学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语111集合的概念学案新人教A版必修第一册.docx

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学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语111集合的概念学案新人教A版必修第一册

第1课时　集合的概念

1．了解集合与元素的含义．

2．理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题．

3．理解集合与元素的关系．

4．掌握数学中一些常见的集合及其记法．

1．元素与集合的概念及表示

（1）元素：

一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

（2）集合：

把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

（3）集合相等：

只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．

2．元素的特性

（1）确定性：

给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．

（2）互异性：

一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．

（3）无序性：

给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．

温馨提示：

集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．

3．元素与集合的关系

（1）属于：

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．

（2）不属于：

如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．

温馨提示：

（1）符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．

（2）∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．

4．常用的数集及其记法

1．某中学2019年高一年级20个班构成一集合．

（1）高一（3）班、高一

（2）班是这个集合的元素吗？

（2）高二（3）班是这个集合中的元素吗？

[答案]　

（1）是　

（2）不是

2．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）本班的高个子同学组成集合．（　　）

（2）联合国常任理事国组成集合．（　　）

（3）由1,2,2,4,1组成的集合有五个元素．（　　）

（4）由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

题型一集合的基本概念

【典例1】　判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？

（1）接近于2019的数；

（2）大于2019的数；

（3）育才中学高一

（1）班视力较好的同学；

（4）方程x2－2＝0在实数范围内的解；

（5）函数y＝x2图象上的点．

[思路导引]　构成集合的关键是要有明确的研究对象，即元素不能模糊不清、模棱两可．

[解]　

（1）（3）由于标准不明确，故不能构成集合；

（2）（4）（5）能构成集合．

　对集合含义的理解

给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．

[针对训练]

1．下列所给的对象能构成集合的是______．（填序号）

①所有的正三角形；

②比较接近1的数的全体；

③某校高一年级16岁以下的学生；

④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的全体；

⑤我校教职员工中的年轻人；

⑥

的近似值的全体．

[解析]　①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点距离等于1的点”；⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；⑥不能构成集合，因为“

的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合．

[答案]　①③④

题型二元素与集合的关系

【典例2】　

（1）下列关系中，正确的有（　　）

①

∈R；②

∉Q；③|－3|∈N；④|－

|∈Q.

A．1个B．2个

C．3个D．4个

（2）集合A中的元素x满足

∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

[思路导引]　判断一个元素是否为某集合的元素，关键是抓住集合中元素的特征．

[解析]　

（1）

是实数；

是无理数；|－3|＝3，是自然数；|－

|＝

，是无理数．故①②③正确，选C．

（2）当x＝0时，

＝2；

当x＝1时，

＝3；

当x＝2时，

＝6；

当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.

[答案]　

（1）C　

（2）0,1,2

　判断元素与集合关系的2种方法

（1）直接法：

如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法：

对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

[针对训练]

2．已知集合A中有四个元素0,1,2,3，集合B中有三个元素0,1,2，且元素a∈A，a∉B，则a的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

[解析]　∵a∈A，a∉B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3.

[答案]　D

3．用适当的符号填空：

已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：

17

________A；－5________A．

[解析]　由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，令3k＋2＝17得，k＝5∈Z.所以17∈A．

令3k＋2＝－5得，k＝－

∉Z.所以－5∉A．

[答案]　∈　∉

题型三集合中元素的特性

【典例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．

[思路导引]　由集合中元素的确定性和互异性切入．

[解析]　若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；

若a2＝1，则a＝－1或a＝1（舍去），此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.

综上所述a＝－1.

[答案]　－1

[变式]　

（1）本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．

（2）本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？

[解]　

（1）若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；

若a2＝2，则a＝

或a＝－

，符合元素的互异性．

所以a的取值为2，

，－

.

（2）根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.

　应用集合元素的特性解题的要点

（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么．

（2）构成集合的元素必须是确定的（确定性），而且是互不相同的（互异性），在书写时可以不考虑先后顺序（无序性）．

（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．

[针对训练]

4．已知集合A由三个元素m，m2＋1,1组成，若2∈A，求实数m的值．

[解]　∵2∈A，∴m＝2或m2＋1＝2，

则m＝2或m＝±1.

