三角形中位线定理专练.docx

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三角形中位线定理专练

1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：

BD=2EF．

2．如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：

△EFG是等腰三角形．

3．在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？

并说明理由．

4．如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：

MN∥BC．

5．如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．

求证：

MN=

（AB+BC+AC）

6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：

四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：

∠DHF=∠DEF．

7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．

求证：

OM=ON．

8．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：

BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

三角形中位线定理专练

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．（2014?

山东模拟）如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD，垂足是E，F是CB的中点．求证：

BD=2EF．

【专题】常规题型．

【分析】根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证E为CD的中点，再求证EF为△BCD的中位线．

【解答】证明：

在△ACD中，因为AD=AC且AE⊥CD，

所以根据等腰三角形中底边的垂线与底边的交点即中点，可以证明：

E为CD的中点，又因为F是CB的中点，

所以，EF∥BD，且EF为△BCD的中位线，

因此EF=

BD，即BD=2EF．

【点评】此题主要是中位线定理在三角形中的应用，考查在三角形中位线为对应边长的

的定理．

2．（2015春?

天津校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：

△EFG是等腰三角形．

【专题】证明题．

【分析】由于E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，利用中位线定理，GF=

AD，GE=

BC，又因为AD=BC，所以GF=GE．

【解答】证明：

∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．

∴GF=

AD，GE=

BC．

又∵AD=BC，

∴GF=GE，

即△EFG是等腰三角形．

【点评】本题通过给出的中点，利用中位线定理，证得边相等，从而证明等腰三角形，是一道基础题．

3．（2015秋?

青岛校级月考）在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？

并说明理由．

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=

BC，MN∥BC且MN=

BC，从而得到EF∥MN且EF=MN，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断．

【解答】解：

四边形MNEF是平行四边形．

理由如下：

∵BE、CF是中线，

∴E、F分别是AC、AB的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC且EF=

BC，

∵M、N分别是BO、CO中点，

∴MN是△OBC的中位线，

∴MN∥BC且MN=

BC，

∴EF∥MN且EF=MN，

∴四边形MNEF是平行四边形．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．

4．（2015春?

泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：

MN∥BC．

【专题】证明题．

【分析】延长AN、AM分别交BC于点D、G，根据BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG可知∠BAN=∠BGN故△ABG为等腰三角形，所以BN也为等腰三角形的中线，即AM=GN．同理AM=DM，根据三角形中位线定理即可得出结论．

【解答】证明：

延长AN、AM分别交BC于点D、G．

∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，

∴∠BAG=∠BGA，

∴△ABG为等腰三角形，

∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．

同理AM=DM，

∴MN为△ADG的中位线，

∴MN∥BC．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．

5．（2015春?

富顺县校级月考）如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连结MN．

求证：

MN=

（AB+BC+AC）

【专题】证明题．

【分析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB=DB，AM=DM，同理：

AN=EN，AC=CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．

【解答】证明：

∵AM⊥BM，

∴∠AMB=∠DMB=90°，

∵BM平分∠ABD，

∴∠ABM=∠DBM，

在△ABM与△DBM中，

，

∴△ABM≌△DBM（asa），

∴AB=DB，AM=DM，

同理：

AN=EN，AC=CE，

∴MN=

DE=

（DB+BC+CE）=

（AB+BC+AC）．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

6．（2014?

宿迁）如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．

（1）求证：

四边形ADEF是平行四边形；

（2）求证：

∠DHF=∠DEF．

【专题】证明题；几何综合题．

【分析】

（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；

（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．

【解答】证明：

（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DE、EF都是△ABC的中位线，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DEF=∠BAC，

∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，

∴DH=AD，FH=AF，

∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，

∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，

∠DHA+∠FHA=∠DHF，

∴∠DHF=∠BAC，

∴∠DHF=∠DEF．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

7．（2014?

丹阳市校级模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD．

求证：

OM=ON．

【专题】证明题．

【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．

【解答】证明：

取AD的中点G，连接EG，FG，

∵G、F分别为AD、CD的中点，

∴GF是△ACD的中位线，

∴GF=

AC，

同理可得，GE=

BD，

∵AC=BD，

∴GF=GE=

AC=

BD．

∴∠GFN=∠GEM，

又∵EG∥OM，FG∥ON，

∴∠OMN=∠GEM=∠GFN=∠ONM，

∴OM=ON．

【点评】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是构造三角形的中位线．运用三角形的中位线的数量关系和位置关系进行分析证明．

8．（2013?

永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：

BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

【分析】

（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；

（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由

（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．

【解答】

（1）证明：

在△ABN和△ADN中，

∵

，

∴△ABN≌△ADN（ASA），

∴BN=DN．

（2）解：

∵△ABN≌△ADN，

∴AD=AB=10，

又∵点M是BC中点，

∴MN是△BDC的中位线，

∴CD=2MN=6，

故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．

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