微分方程练习题.docx
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微分方程练习题
第7章微分方程练习题
习题7.1
1•选择题
(1)(
)是微分方程
((A))
d=(4x-1)d.
(
(B))y=2x1.
((C)
)y2一3y2=0.
(
(D))sinxdx=0.
(2)(
)不是微分方程
((A))
y3y=0.
((B))亠4=3X+SinX.dx
((C))
3y2一2xy=0.
2222
((D))(xy)dx(x-y)dy二0
(3)微分方程(y)23xy=4sinx的阶数为()
((A))2.((B))3.((C)1.((D))0•
2•判断函数是否为所给微分方程的解(填“是”或“否”)
⑵
(x_2y)y=2x
2
-y,x-xy
⑶
dx.-
siny=0,dy
y二arccosxC
⑷
井2丄2
y=Xy,
1
y-x
习题7.2
1.
解微分方程
2
二C
(
)
(1)
(1)xy=2y,y=5x.
dy1dxx
dy
dx
i-y2
1-x2
y=e2x_y
⑷y(l_x2)dyx(1
y2)dx=0.
(5)x2yxyyx=1_二4-
2•解微分方程
dy
xy-•
dx
(1)(xy)y(一八。
•⑵y2X2/
3.解微分方程
(1)yy=e
(2)ycosxysinx=1.
选择题
(1)(
)是微分方程
((A))
=(4x-1)d.
(B))y=2x1.
((C))
(D))sinxdx=0.
(2)(
)不是微分方程
((A))y,+3y=0.
((B))=3xsinx.
((C))3y2-2xy=0
((D))
dx2
(x2
y2)dx(x2-y2)dy=0.
(3)微分方程(y)23xy=4sinx的阶数为(
((A))2.((B))3.(
(C))1.
(D))0.
2•判断函数是否为所给微分方程的解(填
“是”或“否”
(1)
xy=2y,y=5x2.
(X_2y)y=2X_y,x2_X
鱼siny=0,dy
y二arccosxC
解微分方程
dxx
习题7.2
dy
dx
1-y2
1-x2
⑶y=e27
y2x2鱼二xy屯
dxdx
⑷y(1—x2)dyx(1y2)dx=0.
2
⑸xyxy二y,yxj=4•
2
2•解微分方程
(1)(xy)y(x-y)=0.
3.解微分方程
(1)yy=e
(2)ycosxysinx=1.
dyy_x1dx
yx
厂3.
dy_ydxxy2
⑸y=1i2
xcosy+sin2y
习题7.3
1.解卜列微分方程
2
(1)yx.
(2)y二3*、归=2
⑸yy-(y)_y".
⑹yy'y,Vx^=1,yxJ.
⑵y-9y=0.
2.解下列微分方程
(1)yy-2y=0.
⑷y_4y3y=0,丫乂』八2,g
-0.
⑸4yF4y+y=0,\fx^=2,y」=0.
3.解下列微分方程
⑵2y"-3y-y=2ex.
(1)y-2y-3y=3x1.
2x633
⑶y-10y9y=e,」=7yx=0~•
⑷y1;:
:
:
卜y_2y=8sin2x.
(5)yy=sinx.
⑹yysin2x=°,yx二「TyU.
习题7.4
2
1•一条曲线通过点P(0,1),且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x,求这曲线的方
程.
2.生物活体含有少量固定比的放射性14C,其死亡时存在的14C量按与瞬时存量成比例的速
率减少,其半衰期约为5730年,在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时,若测得墓中木炭14C含
量为原来的77.2%,试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.
已知物体在10s时与原点相距100m,
3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比,在20s时与原点相距200m,求物体的运动规律.
4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量,若污染源已排除.当采取某治污措施后,
污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化,设k为比例系数,且Q(0)=Q0,求
k
该湖泊的污染物的化规律,当--0.38时,求99%污染物被清除的时间.
V
5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降,所受阻力与下降速度成正比,求质点下降深度与时间t的函数关系.
6•一弹簧挂有质量为2kg的物体时,弹簧伸长了0.098m,阻力与速度成正比,阻力系数丄=24N/(m⑸•当弹簧受到强迫力f-100sin10t(N)的作用后,物体产生了振动.求振动规律,设物体的初始位置在它的平衡位置,初速度为零.
复习题七
一、选择题
1•微分方程f.yy3.乂丫4=0阶数是()
(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.
2•下列函数中,可以是微分方程y”•y=0的解的函数是()
3.下列方程中是一阶线性方程的是()
yx=0=10特解是(
4.方程y*_4y"+3y=0满足初始条件yx_^=6,
(A)y=3exe3x;(B)y=2ex3e3x;(C)y=4ex2e3x;(D)y=C1exC2e3x.
5.在下列微分方程中,其通解为y=C1cosx-C2sinx的是()
(A)y_yJ0;(B)y八0;(C)yy=0;(D)y_y=0.
6•求微分方程<3/2^x2的一个特解时,应设特解的形式为()
(A)ax2;(B)ax2bxc;(C)x(ax2bxc);(D)x2(ax2bxc).
7.求微分方程y"-3y'2y=sinx的一个特解时,应设特解的形式为()
(A)bsinx;(B)acosx;(C)acosxbsinx;(D)x(acosxbsinx).