当m＝2时，集合A中的元素为：

2,5,1，符合题意；

当m＝1时，集合A中的元素为：

1,2,1，不满足互异性，舍去；

当m＝－1时，集合A中的元素为：

－1,2,1，符合题意．

综上知，m＝2或m＝－1.

课堂归纳小结

1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定．若研究对象不确定，则不能构成集合．

2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，要么满足a∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象能否

构成集合的依据．

3．集合中元素的三种特性：

确定性、互异性、无序性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.

1．已知a∈R，且a∉Q，则a可以为（　　）

A．

B．

C．－2D．－

[解析]　

是无理数，所以

∉Q，

∈R.

[答案]　A

2．若由a2,2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（　　）

A．a＝0B．a＝2019

C．a＝1D．a＝0或a＝2019

[解析]　若集合M中有两个元素，则a2≠2019a.即a≠0，且a≠2019.故选C．

[答案]　C

3．下列各组对象能构成集合的有（　　）

①接近于0的实数；②小于0的实数；③（2019,1）与（1,2019）；④1,2,3,1.

A．1组B．2组

C．3组D．4组

[解析]　①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中（2019,1）与（1,2019）是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．

[答案]　C

4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为（　　）

A．4B．2

C．0D．0或4

[解析]　当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，a＝4，故选A．

[答案]　A

5．下列说法正确的是________．

①及第书业的全体员工形成一个集合；

②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；

③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；

④x，

，

，|x|形成的集合中最多有2个元素．

[解析]　①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝

，

＝|x|，故正确．

[答案]　①④

课后作业

（一）

复习巩固

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合

B．由1,2,3和

，1，

组成的集合不相等

C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程（x－1）（x＋1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素

[解析]　A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．

[答案]　C

2．已知集合A由x<1的数构成，则有（　　）

A．3∈AB．1∈A

C．0∈AD．－1∉A

[解析]　很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．

[答案]　C

3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（　　）

A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合

C．P是由元素1，

，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－

|构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集

[解析]　由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．

[答案]　C

4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为（　　）

A．2B．2或4

C．4D．0

[解析]　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．

[答案]　B

5．由实数－a，a，|a|，

所组成的集合最多含有的元素个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，

＝|a|＝

所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．

[答案]　B

二、填空题

6．给出下列关系：

①

∈Z；②

∈R；③|－5|∉N＋；

④|－

|∈Q；⑤π∈R.

其中，正确的个数为________．

[解析]　由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.

[答案]　2

7．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a满足的条件是________．

[解析]　由元素的互异性，得

即a≠±2，且a≠1.

[答案]　a≠±2且a≠1

8．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．

[解析]　①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．

②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．

③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1，－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．

综上可知：

a＝0或a＝1.

[答案]　0或1

三、解答题

9．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．

[解]　因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.

①当x＝0时，x2＝0，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．

②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．

综上知：

x＝1，y＝0.

10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.

（1）求实数x应满足的条件；

（2）若－2∈A，求实数x.

[解]　

（1）由集合中元素的互异性可知，x≠3.

且x≠x2－2x，x2－2x≠3.

解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.

（2）由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，

当x＝－2时，x2－2x＝（－2）2－2×（－2）＝8.

此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．

当x2－2x＝－2，

即x2－2x＋2＝0时，Δ＝（－2）2－4×1×2＝4－8<0，

故方程无解，显然x2－2x≠－2.

综上，x＝－2.

综合运用

11．下面有四个命题：

①集合N中最小的数是1；

②若－a不属于N，则a属于N；

③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；

④x2＋1＝2x的解构成的集合有两个元素．

其中正确命题的个数为（　　）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

[解析]　①最小的数应该是0；②反例：

－0.5∉N，且0.5∉N；③当a＝0，b＝1时，a＋b＝1；④因为元素的互异性，故集合中有一个元素．

[答案]　A

12．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（　　）

A．梯形B．平行四边形

C．菱形D．矩形

[解析]　由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．

[答案]　A

13．已知集合P中元素x满足：

x∈N，且2

[解析]　∵x∈N,2

∴整数a为6.

[答案]　6

14．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，

，b.若集合A与集合B相等，则b－a的值为______．

[解析]　由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，

∴

＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.

[答案]　2

15．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？

若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．

[解]　∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，

若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．

若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；

B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．

当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．

综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.