高等代数北大版课件10.3双线性函数.ppt

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第十章双线性函数,10.1线性函数,10.2对偶空间,10.3双线性函数,10.4对称双线性函数,10.3双线性函数,一、双线性函数,二、度量矩阵,10.3双线性函数,三、非退化双线性函数,10.3双线性函数,一、双线性函数,设是数域上的维线性空间，映射,定义,为上的二元函数.,即对,根据唯一地对应于中一个数,如果,具有性质:

其中,则称为上的一个双线性函数.,10.3双线性函数,对于线性空间V上的一个双线性函数当固定一个向量（或）不变时，可以得出一个双线性函数.,注,例1.线性空间上的内积即为一个双线性函数.,10.3双线性函数,例2.上两个线性函数,定义,证明:

f是V上的一个双线性函数.,证：

10.3双线性函数,例3.设是数域上的维线性空间，,令,则为上的一个双线性函数.,若,则,10.3双线性函数,事实上，或是数域上任意上的维线性空间上双线性函数的一般形式.,设为数域上线性空间V的一组基，,设,10.3双线性函数,则,令,则,其中,10.3双线性函数,设是数域上任意上的n维线性空间V上一个双线性函数，为V的一组基，则矩阵,称为在下的度量矩阵.,二、度量矩阵,定义,10.3双线性函数,命题1在给定基下,上全体双线性函数与上全体级矩阵之间存在11对应.,证：

取定的一组基,双线性函数,令,则与对应.,即与在下的度量矩阵对应.,10.3双线性函数,且不同双线性函数对应的在下的度量矩阵不同.,事实上，若在下的度量矩阵分别为,且时,即,则对任意,有,10.3双线性函数,矛盾.,反之，任取,对V中任意向量,定义函数,则f为V上的一个双线性函数.,在下的度量矩阵即为,10.3双线性函数,命题1线性空间V上双线性函数空间与同构.,证：

取定V的一组基,作映射,则为到的11对应.,事实上，任取,则,为满射.,是V上的一个双线性函数.,10.3双线性函数,若双线性函数但,设,则,为单射.,10.3双线性函数,令,易证仍为V上双线性函数.,并且,10.3双线性函数,命题2维线性空间V上同一双线性函数，在V的不同基下的矩阵是合同的.,证：

设在V的基与下的度量矩阵分别为,10.3双线性函数,即A与B合同.,注：

若矩阵A与B合同，则存在一个双线性函数及V上两组基，使在这两组基下的度量矩阵为,10.3双线性函数,定义,设是线性空间V上的一个双线性函数，如果从可推出则称是非退化的.,命题3双线性函数是非退化的的度量矩阵为非退化的.,三、非退化双线性函数,10.3双线性函数,证：

设双线性函数在基下度量矩阵为,10.3双线性函数,若对任意均成立.,即对任意均有,必有,而只有零解,即即非退化.,推论：

由可推出,则非退化.,10.3双线性函数,例、设定义上的一个二元函数,

（1）证明f是上得双线性函数；,

（2）求在基,下的度量矩阵.,10.3双线性函数,

（1）证,10.3双线性函数,所以度量矩阵为,

（2）解：