二、填空题
9.微分方程x-dy=yx2sinx的通解是
dx
10.微分方程y”•3y=0的通解是
11.微分方程y”•4y'5y=0的通解是
12•以y=C!
xexC2ex为通解的二阶常数线性齐次分方程为
13.微分方程4y:
4y:
y=0满足初始条件yx=0=2,yx^=0的特解
是.
14.微分方程<-4<5y=0的特征根是.
2
15.
求微分方程y:
2y”』2x-1的一个特解时,应设特解的形式为
通解为
三、计算题
17.求下列微分方程的通解
(6)y5y4y=3-2x.
18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解
yx卫
(1)cosysinxdx-cosxsinydy=0,
11
2
⑵y“-5y*6y=0,y*卫=1,八±=2•
4y16y15y=4e
⑷2y“+5y'=29cosx,y*占=0』v"•
19•求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x・y.
20.当一人被杀害后,尸体的温度从原来的37C按牛顿冷却律开始变凉,设3小时后尸体
温度为31C,且周围气温保持20C不变.
(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系,并作函数草图.
(2)最终尸体温度将如何?
(3)若发现尸体时其温度是25C,时间为下午4时,死者是何时被害的?
21.设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致.大小与时间成正比(比例系数为k1)的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的
阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.
⑶dy.1=2L^
dxxx
dy_y
dxxy2
1
xcosysin2y
习题7.3
1.解卜列微分方程
⑴y=x2.
⑵S、y^o=1,、心=2
⑶y-y=x.
⑸yy_(y)2一y=0.
⑹yy=y,Vx^1,—
=1.
⑵y-9y=0.
2.解下列微分方程
(1)yy-2y=0.
⑶y4y4y=0.
⑷y-4y3y=0,科
yx异0.
⑸4才+47*=°,yx出=Zy仁=0.
⑵2y"-3y-y=2ex.
3.解下列微分方程
(1)y-2y-3y=3x1.
⑶y-10y9y=e2x,
33
7
(5)yy=sinx.
⑷yy-2y二8sin2x.
⑹yysin2x=°,yxi-Ty=1-
习题7.4
1•一条曲线通过点P(0,1),且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x,求这曲线的方
程.
量为原来的77.2%,试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间.
已知物体在10s时与原点相距100m,
3.作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比,在20s时与原点相距200m,求物体的运动规律.
4•设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量,若污染源已排除.当采取某治污措施后,
污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化,设k为比例系数,且Q(0)=Q0,求
k
该湖泊的污染物的化规律,当--0.38时,求99%污染物被清除的时间.
V
5•—质量为m的质点从水面由静止状态开始下降,所受阻力与下降速度成正比,求质点下降深度与时间t的函数关系.
规律,设物体的初始位置在它的平衡位置,初速度为零.
复习题七
、选择题
1.微分方程y2■yy”'xy4=0阶数是()
(a)1;(B)2;(C)3;(D)4.
2•下列函数中,可以是微分方程y”•y=0的解的函数是()
(A)y=cosx;(B)y=x;
(C)y=sinx;(D)y=ex.
(A)(y-3)lnxdx-xdy=0;
(B)鱼=丄
dx1-2xy
22
(C)xy=yxsinx;
4.方程y"-4y"+3y=0满足初始条件yx4=6,yx^=10特解是()
(A)y二3exe3x;(B)y二2ex3e3x;(C)y二4ex2e3x;(D)y二C®C2e3x.
5.在下列微分方程中,其通解为y=C!
cosxC2sinx的是()
(A)y_y=0;(B)yy=0;(C)yy=0;(D)y—y=0.
2
6.求微分方程y”•3y'2y二x的一个特解时,应设特解的形式为()
(A)ax;(b)axbxc;(C)x(axbxc);(d)x(axbxc).
7.求微分方程y"-3y'2y=sinx的一个特解时,应设特解的形式为()
(A)bsinx;(B)acosx;(C)acosxbsinx;(D)x(acosxbsinx).
二、填空题
9.微分方程x-d^=yx2sinx的通解是.
dx
10.微分方程y:
3y=0的通解是.
11.微分方程y”•4y:
5y=0的通解是.
12.以y=C1xex・C2ex为通解的二阶常数线性齐次分方程为
13.微分方程4y'4y:
y=0满足初始条件yx=0=2,/=0的特解
是.
14.微分方程y”-4y'5y=0的特征根是
15.求微分方程y:
2y'2x-1的一个特解时,应设特解的形式为
22
16.已知y1=ex及y2二xex都是微分方程y"-4xy'(4x2-2)y=0的解,则此方程的
通解为
三、计算题
17.求下列微分方程的通解
18•求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1)cosysinxdx「cosxsinydy二0,
11
2
⑵y“-5y*6y=0,y*卫=1,y」=2.
4y16y15y=4e
⑷2y“+5y‘=29cosx,yx占=0,y"x占=1•
2xy•
19•求一曲线方程,这曲线通过原点,并且它在点(x,y)处的切线斜率等于
20.当一人被杀害后,尸体的温度从原来的37C按牛顿冷却律开始变凉,设3小时后尸体
温度为31C,且周围气温保持20C不变.
(1)求尸体温度H与时间t(h)的函数关系,并作函数草图.
(2)最终尸体温度将如何?
(3)若发现尸体时其温度是25C,时间为下午4时,死者是何时被害的?
21.设有一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致.大
小与时间成正比(比例系数为)的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例系数为k2)的
阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.