小升初数学必考的34个数学重难点公.docx
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小升初数学必考的34个数学重难点公
小升初数学必考的34个数学重难点公
式_中考数学
问题中有一个不变的量，一般是那个，题目一般用......3、归一问题的基本特点
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；①两个人的年龄差是不变的；
2、年龄问题的三个基本特征
1、和差倍问题
等词语来表示。
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假基本概念：
5、鸡兔同笼问题
4、植树问题
根据题目中的条件确定并求出单一量；
关键问题：
设错的那部分置换出来；
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和基本思路：
甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
①把所有鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总基本公式：
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
基本概念：
6、盈亏问题
关键问题：
找出总量的差与单位量的差。
一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：
按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造基本思路：
成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
基本公式：
总份数＝（余数＋不足数）÷两次①一次有余数，另一次不足；
基本题型：
每份数的差
基本公式：
总份数＝（较大余数一较小余数）÷②当两次都有余数；
两次每份数的差
基本公式：
总份数＝（较大不足数一较小不足数）③当两次都不足；
÷两次每份数的差
假设每头牛吃草的速度为份，根据两次不同的吃法，基本思路：
7、牛吃草问题
确定对象总量和总的组数。
关键问题：
对象总量和总的组数是不变的。
基本特点：
求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间基本公式：
确定两个不变的量。
关键问题：
原草量和新草生长速度是不变的；
基本特点：
×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量；
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出周期现象：
8、周期循环与数表规律
现。
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年闰年：
一年有366天；
确定循环周期。
关键问题：
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
周期：
份必须能被400整除；
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但平年：
一年有365天。
不能被400整除；
9、平均数
基本公式：
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和÷总份数
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计基本算法：
算.
②基准数法：
根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②
10、抽屉原理
抽屉原则一：
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：
把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1点：
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么抽屉原则二：
必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体：
当n不能被m整除时。
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量，关键问题：
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
[X]表示不超过X的最大整数。
理解知识点：
②k=n/m个物体：
当n能被m整除时。
而后依据抽屉原则进行运算。
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多基本概念：
11、定义新运算
种基本（混合）运算。
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化基本思路：
为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺注意事项：
正确理解定义的运算符号的意义。
关键问题：
序。
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的等差数列：
12、数列求和
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
一列数，就叫做等差数列。
等差数列中涉及五个量：
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉基本思路：
数列的和：
这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．通项：
表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；公差：
数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；项数：
等差数列的所有数的个数，一般用n表示；首项：
等差数列的第一个数，一般用a1表示；基本概念：
及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
通项公式：
an=a1+（n－1）d；
通项＝首项＋（项数一1）×公差；
数列和公式：
sn,=（a1+an）×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：
n=（an+a1）÷d＋1；
项数=（末项-首项）÷公差＋1；
公差公式：
d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；
关键问题：
确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13、二进制及其应用
十进制：
用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+......+A3×102+A2×101+A1×100
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数二进制：
注意：
N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）字表示不同的含义。
（2）=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+......+A3×22+A2×21+A1×20注意：
An不是0就是1。
十进制化成二进制：
①根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有加法原理：
14、加法乘法原理和几何计数
m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法......，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+m2.......+mn种不同的方法。
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步乘法原理：
每一种方法都可完成任务。
基本特征：
确定工作的分类方法。
关键问题：
有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法......不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：
m1×m2.......×mn种不同的方法。
基本特征：
确定工作的完成步骤。
关键问题：
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成直线：
每一步只能完成任务的一部分。
的轨迹。
射线：
有两个端点，有长度。
线段特点：
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段：
没有端点，没有长度。
直线特点：
把直线的一端无限延长。
射线特点：
只有一个端点；没有长度。
①数线段规律：
总数＝1+2+3+...+（点数一1）；②数角规律=1+2+3+...+（射线数一1）；
③数长方形规律：
个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：
个数=1×1+2×2+3×3+...+行数×列数一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数质数：
15、质数与合数
叫做质数，也叫做素数。
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数合数：
叫做合数。
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这质因数：
个数的质因数。
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因分解质因数：
数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
N=，其中a1、a2、a3......an都是合数N的质因数，分解质因数的标准表示形式：
且a1
求约数个数的公式：
