时，两队合作10小时完成了工程的几分之几？
3.一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工作效率是甲的2倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？
3
4.
一件工作，甲单独做需要12天，乙的工作效率是甲的
4
4
，两个合做，几天能完成这件工作的？
5
例2有一份稿件，单独一个人打，甲要10小时完成，乙要8小时完成，两人合作2小时，打印了全稿的几分之几？
剩下的由甲单独打，还要多少小时？
【解题规律】理解工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看做单位“1”，再利用它们的数量关系解答。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
5.
一项工程，甲单独做8天完成，乙8天才可以完成这项工程的2，两队合作，几天可以完成？
3
6.一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。
现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要几天可以完成全部工作
例3一项工程，甲、乙两队合做，10天可以完成．如果甲队做4天，乙队做6天，共完成这项工程的．求甲队独做这项工程要多少天？
【解题规律】已知两人的共同效率及其中一个人的效率，求出另外一个人的效率，由此得出所要求的问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
7.一件工作，甲乙两人合作30天可以完成，他们共同做了6天后，甲离开了剩下的由乙继续做了40天才完成。
如果这件工作由甲或乙单独完成需要多少天？
8.某工程甲、乙、丙三个队合作4天完成，甲队单独做8天完成，乙队单独做需要12天完成，丙队单独做需要多少天？
9.某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成。
如果由甲、乙两人合作，需48天完成。
现
在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要多少天？
10.（2012年小联盟）甲做一项工程用18天就能单独完成，如果甲乙双方一起做，用6天就能完成工程的一半，求，乙方单独完成工程的话用多少天才行？
11.某项工作先有甲单独做45天，再由乙单独做18天可以完成，如果甲乙两人合作可30天内完成。
现由
甲先单做20天，然后再由乙来单独完成，还需要多少天。
例4广州市某大厦发生火灾后，需要再次装修。
由甲乙两个工程队一起装修，需要24天完成。
现由甲队先
盖6天，再由乙队盖2天，共盖了这间屋子的
3，如果这座大厦全部由甲队装修，需要多少天完成？
20
【解题规律】由两人所做的工程及所花时间、共同效率之间的关系，求出各自的效率，要正确理解这些关系，才能找出解题的突破口
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
12.某工程先由甲单独做40天，再由乙做28天就可以完成。
现在甲乙合作35天就完成了。
如果先由甲单
独做30天，再由乙接着做，乙还要工作多少天才能完成？
13.甲、乙两队合作15天可以完成一项工程，如果两队合作5天后，乙队在单独做12天，还剩下这项工程
的2没有完成，乙单独做完这项工程需要多少天？
5
例5（难度系数四颗星）甲乙两人做一项工程，如果全是晴天，甲需要12天，乙需要15天可以完成，雨天甲的工作效率比晴天减少40%，乙减少10%，两人同时开工，恰好同时完工，问工程中有多少个雨天？
1
，雨天时甲的工作效率就是
1
×（1﹣40%）=
1
；晴天时乙的工作效率是
1
12
12
20
15
解：
晴天时甲的工作效率是
雨天时乙的工作效率就是1×（1﹣10%）=
15
，
3．
50
日工作效率相比：
晴天甲比乙快1-1=
1215
1雨天甲比乙慢3-1
606020
=1
100
晴天甲比乙快出的
1，多少个雨天里就追过来了：
16060
÷1
100
=5（天）
3
即3个晴天的量5个雨天就追平了．6个晴天的量10个雨天就追平了．
验证6个晴天和10个雨天
1
×6+
1
×10=1乙：
1
×6+
3
12
20
15
50
甲：
×10=1
因为甲=乙所以工作中有10个雨天．
答：
工作中有10个雨天．
【解题规律】这种类型的题要注意分析单位1、效率、时间、总量的关系，把这项工作看成单位“1”，工作效率都用分数表示出来，求出晴天和雨天的工效比，看晴天甲比乙多做的工作量在雨天乙需要几天追
平．最后代入数据验证．找到符合条件的数据．难度较大。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】C
14.有甲乙两项工程，现分别由A、B两个施工队完成。
在晴天A施工队完成任务要12天，B施工队完成任务需要15天；在雨天，A施工队的工作效率要下降50%，B施工队的工作效率要下降25%。
最后两施工队同时开工并同时完工，在施工的日子里，雨天有多少天？
例6（2013•北京模拟）一件工作，甲、乙合作要4小时完成，乙、丙合作要5小时完成．现在先由甲、丙
合作2小时后，余下的乙还需6小时完成，乙单独做这件工作要几小时？
解：
可以理解成甲乙先合作2小时，乙丙再合作2小时，丙还做了6﹣2﹣2=2小时．
并2小时完成了1﹣
﹣
=
，
所以乙单独做这件工作要2÷
=20小时．
答：
乙单独做这件工作要20小时．
【解题规律】三人完成工作总量的类型,主要考查工作量、工作时间及工作效率之间的关系．
【搭配课堂训练题】
【难度分级】B
15.
