104随机事件的概率.docx

104随机事件的概率.docx

《104随机事件的概率.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《104随机事件的概率.docx（12页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

104随机事件的概率

”

10．4　随机事件的概率

1．随机事件和确定事件

（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．

（2）在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．

必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．

（3）在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．

（4）____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．

2．频率与概率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn（A）＝________为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn（A）稳定在某个常数上，把这个____________记作P（A），称为事件A的____________．

（3）在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．

3．事件的关系与运算（类比集合的关系与运算）

定义

符号表示

包含关系

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A（或称事件A包含于事件B）

（或A⊆B）

相等关系

若B⊇A且A⊇B

____________

并事件

（和事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件

A∪B

（或A＋B）

交事件

（积事件）

若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件

A∩B

（或AB）

互斥事件

若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥

A∩B＝______

对立事件

若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件

A∩B＝______

P（A∪B）

＝P（A）＋P（B）

＝________

拓展：

“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：

两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：

①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．

4．概率的几个基本性质

（1）概率的取值范围：

____________.

（2）必然事件的概率P（E）＝____________.

（3）不可能事件的概率P（F）＝____________.

（4）互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝__________________________.

推广：

如果事件A1，A2，…，An两两互斥（彼此互斥），那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋An）＝_______________________.

②若事件B与事件A互为对立事件，则P（A）＝__________________________.

自查自纠：

1．

（1）必然事件　

（2）不可能事件　

（3）随机事件（4）确定事件　随机事件

2．

（1）频数　

（2）频率　常数　概率

（3）小概率事件

3．包含　B⊇A　A＝B　或　且　A∩B　∅　A∩BA∪B　∅　1

4．

（1）0≤P（A）≤1　

（2）1　（3）0　

（4）①P（A）＋P（B）　P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）　②1－P（B）

（

）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：

粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（　　）

A．134石B．169石

C．338石D．1365石

解：

依题意，这批米内夹谷约为

×1534≈169（石），故选B.

从装有红球和绿球的口袋内任取2个球（已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（　　）

A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球

B．恰有一个红球，恰有两个绿球

C．至少有一个红球，都是红球

D．至少有一个红球，都是绿球

解：

选项A，C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．故选B.

给出下列三个命题，其中正确命题的个数是（　　）

①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；

②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是

；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．

A．0B．1C．2D．3

解：

要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率

不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数，在其附近波动，这个常数叫做概率，所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的．由此可知①②③都是不正确的．故选A.

（

）从一副混合后的扑克牌（54张）中，随机抽取1张．事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P（A∪B）＝____________（结果用最简分数表示）．

解：

因为P（A）＝

，P（B）＝

，所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝

＋

＝

＝

.故填

.

（

）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

解：

所求概率为1－

＝

.故填

.

类型一　随机事件的概念

　同时掷两颗骰子一次，

（1）“点数之和是13”是什么事件？

其概率是多少？

（2）“点数之和在2～13之间”是什么事件？

其概率是多少？

（3）“点数之和是7”是什么事件？

其概率是多少？

解：

（1）由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，故此事件是不可能事件，其概率为0.

（2）由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13之间，它是必然事件，其概率为1.

（3）由

（2）知，和是7是有可能的，此事件是随机事件．事件“点数之和是7”包含的基本事件有{1，6}，{2，5}，{3，4}，{4，3}，{5，2}，{6，1}共6个，因此该事件的概率P＝

＝

.

点拨：

明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事件要看两点：

一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的．

　一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，

（1）“取出的球是红球”是什么事件？

它的概率是多少？

（2）“取出的球是黑球”是什么事件？

它的概率是多少？

（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？

它的概率是多少？

解：

（1）由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.

（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是

.

（3）由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.

类型二　对立与互斥的概念

　判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理．

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中

（1）恰有1名男生和恰有2名男生；

（2）至少有一名男生和至少有一名女生；

（3）至少有一名男生和全是男生；

（4）至少有1名男生和全是女生．

解：

（1）是互斥事件．

道理是：

在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．

（2）不是互斥事件．

道理是：

“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．

（3）不是互斥事件．

道理是：

“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．

（4）是互斥事件．

道理是：

“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．

点拨：

判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断．注意：

①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．

　某地有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．

（1）A与C；

（2）B与D；（3）B与C；（4）C与D.

解：

（1）由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

（2）事件B“至少订一种报纸”与事件D“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与D是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件D一定发生，且事件D不发生会导致事件B一定发生，故B与D还是对立事件．

（3）事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：

“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：

“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

（4）由（3）的分析，事件D“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件D有可能同时发生，故C与D不是互斥事件．

类型三　互斥与对立的运用（初步）

　（

）经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：

排队人数

0

1

2

3

4

5人及5人以上

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

求：

（1）至多2人排队等候的概率是多少？

（2）至少3人排队等候的概率是多少？

解：

记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．

（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

（2）解法一：

记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

解法二：

记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.

点拨：

（1）解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算．

（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：

①直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；②间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（A）求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法往往显得较简便．

　国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：

命中环数

10环

9环

8环

7环

概率

0.32

0.28

0.18

0.12

求该射击队员射击一次：

（1）命中9环或10环的概率；

（2）命中不足8环的概率．

解：

记“射击一次，命中k环”为事件Ak（k∈N，7≤k≤10），则事件Ak彼此互斥．

（1）记“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0.28＋0.32＝0.60.

（2）记“射击一次，至少命中8环”为事件B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”．

又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得

P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.

故P（B）＝1－P（B）＝1－0.78＝0.22.

因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.

1．概率与频率的关系

（1）频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．

（2）概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．

（3）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．

2．互斥事件、对立事件的判定方法

（1）利用基本概念

①互斥事件是两个不可能同时发生的事件；

②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．

（2）利用集合的观点来判断

设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，

①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；

②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I（全集），也即A＝∁IB或B＝∁IA；

③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.

3．求复杂互斥事件概率的方法

一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P（A）＝1－P（A），即运用逆向思维的方法（正难则反）求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第