P=（r1+1）×（r2+1）×（r3+1）×......×（rn+1）
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a约数和倍数：
16、约数与倍数
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
互质数：
的约数。
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最公约数：
大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
那么12和18最大的公约数是：
6，记作（12，18）那么12和18的公约数有：
1、2、3、6；
18的约数有：
1、2、3、6、9、18；
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12；
=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：
先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
3、辗转相除法：
每一次都用除数和余数相除，能够2、短除法：
先找公有的约数，然后相乘。
整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最公倍数：
小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；，那么12和18的公倍数有：
36、72、108......；18的倍数有：
18、36、54、72......；
12的倍数有：
12、24、36、48......；
不能整除符号；因为符号，所以的符号；
2.能被4、25整除：
末两位的数字所组成的数能被4、
1.能被2、5整除：
末位上的数字能被2、5整除。
整除判断方法：
25整除。
3.能被8、125整除：
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除：
各个数位上数字的和能被3、9整除。
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所
5.能被7整除：
组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所
7.能被13整除：
组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能整除的性质：
被c整除。
2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q......r，基本概念：
18、余数及其应用
且0平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
分数的性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数单位：
把单位平均分成几份，表示这样一份的数。
①逆向思维方法：
从题目提供条件的反方向（或结果）常用方法：
百分数：
表示一个数是另一个数百分之几的数。
进行思考。
②对应思维方法：
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法：
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法：
为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
⑤量不变思维方法：
在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情况：
A、分量发生变化，总量不变。
B、总量发生变化，但其中有的分量不变。
C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：
用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法：
一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
①通分分子法：
使所有分数的分子相同，根据同分子基本方法：
21、分数大小的比较
分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法：
使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：
确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：
当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。
（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：
把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：
用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：
用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：
利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：
确定一个基准数，每一个数与基准数比较。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。
4.约数个数为奇数；反之成立。
3.除以4余0或余1；反之不成立。
2.除以3余0或余1；反之不成立。
1.末位数字只能是：
0、1、4、5、6、9；反之不成立。
完全平方数特征：
23、完全平方数
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式
22、分数拆分
6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。
比：
24、比和比例
（X-Y）2=X2-2XY+Y2
完全平方差公式：
（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方和公式：
X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
平方差公式：
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比的性质：
比的前项除以后项的商，叫做比值。
比值：
比值不变。
正比例：
两个外项积等于两个内项积（交叉相乘），ad=bc。
比例的性质：
表示两个比相等的式子叫做比例。
a:
b=c:
d或
比例：
若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时），则A与B成正比。
若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍（AB的反比例：
积不变时），则A与B成反比。
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、基本概念：
25、综合行程
把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。
按比例分配：
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
比例尺：
时间、路程三者之间的关系.
路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路基本公式：
程÷速度=时间
相遇问题：
速度和×相遇时间=相遇路程（请写确定运动过程中的位置和方向。
关键问题：
出其他公式）
追及问题：
追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
间
顺水速度=船速+水速
逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
流水问题：
顺水行程=（船速+水速）×顺水时流水问题：
关键是确定物体所运动的速度，参照以上水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2逆水速度=船速-水速
公式。
过桥问题：
关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、基本题型：
主要方法：
画线段图法
追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
26、工程问题
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工①假设工作总量为（和总工作量无关）；
基本思路：
③工作时间=工作总量÷工作效率
②工作效率=工作总量÷工作时间
①工作总量=工作效率×工作时间
基本公式：
作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
27、逻辑推理
确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。
关键问题：
假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判条件分析-假设法：
断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。
例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数。
当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需条件分析-列表法：
要进行列表来辅助分析。
列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两条件分析-图表法：
个对象之间的关系，有连线则表示等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。
例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
助你迎接2020年中考！
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