一项工程甲单独做6天可以完成，乙单独做要用8天可以完成，丙先做三天，结果完成这项工程的1，
4
余下的由甲、乙、丙三人合作，还需要几天完成？
例7有一项工程，甲队单独作业需要10小时，乙队单独作业需要8小时，如果按照甲、乙，甲、乙，…的
顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工作需要多长时间？
解：
1÷（
）4个循环后剩下的工作量，甲需要的时间：
1﹣（
）×4=
=1÷
=4（次）
剩下的工作量甲需要的时间是:
=1（小时）．
完成这项工作需要的时间是：
4×2+1=9（小时）．答：
完成这项工作需要9小时．
【解题规律】属于两人轮流做的工程问题,关键是求出循环的次数，然后再求循环完以后还需要的时间.
【搭配课堂训练题】
【难度分级】A
16.一件工程甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。
如果按照甲乙、甲乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少小时完成？
四.讲练结合题
1.一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，
已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：
乙休息了多少天？
2.如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半，请问：
甲队单独完成这项工程需要多少天？
3.一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成．如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替
工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？
4.游泳池有甲、乙、丙三个注水管。
如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注
满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池。
那么，单开丙管需要多少小时注满水池？
五．课后自测练习
1.一项工程，计划5小时完成，实际4小时就完成了任务，工作效率提高了（）。
1
B、
1
C、
1
20
5
4
A、D、无法确定
2.打一份稿件，甲单独打4小时完成，乙独单打5小时完成。
今甲乙合打2小时，正好打了90页。
（1）这份稿件共有多少页？
（2）两人共同打完这份稿件要用多少时间？
3.一项工程甲独做24小时完成，乙独做36小时完成。
现在要求20小时完成，并且两人合做的时间尽可能少。
那么，甲、乙合做了几个小时？
4.一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？
5.一项工程，甲独做要12天，乙独做要16天，丙独做要20天，如果甲先做了3天，丙又做了5天，其余的由乙去做，还要几天？
6.一个水池,单独开甲进水管需10小时将它注满,单独开乙进水管需12小时将它注满,单独开丙放水管需30小时放完一池水,问同时开放三管,多少小时将空池注满?
7.一项工程，甲队单独做15天完成，乙队独做好10天完成。
甲乙合作若干天后，乙队因另有任务调走，
从开始到完成任务，甲队工作了9天。
乙队比甲队少工作几天？
8.一件工作，甲单独做需要20天完成，乙单独需要12天完成。
这件工作先由甲做了若干天后，然后由乙
继续做完，从开始到完工共用14天。
这件工作先由甲独做了几天？
9.抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙两人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工
1
作效率和的
5
；如果三人合抄只需要8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天？
第八讲工程问题
（一）【答案】
111
例1．解：
÷（+）
234
17
=÷
212
6
=
7
6
答：
甲乙合作
7
1
小时能够完成这项工程的。
2
【搭配课堂训练题】
111
1．解：
1÷（++）
151210
15
=1÷
60
=4（天）
答：
甲乙丙三人合作，4天完成。
11
2．解：
（+
2030
）×10
1
=
20
1
×10+
30
×10
11
=+
23
5
=
6
5
答：
两队合作10小时完成了工程的。
6
1
3．解：
1÷（
8
18
+×2）=
83
8
答：
3
天能完成这件工作。
4
4．解：
5
113
÷（+×
12124
17
）=5天
35
17
答：
5
35
4
天能完成这件工作的。
5
1
例2．（
10
19
+）×2=
820
91
（1-）÷
2010
11
=（小时）
2
11
答：
剩下的由甲单独打，还要
2
小时。
【搭配课堂训练题】
12
5．1÷（+
83
4
÷8）=4
5
（天）
4
答：
4
5
天可以完成。
1
6．（1-
9
1
×3）÷
6
=4（天）
答：
乙需要4天可以完成全部工作。
71
例3.乙：
（-
