从面积到乘法公式导学案.docx
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从面积到乘法公式导学案
从面积到乘法公式导学案
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9.1单项式乘单项式
自主空间
学习目标
知识与技能：
熟练运用单项式乘单项式法则进行运算；
过程与方法：
经过单项式乘单项式法则的运用，体验运用法则的价值；
情感、态度与价值观：
培养学生观察、比较、归纳及运算的能力。
学习重点
单项式乘单项式法则
学习难点
运用单项式乘单项式法则解答实际问题
教学流程
预
习
导
航
同学们，现在我们家里都有电视机，大家都知道电视机的横切面是个长方形，下面我们一起来研究这样一个问题：
将几台型号相同的电视机叠放在一起组成“电视墙”，计算图中这些电视墙的面积。
（每一个小长方形的长为a，宽为b）
我们可以看到，“电视墙”是一个长方形，由9个小长方形组成。
从整体上看，“电视墙”的面积为长方形的长与宽的积：
3a•3b；
从局部看，“电视墙”中的每个小长方形的面积都是ab，“电视墙”的面积是这些小长方形的面积和：
9ab。
于是，我们有：
3a•3b=9ab.
合
作
探
究
.
新知探究：
一起来观察上面这个等式：
3a•3b=9ab，根据上学期的学习，同学们知道，3a、3b都是单项式，9ab也是个单项式，那么计算时是否有一定的规律性？
4ab•5b这两个单项式的积是20ab吗？
请学生回答，教师加以总结归纳：
两个单项式3a与3b相乘，只要把两个单项式的系数3与3相乘，再把这两个单项式的字母a与b相乘，即3a•3b=（3×3）•（a•b）=9ab.
4ab•5b这两个单项式的积是20ab。
同学们回答的太棒了，两个单项式相乘，实际上是运用了乘法交换律与结合律。
由此，我们可以得到单项式乘单项式法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。
二、例题分析：
计算：
（1）a•（6ab）；
（2）（2x）•（－3xy）.
解：
（1）a•（6ab）
=（×6）•（a•a）•b
=2ab；（教师规范格式）
（2）（2x）•（－3xy）.
=8x•（－3xy）
=【8×（－3）】（x•x）y
=－24xy.
三、展示交流：
计算：
（1）a•（6ab）；
（2）（2x）•（－3xy）.
解：
（1）a•（6ab）
=（×6）•（a•a）•b
=2ab；（教师规范格式）
（2）（2x）•（－3xy）.
=8x•（－3xy）
=【8×（－3）】（x•x）y
=－24xy.
四、提炼总结：
（1）单项式乘单项式法则；
（2）运用时应注意什么？
当
堂
达
标
、下列计算是否正确？
不正确的，指出错在哪里，并改正：
（1）3x4•2x2=6x6
（
）
（2）ab2•3abc=3a2b3
（
）
（3）4xy•=－28xy
（
）
（4）6a8•6a8=12a16
（
）
2、选择：
（1）下列运算中，正确的是
（
）
A、a10÷a5=a2
B、4=a7
c、2=x2－y2
D、4a3•=－12a6
（2）若•=－12x12，则适合条件的m,k的值应是
（
）
A、m=3,k=8
B、m=－3,k=8
c、m=8,k=3
D、m=－3,k=3
3、计算：
－3xy•2xy
3a2b•2ab•abc2
••6ab2c
2•32•5
××
5•2•x3y
3•4
3•2•abc
3•xyz•2
[－22]2•3
[课外延伸]（仔细想一想，你是最棒的）
、计算：
（1）•
2×3×2
5x3y•2+2•+xy3•
10×10
2.
已知，9an－3b2n与－2a3mb5－n的积与5a4b9是同类项，求m,n的值.
学习反思：
课题
9.2单项式乘多项式
自主空间
学习目标
知识与技能：
知道单项式乘多项式法则，能正确运算。
过程与方法：
根据图形理解单项式乘多项式法则,学会利用数形结合的方法。
情感、态度与价值观：
通过数形结合理解法则，在学习过程中体会数学是灵活与
严谨相互要求的学科，激发学生学习数学的兴趣。
学习重点
单项式乘多项式法则的理解与运用
学习难点
数形结合的方法的理解，计算的准确
教学流程
预
习
导
航
．5*=
,5*1+5*2=
.
