数学备考 高考真题 模拟新题分类汇编集合与常用逻辑用语.docx

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数学备考高考真题模拟新题分类汇编集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语（高考真题+模拟新题）

课标文数2.A1[2011·安徽卷]集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩（∁UT）等于（　　）

A．{1,4,5,6}B．{1,5}

C．{4}D．{1,2,3,4,5}

课标文数2.A1[2011·安徽卷]B　【解析】S∩（∁UT）＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．

课标理数8.A1[2011·安徽卷]设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（　　）

A．57B．56C．49D．8

课标理数8.A1[2011·安徽卷]B　【解析】集合S的个数为26－23＝64－8＝56.

课标理数1.A1，E3[2011·北京卷]已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1]　　　B．[1，＋∞）

C．[－1,1]　　　D．（－∞，－1]∪[1，＋∞）

课标理数1.A1，E3[2011·北京卷]C　【解析】由P∪M＝P，可知M⊆P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.

课标文数1.A1，E3[2011·北京卷]已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP＝（　　）

A．（－∞，－1）　　　　B．（1，＋∞）

C．（－1,1）　　　　D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

课标文数1.A1，E3[2011·北京卷]D　【解析】因为集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以∁UP＝{x|x<－1或x>1}，故选D.

大纲文数1.A1[2011·全国卷]设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U（M∩N）＝（　　）

A．{1,2}B．{2,3}

C．{2,4}D．{1,4}

大纲文数1.A1[2011·全国卷]D　【解析】∵M∩N＝{2,3}，∴∁U（M∩N）＝{1,4}，故选D.

课标理数1.A1，L4[2011·福建卷]i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则（　　）

A．i∈SB．i2∈S

C．i3∈SD.

∈S

课标理数1.A1、L4[2011·福建卷]B　【解析】由i2＝－1，而－1∈S，故选B.

课标文数1.A1[2011·福建卷]若集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1，2}，则M∩N等于（　　）

A．{0,1}B．{－1,0,1}

C．{0,1,2}D．{－1,0,1,2}

课标文数1.A1[2011·福建卷]A　【解析】由已知M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，得M∩N＝{0,1}，故选A.

课标文数12.A1，M1[2011·福建卷]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

课标文数12.A1，M1[2011·福建卷]C　【解析】因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；

因为－3＝5×（－1）＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；

因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；

若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k（n1，n2∈Z），则

a－b＝5（n1－n2）∈[0]；

反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2（n1，n2∈Z），则

a－b＝5（n1－n2）＋（k1－k2）∈[0]；

∴k1＝k2，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C.

课标理数2.A1[2011·湖北卷]已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝

，则∁UP＝（　　）

A.

　　　B.

C.

　　　D.

∪

课标理数2.A1[2011·湖北卷]A　【解析】因为U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，P＝

＝

，所以∁UP＝

＝

.

课标文数1.A1[2011·湖北卷]已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{6,8}B．{5,7}

C．{4,6,7}D．{1,3,5,6,8}

课标文数1.A1[2011·湖北卷]A　【解析】因为A∪B＝

，所以∁U

＝

.

课标文数1.A1[2011·湖南卷]设全集U＝M∪N＝{1,2，3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则N＝（　　）

A．{1,2,3}B．{1,3,5}

C．{1,4,5}D．{2,3,4}

课标文数1.A1[2011·湖南卷]B　【解析】（排除法）由M∩∁UN＝{2,4}，说明N中一定不含有元素2,4，故可以排除A、C、D，故选B.

课标文数2.A1[2011·江西卷]若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于（　　）

A．M∪NB．M∩N

C．（∁UM）∪∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）

课标文数2.A1[2011·江西卷]D　【解析】方法一：

∵M∪N＝{1,2,3,4}，

∴（∁UM）∩（∁UN）＝∁U（M∪N）＝{5,6}．故选D.

方法二：

∵∁UM＝{1,4,5,6}，∁UN＝{2,3,5,6}，

∴（∁UM）∩（∁UN）＝{5,6}．故选D.

课标理数2.A1[2011·辽宁卷]已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N＝（　　）

A．MB．NC．ID．∅

课标理数2.A1[2011·辽宁卷]A　【解析】N∩∁IM＝∅⇒N⊆M，所以M∪N＝M，故选A.

课标文数1.A1[2011·辽宁卷]已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－1＜x＜2}B．{x|x＞－1}

C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜2}

课标文数1.A1[2011·辽宁卷]D　【解析】由图1－1知A∩B＝{x|1

课标文数1.A1[2011·课标全国卷]已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（　　）

A．2个B．4个C．6个D．8个

课标文数1.A1[2011·课标全国卷]B　【解析】因为M＝

，N＝

，所以P＝M∩N＝

，

所以集合P的子集共有∅，

，

，

4个．

课标理数1.A1[2011·山东卷]设集合M＝{x|x2＋x－6<0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（　　）

A．[1,2）B．[1,2]

C．（2,3]D．[2,3]