1510
1
×4）÷（6-4）=
30
1
1÷（
10
1
-）=15（天）
30
答：
甲队独做这项工程要15天。
【搭配课堂训练题】
1
7．乙：
（1-
30
1
×6）÷40=
50
1
1÷
50
=50（天）
11
甲：
1÷（-
3050
）=75（天）
答：
如果这件工作由甲或乙单独完成需要75天。
1
8．1÷（
4
11
--
812
）=24（天）
答：
丙队单独做需要24天。
7
9．28÷48=
12
75
1-=
1212
5
甲：
12
1
÷（63-28）=
84
乙：
11
-
4884
1
=
112
1
（1-
84
×42）÷
1
112
=56（天）
答：
甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需要56天。
1
10．
6
11
-=
189
1
1÷
9
=9（天）
答：
乙方单独完成工程的话用9天才行。
1
11．解：
设甲需要x天，则乙需要（
30
-x）天；
1
45x+18×（
30
-x）=1
x=
2
135
（1-
2
135
1
×20）÷（
30
2
-
135
）=38（天）
答：
甲先单做20天，然后再由乙来单独完成，还需要38天。
1
例4．解：
设甲需要x天，则乙需要（
24
-x）天；
1
6x+2（
24
3
-x）=
20
1
x=
60
111
-=
246040
1
1÷
60
=60（天）
答：
乙需要60天。
【搭配课堂训练题】
1
12.解：
设甲工作x天，则乙工作（
35
-x）天；
1
40x+（
35
-x）×28=1
1
x=
60
111
-=
356084
11
×30=
602
11
（1-）÷
284
=42（天）
答：
乙还要工作42天才能完成。
1
13.12÷（1-
15
2
×5-
5
）=45（天）
答：
乙单独做完这项工程需要45天。
例5：
【搭配课堂训练题】
1.解：
设晴天x天，雨天y天；
11
×（1-50%）=
1224
11
×（1-25%）=
1520
11
x+
1224
y=1
11
x+
1520
y=1解得：
x=6，y=12
答：
在施工的日子里，雨天有12天。
例6.【搭配课堂训练题】
14.（1-）=2（天）
答：
余下的由甲、乙、丙三人合作，还需要2天完成。
例7.【搭配课堂训练题】
11
1÷（+
610
3
）=3
4
（小时）
111
1-（+）=
6105
111
÷=1
565
（小时）
111
（-）÷
5610
1
=（小时）
3
1
3+3+31+
3
1
=7（小时）
3
1
答：
每次一小时，那么需要7
3
小时完成。
四、讲练结合题
1.解：
设乙休息了x天；
11
×（16-2）+
2030
×（16-x）=1
x=7答：
乙休息了7天。
11
2.（-
224
1
×10）÷5=
60
1
1÷（
24
1
-）=40（天）
60
答：
甲单独完成这项工程需要40天。
11
3.1÷（+
610
3
）=3
4
小时
11
1-（+
610
1
）×3=
5
111
÷=1
565
小时
1
（
5
11
-）÷
610
1
=小时
3
1
3+3+1+
3
1
=7小时
3
1
答：
每人工作1小时后交换，那么需要7
3
小时才能完成任务。
1
4.乙：
8
13
-=
2040
13
丙：
-
640
11
=
120
1÷
11
120
120
=
11
（小时）
答：
单开丙管需要
120
11
小时注满水池。
五．课后自测练习1.C
1
2.
（1）
4
19
+=
520
99
×2=
2010
9
90÷
10
=100（页）
答：
这份稿件共有100页；
9
（2）1÷=
20
20
（小时）
9
20
答：
两人共同打完这份稿件要用
9
小时。
15
3.×20=
246
51
1-=
66
11
÷
636
=6（小时）
答，甲、乙合做了6个小时。
1
4.甲：
+
60
11
=
2015
111
乙：
+=
603020
11
1÷（+-
1520
1
）=10（小时）
60
答：
需要10小时。
11
5.×3=
124
11
×=
204
111
1--=
442
11
÷
216
=8（天）
答：
还要8天。
1
6.1÷（
10
11
+-
1230
20
）=（小时）
3
20
答：
同时开放三管,
3
小时将空池注满。
13
7.×9=
155
31
（1-）÷
510
=4（天）
9-4=5（天）
答：
乙队比甲队少工作5天。
8.解：
设甲单独做了x天，则乙做了（14-x）天；
11
x+
2012
（14-x）=1
x=5
答：
这件工作先由甲独做了5天。
9.方法一：
1
解：
设甲要x天，乙要y天，则甲的功效为
x
1
，乙的功效为
y
11
，丙的功效为-；
xy
11111
-=（+）
xy5xy
1111
（++-
xyxy
）×8=1
解得x=16y=24
答：
乙一人单独抄需要24天。
方法二：
1
三人合作的效率为：
8
1
甲的效率为：
8
1
÷2=
16
丙：
（甲＋乙）=1:
5
111
丙：
×=
8648
11
乙的效率：
-
816
11
-=
4824
1
1÷
24
=24（天）
答：
乙一人单独抄需要24天。
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