2.计算下图的面积，并把你的算法与同学交流:
如果把图中看成一个大长方形，它的长为b＋c＋d,宽为a,那么它的面积为
.
如果把上图看成是由3个小长方形组成的，那么它的面积为:
.
3.a=
.
合
作
探
究
一、
新知探究：
上图中，有两张长方形纸片，把它们叠合成图右边的形状，这时的面积是多少？
你能有几种计算的方法？
其实，对于任意的a、b、c、d,由乘法分配律同样可以得到a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad.
请学生回答：
单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
.
例题分析：
如图，一长方形地块用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积。
3a＋2b
2a－b
人民广场
4a
3a
商业用地
住宅广场
分析：
要求这块地的面积，只要求出这块地的长和宽，然后用长乘宽即可。
或者求出每个小长方形的面积，然后相加即可。
解：
长方形地块的长为：
（3a＋2b）＋（2a－b）,
宽为4a,这块地的面积为：
4a•【（3a＋2b）＋（2a－b）】
=4a•（5a＋b）
=4a•5a＋4a•b
=20a＋4ab.
答：
这块地的面积为20a＋4ab
三、展示交流：
根据乘法分配律，请同学们计算
•；
•ab
（3）
（4）
四、提炼总结：
.你有什么收获？
（把单项式乘以多项式转化为单项乘以单项）
2．计算时注意点：
（1）积的符号；
（2）字母以及指数。
当
堂
达
课题
9.3多项式乘多项式
自主空间
学习目标
知识与技能：
1．使学生掌握多项式的乘法法则；
.
会进行多项式的乘法运算
过程与方法：
结合教学内容渗透“转化”思想，发展学生的数学能力
情感、态度与价值观：
注意由浅入深，让学生数学很简单，容易掌握，愿意学；并能应用所学的知识解决一些简单的实际问题，体会学以致用。
学习重点
多项式的乘法法则及其应用
学习难点
多项式的乘法法则
教学流程
预
习
导
航
提出问题
我们在上一节课里学习了单项式与多项式的乘法，请口算下列练习中的、：
3x=______． k=______． =______．
比较与、在形式上有何不同？
如何进行多项式乘以多项式的计算呢？
请同学们对照课本先研究一下我们在课堂上所要探讨的问题
合
作
探
究
一、新知探究：
师生共同研究多项式乘法的法则
看图回答：
长方形的长是______
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ
四个小长方形面积分别是_____
由，可得出等式______．
这样得出了和上面一致的结论，即
＝ac+ad+bc+bd．
上述运算过程可以表示为
引导学生观察式特征，讨论并回答：
如何用文字语言叙述多项式的乘法法则？
多项式与多项式相乘的步骤应该是什么？
引导学生归纳出：
一般地，多项式与多项式相乘，①先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项；②再把所得的结果相加
二、例题分析：
．计算：
2．计算
（1）n
三、展示交流：
1。
计算：
（1）
（2）
（3） （4）
2．判断题：
=ac+ad+bc；
=ac+ad+ac+bd；
=ac+ad+bc+bd；
=ac+ad+bc－ad．
3．把计算结果填入题后的括号内：
=；
2＝；
＝；
＝；
=；
=；
=。
四、
提炼总结：
启发引导学生归纳本节所学的内容：
1．多项式的乘法法则
=ac+ad+bc+bd
2．注意点
（1）步骤；
（2）符号、字母、指数。
当
堂
达
标
.
计算：
①
②
学习反思：
课题
9.4乘法公式
（1）
自主空间
学习目标
知识与技能：
1.能说出完全平方公式及其结构特征；
.
能正确的运用乘法公式进行计算。
过程与方法：
通过图形面积的计算感受乘法公式的直观解释
情感、态度与价值观：
通过数形结合理解法则，在学习过程中体会数学是灵活与
严谨相互要求的学科，激发学生学习数学的兴趣
学习重点
能够熟练掌握乘法公式
学习难点
正确运用乘法公式进行计算
教学流程
预
习
导
航
怎样计算上图的面积？
它有哪些表示方法？
合
作
探
究
.