课标理数1.A1[2011·山东卷]A　【解析】由解不等式知识知M＝{x|－3

所以M∩N＝{x|1≤x＜2}．

课标理数7.A1[2011·陕西卷]设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝x

＜

，i为虚数单位，x∈R，则M∩N为（　　）

A．（0,1）B．（0,1]

C．[0,1）D．[0,1]

课标理数7.A1[2011·陕西卷]C　【解析】对于M，由基本不等式得y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，故0≤y≤1.对于N，因为x－

＝x＋i，由

<

，得

<

，所以－1

课标文数8.A1，L4[2011·陕西卷]设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝

，则M∩N为（　　）

A．（0,1）B．（0,1]C．[0,1）D．[0,1]

课标文数8.A1，L4[2011·陕西卷]C　【解析】对M，由基本不等式得y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，故0≤y≤1.对N，

<1，即|－xi|<1，所以－1

课标数学1.A1[2011·江苏卷]已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2},则A∩B＝________.

课标数学1.A1[2011·江苏卷]{－1,2}　【解析】因为集合A，B的公共元素为－1,2，故A∩B＝{－1,2}．

课标数学1.A1[2011·江苏卷]已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2},则A∩B＝________.

课标数学1.A1[2011·江苏卷]{－1,2}　【解析】因为集合A，B的公共元素为－1,2，故A∩B＝{－1,2}．

大纲文数1.A1[2011·四川卷]若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁MN＝（　　）

A．∅B．{1,3,5}

C．{2,4}D．{1,2,3,4,5}

大纲文数1.A1[2011·四川卷]B　【解析】∁MN＝{1,3,5}，所以选B.

课标理数13.A1[2011·天津卷]已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝x∈R

－6，t∈（0，＋∞），则集合A∩B＝________.

课标理数13.A1[2011·天津卷]{x|－2≤x≤5}　【解析】∵A＝

＝

，

B＝

＝

＝{x∈R|x≥－2}

∴A∩B＝{x∈R|－4≤x≤5}∩{x|x≥－2}＝{x|－2≤x≤5}．

课标文数9.A1[2011·天津卷]已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．

课标文数9.A1[2011·天津卷]3　【解析】A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x|－1

即0＋1＋2＝3.

课标文数1.A1[2011·浙江卷]若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP

课标文数1.A1[2011·浙江卷]C　【解析】P＝{x|x<1}，∴∁RP＝{x|x≥1}．又∵Q＝{x|x>－1}，∴Q⊇∁RP，故选C.

大纲文数2.A1[2011·重庆卷]设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则∁UM＝（　　）

A．[0,2]B．（0,2）

C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（－∞，0]∪[2，＋∞）

大纲文数2.A1[2011·重庆卷]A　【解析】解不等式x2－2x＞0，得x＞2或x＜0.

即集合M＝{x|x＞2或x＜0}，

∴∁UM＝{x|0≤x≤2}．故选A.

课标理数7.A2[2011·安徽卷]命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

课标理数7.A2[2011·安徽卷]D　【解析】本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.

课标文数20.D2，A2[2011·北京卷]若数列An：

a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak＋1－ak|＝1（k＝1,2，…，n－1），则称An为E数列．记S（An）＝a1＋a2＋…＋an.

（1）写出一个E数列A5满足a1＝a3＝0；

（2）若a1＝12，n＝2000，证明：

E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011；

（3）在a1＝4的E数列An中，求使得S（An）＝0成立的n的最小值．

课标文数20.D2，A2[2011·北京卷]【解答】

（1）0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5.

（答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E数列A5）

（2）必要性：

因为E数列An是递增数列，

所以ak＋1－ak＝1（k＝1,2，…，1999）．

所以An是首项为12，公差为1的等差数列．

所以a2000＝12＋（2000－1）×1＝2011，

充分性：

由于a2000－a1999≤1.

a1999－a1998≤1.

……

a2－a1≤1.

所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.

又因为a1＝12，a2000＝2011.

所以a2000＝a1＋1999.

故ak＋1－ak＝1>0（k＝1,2，…，1999），即E数列An是递增数列．

综上，结论得证．

（3）对首项为4的E数列An，由于

a2≥a1－1＝3，

a3≥a2－1≥2，

……

a8≥a7－1≥－3，

……

所以a1＋a2＋…＋ak>0（k＝2,3，…，8）．

所以对任意的首项为4的E数列An，若S（An）＝0，则必有n≥9.

又a1＝4的E数列A9：

4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S（A9）＝0，

所以n的最小值是9.

课标理数2.A2[2011·福建卷]若a∈R，则“a＝2”是“（a－1）（a－2）＝0”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

课标理数2.A2[2011·福建卷]A　【解析】若a＝2，则（a－1）（a－2）＝0成立；若（a－1）（a－2）＝0，则a＝2或a＝1，

则a＝2是（a－1）（a－2）＝0的充分而不必要条件，故选A.

课标文数3.A2[2011·福建卷]若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

课标文数3.A2[2011·福建卷]A　【解析】若a＝1，则|a|＝1成立；若|a|＝1，则a＝－1或a＝1，

则a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件，故选A.

