已知三角函数值求角教案1.docx

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已知三角函数值求角教案1

已知三角函数值求角教案1

　　教学目标

　　1．使学生掌握已知三角函数值求角（给值求角）的方法和步骤．

　　2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力．

　　3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展．

　　教学重点与难点

　　重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤．

　　教学过程设计

　　一、复习引入

　　师：

我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？

　　生：

k·360°＋α（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

　　师：

那么k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？

　　（这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．）

　　生：

角k·360°＋α（k∈Z）的终边与α角的终边相同，180°－α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形．

　　师：

α是什么样角？

　　生：

使三角函数有意义的任意角．

　　师：

如果把α看作是锐角，那么k·360°＋α（k∈Z），180°±α，360°－α各是第几象限角？

它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

　　生：

k·360°＋α（k∈Z）是第一象限角，180°－α是第二象限角，180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数．

　　（如图1，帮助学生形象思维与记忆．）

　　师：

利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？

！

那么诱导公式又有什么功能呢？

　　生：

把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了．

　　师：

这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？

　　生：

有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定．

　　师：

可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值（当值存在时），这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？

是否唯一？

这与我们本节课要研究的知识有关．

　　二、讲授新课

　　（板书）已知三角函数值求角．

　　师：

我们先来研究给正弦值求角．

　　（板书）

　　例1求满足下列条件的角α的取值集合．

　　师：

满足这个条件的角α有几个？

　　生：

因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），而在这个范围内正弦值等于

　　师：

那么这两个角有什么关系？

　　生：

这两个角的和是π．

　　知条件的角还有别的吗？

　　师：

在每个单调递增（或递减）区间内，角的正弦值随角α的增大而增大（或减小），所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的（角存在）．以下情况类似，我

　　师：

由

（1）、

（2）可以看到，正弦值相同的角，由于限制条件不同，求得的角的集合一般也不相同，我们再改变α的范围，看看情况又有什么变化．

　　（板书）

　　[0，2π），所以α的范围缩小为[0，π），这与

（2）的条件是相同的，所以α的取值集

　　（板书）

　　师：

这时满足条件的角α有多少个？

　　生：

满足条件的角有无数个．

　　师：

这无数个角之间有什么关系？

（问题提得含糊）．

　　生：

这些角终边相同．

　　师：

这是从“形”的角度去看的，那么翻译成“数”的关系是什么呢？

　　生：

这些角的弧度数相差2π整数倍．

　　师：

怎么表示这些角？

　　生：

先找一个特殊角，然后加上2kπ（k∈Z）就行了．

　　师：

你准备找哪一个特殊角？

为什么？

　　师：

能写出α的取值集合吗？

　　师：

如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”，α的取值集合如何求？

　　师：

如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢？

　　师：

由这几个例题可以看到，角α的取值与[0，2π）间的角密切相关，找到这个范围内的角，便可得到所有的角．再看（5）．

　　（板书）

　　师：

满足这个条件的角α有几个？

各是什么？

如何求出？

　　（板书）

　　师：

由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤？

　　生：

需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α0．

　　生：

要求属于区间[0，2π）的角α0，π－α0，π＋α0，2π－α0．

　　师：

是不是非要求这四个角？

　　生：

根据所给的值判断一下角所在的象限，如果值为正，找第一、二象限的角α0，π－α0；如果值为负，找第三、四象限的角π＋α0，2π－α0．

　　生：

还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解．

　　师：

我们把解决步骤归纳如下（为方便先不考虑轴上角）．

　　（板书）

（1）由已知正弦值确定角α所在象限；

（2）求出锐角α0，使α0的正弦值与已知值的绝对值相等；

　　（3）根据四个象限的角的形式，写出[0，2π）间的角（α0，π－α0，π＋α0，2π－α0）；

　　（4）写出满足条件的所有的角．

　　师：

对于sinα=±1，sinα=0的类型，我们没有细致去分析，同学们可从角的终边位置加以判断，以下也暂不涉及轴上角．下面我们来研究给余弦值求角的问题．求解时注意类比和归纳．

　　（板书）

　　例2根据下列条件求角α．

　　分析给余弦值求角的问题完全可以由正弦类比而来．找到[0，2π）上余弦值等

　　再根据余弦值的正负及α角限定的范围求α．

　　师：

做完这几个题，能否归纳出给余弦值求角的步骤？

　　生：

与刚才的步骤一样，只不过当所给的余弦值大于零时，角是第一、四象限角；当所给的余弦值小于零时，角是第二、三象限的角．

　　师：

这个步骤可以再推广吗？

　　生：

可以推广到给正切值求角，给余切值求角，和给正割、余割值求角．

　　师：

如果是给正切值求角，与正弦、余弦略有差别的地方是什么？

　　生：

当正切值大于零时，角是第一、三象限角，当正切值小于零时，角是第二、四象限角．

　　师：

很好．我们今天研究了给三角函数值求角的课题，要掌握解决问题的步骤，如果遇到不是形如f（x）=m（f是某个三角函数）时，要注意转化思想的运用．

　　（板书）

　　例3求满足下列条件的角的集合．

　　分析

　　（3）由cosA≠0（若cosA=0，则sinA=0，与sin2x＋cos2x=1矛盾），得tanA=

　　三、小结

　　师：

给值求角是给角求值的逆运算，而我们今天研究的重点是给值求角的步骤，关于求解步骤可概括为：

定象限，找锐角，写形式，求全角．第四步是求出所有满足条件的角，这时要用终边相同角的关系．

　　四、作业

（1）阅读课本；

（2）课本习题P162练习一第1题

（1），

（2），（3）．第2题

（2），第3题

（1），

（2）；P164．习题十三第7．8题．

　　课堂教学设计说明

　　本课题内容简单，所以在例题的选择上，花费了较多时间，我希望通过例1每小问的解决，使学生能归结出给正弦值求角的步骤．而例2是课上发挥的实录，因为再重复例1，只是把正弦化为余弦没有太大的意义，所以希望通过例2让学生明白如何去找满足条件，但不在区间[0，2π）内的角．例3的设计是想渗透转化的数学思想，对这个例题的解答大部分同学没有困难．当然如果时间不够，将例3删去，换成一些练习题，让学生当堂练习、巩固，使学生加深对步骤的记忆也很有成效．

　　本教案设计的教学时间是安排在“三角函数线”之前的，如果将“三角函数线”知识提前，那么从给正弦值求角开始就应充分利用三角函数线这一直观图形，从实际效果看，还是应先讲三角函数线，那么给值求角问题不过是三角函数线的一种应用．

　　在现代教学中要充分发挥学生的主体作用，要设置问题，让学生参与研究，探讨，在研究中提高能力，提高水平，相应的教学质量也会有所提高．