新知探究：
1.完全平方公式
如果把上图看成一个大正方形，它的面积为
如果把它看成2个相同的长方形与2个小正方形，它的面积为
则易得=
也可通过多项式乘法法则得到对于任意的a、b，上式都成立
=
——完全平方公式
同样通过计算上图阴影的面积，易得
也可利用多项式乘法法则证明对于任意a、b上式都成立
=
——完全平方公式
1.
例题分析：
1：
计算
⑴
⑵
⑶
2.用完全平方公式计算:
2
2
完全平方公式、是乘法公式中的一种，在计算时可以直接使用。
三展示交流：
.计算
（1）2
2
（3）2
（4）2
2.填空：
.=2－2=
.2－2=
.2=
2=
.2=
2=
x2－6xy+=2
.2=
+12xy+
四
提炼总结：
.思考：
与相等吗？
与相等吗
2.已知a+b=－2,ab=－15求a2+b2.
3.今天我们学习了乘法公式
=
试说出这２个公式的特点
当
堂
达
标
.计算
（1）
（2）
（3）
（1）
（2）
1.
如图一个正方形的边长为acm.若边长减少6cm,则这个正方形的面积减少了多少?
学习反思：
课题
9.4乘法公式
（2）
自主空间
学习目标
知识与技能：
1.正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算
.
在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力
过程与方法：
继续体会数形结合的思想，合理运用公式转化.。
情感、态度与价值观：
并能应用所学的知识解决一些简单的实际问题，体会学以致用，提高学习数学的兴趣。
学习重点
正确熟练的运用乘法公式进行混合运算和简化的计算
学习难点
能够在运用公式计算中，提高变形应用公式的能力
教学流程
预
习
导
航
在上图中大正方形的边长为acm，小正方形的边长为bcm，试求两个正方形之间部分的面积是多少？
合
作
探
究
.
新知探究：
回忆上节课所学的乘法公式：
=
这节课我们继续学习利用乘法公式解决实际问题
你能仿照上面的过程，得到下面的公式吗？
——平方差公式
二、例题分析：
例1：
用乘法公式计算
1.
2.
3.
例2：
计算
⑴
；
⑵
；
⑶
；
⑷ [2－2]2
三、展示交流：
.利用乘法公式进行计算：
2－2
2－2+2
2.已知，求⑴
，⑵
四、提炼总结：
你能理解完全平方公式和平方差公式的结构特征以及它们的差别吗？
当
堂
达
标
．
利用乘法公式进行计算
（1）
204×196
（10）
2、在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）
A、
B、
c、
D、
3、下列计算正确的是（
）
A、=a2－3b2
B、=－a2－9b2
c、=a2－9b2
D、=a2－9b2
4.试求…+1的个位数字
5.a+b=5,ab=3，求：
2；a2+b2；a4+b4
6.观察下列各式=x2－1，=x3－1，=x4－1，根据前面各式的规律可得=
。
课题
9.5单项式乘多项式法则的再认识——因式分解
（一）
自主空间
学习目标
知识与技能：
理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系
过程与方法：
会用提公因式法进行因式分解
情感、态度与价值观：
掌握提公因式的方法培养学生的观察、分析、判断及自学能力
学习重点
、会使用提公因式法进行因式分解
2、了解因式分解意义
学习难点
、理解公因式意义
2、正确用提公因式法把多项式进行因式分解
教学流程
预
习
导
航
手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？
你能给出数学解释吗？
合
作
探
究
一、新知探究：
、观察分析
把单项式乘多项式的乘法法则
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad
①
反过来，就得到
ab＋ac＋ad=a（b＋c＋d）②
这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积。
思考
（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3吗？
（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？
你能说出这个因式吗？
2、认识公因式
多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common
factor）。
.
