空间向量讲义非常好用.docx
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空间向量讲义非常好用
向量的数量积和坐标运算
a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab|a||b|cos.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：
—r—fc-
若a（xi,yi,zj,b（x2.y2.z2），贝U
①ab
x1x2
yy
ziz2；
②|a|
2
yi乙
2
|b|
222X2y2z2；
③ab
X1X2
yiy2
Z1Z2
（C④cos
—r—r
ab
X1X2
y“2Z1Z2
dju
/2
2
2222
Xi
y1
乙iX2yZ2
异面直线m,n所成的角
分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角等于向量a,b所成的角或其补角
异面直线m、n的距离
分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的
向量，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在~n上的射影长，即dLABB.
|n|
.直线L与平面所成的角
在L上取定AB，求平面的法向量n（如图2所示），再求cos1ABn|，则—
|AB||n|2
为所求的角.
•二面角
方法一：
构造二面角I的两个半平面、的法向量
厲、门2（都取向上的方向，如图3所示），贝U
1若二面角丨是“钝角型”的如图3甲所示，那么其
大小等于两法向量厲、门2的夹角的补角，即cos“n2（例如2004年高考数
|ni||n2|
学广东卷第18题第
（1）问）
2
若二面角丨是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量口、n2的夹角，即cos"“2.
Ini||n2|
3方法二：
在二面角的棱I上确定两个点A、B，过A、B分别在平面、内求出与I垂直的
向量口、压（如图4所示），则二面角i的大小等于向量
■»nn
n1、n2的夹角，即cos——1——2
Ini||n2|
.平面外一点p到平面的距离
先求出平面的法向量n,在平面内任取一定点A，则点p到平面
的距离d等于AP在n上的射影长，即d卑丄1
|n|
练习
1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和GD与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线BQ和CQ所成角的余弦值为.
2.如图，正四棱柱ABCDAiBiGDi中，AA
所成角的余弦值为（）
2AB，则异面直线AiB与ADi
4-5
D
3一5
G
2-5
1一5
3.,在四面体S-ABC中,
E、F、G、H、M、
N分别是棱SABCAB、SCAC、SB的中点,
且EF=GH=MN求证：
SABC,SBAC,SC
AB.
4.如图2,正三棱柱ABCAiBiCi的底面边长为a，侧棱长为2a，求ACi与侧面ABBiAi所成的
角.
国2
5.如图3,直三棱柱ABCABiG中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，侧棱AA2,D,E
分别是CCi与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求点A到平面AED的距离.
6.已知正方体ABCDABiGDi的棱长为2，P,Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ2，确定
P,Q的位置，使QBiPDi.
7.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90°,SA面ABCD,
SAABBC1,AD
1，求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.
M4
7•如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.
（1）证明EF//平面SAD;
（2）设SD2DC，求二面角AEFD的大小的余弦值.
8（本小题满分14分）
如图，三棱柱AiBiCiABC中，平面AAB平面ABC,平面AAC平面ABC,
BAC90,ABAC2,AAi3.
（I）求证：
AA平面ABC;
（n）求异面直线ABi与BCi所成角的余弦值；
（m）求点R到平面ABCi的距离
为AD中点.
的距离为
10.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA=1，AB=2。
E是CC的中点,
（1）求锐二面角D-B1E-B的余弦值
（2）试判断AC与面DBiE的位置关系，并说明理由。
（3）设M是棱AB上一点，若M到面DB1E的距离为，试确定点M的位置。
9、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD丄底面ABCD侧棱PA=PD=V2，底面ABCD为直
角梯形，其中BC//AD,AB丄AD,AD=2AB=2BC=2,O
（1）求证：
P0丄平面ABCD
（2）
求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小；
（3）
线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD
11如图，已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCDABC60,E,
F分别是BC,PC的中点.
（I）证明：
AE丄PD;
（U）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角正切值为一6,求二面角E—AF—C的余弦值.
2
12.长方体ABCD-ABiCiDi中,AB=2,AD=1,AAi^2,E、F分另U是
AB、CD的中点
⑴求证：
DiE丄平面ABiF;
⑵求直线AB与平面ABiF所成的角
⑶求二面角A-BiF-B的大小。
（I）求证：
AB平面PCB;
（II）求异面直线AP与BC所成角的大小;
（III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
课外练习
1.如右下图，在长方体ABCDAiBiCiDi中，已知点，且EB=FB=1.
（1）求二面角C-DE-Ci的正切值；
（2）求直线EG与FDi所成的余弦值.
2已知，如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为在上,且，是的中点，四面体的体积为
（I）求异面直线与所成角余弦值；
（n）若点是棱上一点，且，求的值.
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