课标理数9.A2[2011·湖北卷]若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ（a，b）＝

－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（　　）

A．必要而不充分的条件

B．充分而不必要的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

课标理数9.A2[2011·湖北卷]C　【解析】若φ（a，b）＝0，则

＝a＋b，两边平方整理得ab＝0，且a≥0，b≥0，所以a，b互补；若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，所以a＋b≥0，此时有φ

＝

－

＝

－

＝

－

＝0，所以“φ

＝0”是a与b互补的充要条件．

课标文数10.A2[2011·湖北卷]若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ（a，b）＝

－a－b，那么φ（a，b）＝0是a与b互补的（　　）

A．必要而不充分的条件

B．充分而不必要的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

课标文数10.A2[2011·湖北卷]C　【解析】若φ（a，b）＝0，则

＝a＋b，两边平方整理得ab＝0，且a≥0，b≥0，所以a，b互补；若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，所以a＋b≥0，此时有φ

＝

－

＝

－

＝

－

＝0，所以“φ

＝0”是a与b互补的充要条件．

课标理数2.A2[2011·湖南卷]设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

课标理数2.A2[2011·湖南卷]A　【解析】当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝

，a4＝－

，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选A.

课标文数3.A2[2011·湖南卷]“x>1”是“|x|>1”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

课标文数3.A2[2011·湖南卷]A　【解析】由不等式

>1得x<－1或x>1.当x>1时，一定有

>1成立，则条件具有充分性；当

>1不一定有x>1，则不具有必要性，故选A.

课标理数8.A2[2011·江西卷]已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

课标理数5.A2[2011·山东卷]对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

课标理数5.A2[2011·山东卷]B　【解析】由判定充要条件方法之一——定义法知，由“y＝f（x）是奇函数”可以推出“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B.

课标文数5.A2[2011·山东卷]已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

课标文数5.A2[2011·山东卷]A　【解析】命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A.

课标理数1.A2[2011·陕西卷]设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是（　　）

A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b

课标理数1.A2[2011·陕西卷]D　【解析】利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：

若p，则q；逆命题：

若q，则p”，故答案为D.

课标文数1.A2[2011·陕西卷]设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是（　　）

A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b

课标文数1.A2[2011·陕西卷]D　【解析】利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆命题．即原命题：

若p，则q；逆命题：

若q，则p”，故答案为D.

大纲文数5.A2[2011·四川卷]“x＝3”是“x2＝9”的（　　）

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

大纲文数5.A2[2011·四川卷]A　【解析】x＝3⇒x2＝9，但x2＝9⇒x＝±3，所以“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．

大纲理数5.A2[2011·四川卷]函数f（x）在点x＝x0处有定义是f（x）在点x＝x0处连续的（　　）

A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

大纲理数5.A2[2011·四川卷]B　【解析】在x＝x0处连续不仅需要有定义，还需要在该点处的极限值与函数值相等，所以函数在x＝x0处有定义是在该点处连续的必要不充分条件．所以选B.

课标理数2.A2[2011·天津卷]设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

课标理数2.A2[2011·天津卷]A　【解析】当x≥2且y≥2时，一定有x2＋y2≥4；反过来当x2＋y2≥4，不一定有x≥2且y≥2，例如x＝－4，y＝0也可以，故选A.

课标文数4.A2[2011·天津卷]设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

课标文数4.A2[2011·天津卷]C　【解析】∵A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，

∴A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}．又∵C＝{x∈R|x（x－2）>0}＝{x∈R|x<0或x>2}，

∴A∪B＝C，即“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．

课标理数7.A2[2011·浙江卷]若a，b为实数，则“0

或b>

”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

课标理数7.A2[2011·浙江卷]A　【解析】当a>0，b>0时，由0

成立；当a<0，b<0时，两边同除以a可得b>

成立，∴“0

或b>

”的充分条件．反过来，若ab<0，由a<

或b>

得不到0

大纲理数2.A2[2011·重庆卷]“x＜－1”是“x2－1＞0”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

大纲理数2.A2[2011·重庆卷]A　【解析】解不等式x2－1＞0，得x＜－1或x＞1，

因此当x＜－1成立时，x2－1＞0成立；

而当x＜－1或x＞1成立时，x＜－1不一定成立．故选A.

课标理数20.D5，A3[2011·北京卷]若数列An：

a1，a2，…，an（n≥2）满足|ak＋1－ak|＝1（k＝1,2，…，n－1），则称An为E数列．记S（An）＝a1＋a2＋…＋an.

（1）写出一个满足a1＝a5＝0，且S（A5）＞0的E数列A5；

（2）若a1＝12，n＝2000.证明：

E数列An是递增数列的充要条件是an＝2011；

（3）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S（An）＝0？

如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由．

课标理数20.D5，A3[2011·北京卷]【解答】

（1）0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5.

（答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5）

（2）必要性：

因为E数列An是递增数列，

所以ak＋1－ak＝1（k＝1,2，…，1999）．

所以An是首项为12，公差为1的等差数列．

所以a2000＝12＋（2000－1）×1＝2011.

充分性：

由于a2000－a1999≤1，

a1999－a1998≤1，

……

a2－a1≤1，

所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.

又因为a1＝12，a2000＝2011，

所