观察分析
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积。
确定一个多项式的公因式时，要从
和
两方面，分别进行考虑。
（1）如何确定公因式的数字系数？
（2）如何确定公因式的字母？
字母的指数怎么定？
练习：
写出下列多项式各项的公因式
（1）8x－16
（2）a2x2y－axy2
（3）4x2－2x
（4）6a2b－4a3b3－2ab
3、把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解
练习：
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；
（2）a2－1=（a＋1）（a－1）
（3）（a＋1）（a－1）=a2－1
二、例题分析：
例1：
把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c
（2）－2m3＋8m2－12m
说明：
鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结。
三、展示交流：
、
辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因。
（1）分解因式
8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）
（2）分解因式
4x4－2x3y=x3（4x－2y）
（3）分解因式
a3－a2=a2（a－1）=a3－a2
2、求999＋9992的值
四、提炼总结：
通过学习，
（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？
（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？
（3）公因式可能是多项式吗？
如果可能，那又当如何分解因式呢？
当
堂
达
标
、
把下列各式分解因式
⑴–3x2+18x–27；
⑵18a2–50；
⑶2x2y–8xy+8y。
（4）62－2
22－x
（6）2x2－3
二、求值．
、已知a＋b=7，ab=6，求a2b＋ab2的值。
.
x－y，其中a=3，x=2，y=4；
2、
已知m、n为自然数，且m（m－n）－n（n－m）=7，
求m、n的值。
三、你能根据下图写出几个等式吗？
你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？
哪些是因式分解的变形？
课题
9.6乘法公式再认识——因式分解
（二）
自主空间
学习目标
、使学生进一步理解因式分解的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。
3、会运用平方差公式分解因式。
4、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。
学习重点
会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式
学习难点
理解平方差公式的意义，正确运用平方差公式对进行分解因式
教学流程
预
习
导
航
992－1是100的整数倍吗？
老师可将知识分解开来讲：
992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？
为什么可以这么写？
9992－1可以吗？
A2－1可以写成（a+1）吗？
5a2－4可以写成乘积形式吗？
你认为可以写成什么样子呢？
A2－b2呢？
合
作
探
究
一、新知探究：
、和老师比一比，看谁算的又快又准确：
572－562
962－952
说明：
算式的设计要体现出运用分解计算的简便性，以激发学生的好奇心和求知欲
1、
计算图中的阴影部分面积
（用a、b的代数式表示）
问题一：
整体计算可以怎样表示？
问题二：
分割成如图两部分可以怎样计算？
问题三：
比较两种计算的结果你有什么发现？
说明：
学生可能先分割再整体得出：
=a2－b2
也有的是先整体再分割得出a2－b2=
两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。
二、例题分析：
例题1：
把下列各式分解因式；
36–25x2
;
16a2–9b2
;92–42
.
例题2：
如图，求圆环形绿化区的面积
三、展示交流：
、把下列多项式分解因式：
.2－2
2.92－42
2、
观察下列算式回答问题：
32－1=8
52－1=24=8×3
72－1=48=8×6
92－1=80=8×10
………
问：
根据上述的式子，你发现了什么？
你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？
你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？
四、提炼总结：
学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系。
能用自己的语言说出平方差公式的特点。
能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式。
当
堂
达
标
．填空：
81x2－
=;
=
=
81a4－b4=
若a+b=1,
a2+b2=1
,则ab=
;
2、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（
）
（A）
（B）
（c）
（D）
3、把下列各式分解因式：
（1）36－x2
（2）
a2－b2
（3）x2－16y2
（4）x2y2－z2
（5）2－9
（6）2－2
（7）252－42
（8）0.252－0.812
4、在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积。
5、已知x2－y2=－1，x+y=，求x－y的值。
6、利用因式分解计算
（1）
（2）…
（3）已知：
4m+n=90，2m－3n=10，求2－2的值。
课题
乘法公式的再认识——因式分解第2课时
自主空间
学习目标
、了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解。
2、通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力。
3、通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力。
4、通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣。
学习重点
完全平方公式分解因式
学习难点
掌握完全平方公式的特点
教学流程
预
习
导
航
、前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
2、在括号内填上适当的式子，使等式成立：
2＝
2＝
a2＋＋1＝2
a2－＋1＝2
3、观察一列整数：
1，4，9，16，25，……，有什么特点？
4、数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？
a2＋2a＋1
a
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