第1讲全等三角形的性质与判定.docx
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第1讲全等三角形的性质与判定
第1讲全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：
①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：
SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：
平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）
A．5对B．4对C．3对D．2对
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：
⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB（SAS）∴∠A＝∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.
【变式题组】
01．（天津）下列判断中错误的是（）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
02．（丽水）已知命题：
如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
03．（上海）已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：
AB＝DC；
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：
AF＝DE.
【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：
∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF（SSS）∴∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE∴AF＝DE
【变式题组】
01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（）
A．2B．3C．4D．5
02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
03．（北京）已知：
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：
AB＝FC.
【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？
请说明理由_____________.
【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA
⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：
由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）
A．42°B．48°C．52°D．58°
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）
A．△ABC≌△DEFB．∠DEF＝90°
C．AC＝DFD．EC＝CF
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：
AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：
⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可.证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.
证明：
⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°,
∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.
在△APB和△QAC中,
∴△APB≌△QAC，
∴AP＝AQ
⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°
∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ
【变式题组】
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：
AF⊥CD.
02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）
A．
B．
C．bmD．am
03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________
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01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）
A．72°B．60°C．58°D．50°
02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（）
A．20°B．30°C．35°D．40°
03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：
以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于
长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）
A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DAC
C.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）
A.△ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBD
C.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE
06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：
“一定有△ABC≌△AED.”小明说：
“△ABM≌△AEN.”那么（）
A.小华、小明都对B.小华、小明都不对
C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对
07．如图，已知AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.
08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.
09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______
10．如图，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2,CD＝6，则AE＝_____.
11．如图,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.
D
A
C
.
Q
P
.
B
12．如图,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证：
AE＝CD；
⑵若AC＝12cm,求BD的长.
13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.
14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：
补形法）
15．如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：
CE＝DF.
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：
△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
⑵归纳与叙述：
由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.
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01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（）
A．4对B．5对C．6对D．7对
02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：
①∠A＝∠B②DE＝CE，③连接DE,则OE平分∠AOB，正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于（）
A．DCB.BCC.ABD.AE＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（）
A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D.两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.
06．如图，EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C,AE＝AF.给出下列结论：
①∠1＝∠2；②BE＝CF;③△ACN≌△ABM;④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：
BE⊥AC；
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？
证明你的判定.
08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：
AC＝2AE.
09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE,∠BAE＋∠BCE＝90°,∠BAC＝∠EAD.求证：
∠CED＝90°.
10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
⑴求证：
AF＋EF＝DE;
⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出
（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为
（1）中结论还成立吗？
若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。
11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝5，AC＝13,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
感悟：
解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
⑵问题解决：
受到⑴的启发，请你证明下面命题：
如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
求证：
BE＋CF＞EF；
⑶问题拓展：
如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.
12．（北京）如图，已知△ABC.
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：
AB＋AC＞AD＋AE.
13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°.AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G.求证：
GD＝GE.
14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°,∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：
AE＋CF＝EF；（不需证明）
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立?
若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明.
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