北师大版高中数学必修一单元质量评估二.docx

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北师大版高中数学必修一单元质量评估二

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单元质量评估

（二）

第二章

（120分钟　150分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},下列的四个图形中能表示从集合M到集合N的函数关系的为（　　）

【解析】选B.由函数的定义知A不是,因为集合M中1≤x≤2时,在N中无元素与之对应;C中的x=2对应的元素y=3∉N,所以C不是;D中的x=1时,在N中有两个元素与之对应,D也不是.

【方法技巧】判断图像是否满足A→B的函数关系的条件,①A中取值在图像上是否已全部取到;

②图像上纵坐标的值是否会在B中可找到;

③图像上一个x值只有一个y值与之对应,可以通过画一条与x轴垂直的直线检验.

2.（2014·石家庄高一检测）与y=|x|为同一函数的是（　　）

A.y=（

）2B.y=

C.y=

D.y=x

【解析】选B.在A中,x≥0,在C中少了x=0的定义,D中对应关系与已知函数不同.

3.（2014·九江高一检测）已知函数f（x）=

则f（6）=（　　）

A.-3B.-1C.1D.-2

【解析】选D.由f（6）=f（6-4）=f

（2）=2-22=-2知答案.

4.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数.其图像可能是（　　）

【解题指南】依据汽车的行驶路程与时间、速度之间的关系,分析不同时间段内行驶路程与速度的变化情况即可.

【解析】选A.由这一过程中汽车的速度变化可知,速度由小变大→保持匀速→由大变小.

速度由小变大时,路程曲线上升得越来越快,曲线显得陡峭;匀速行驶中路程曲线上升速度不变;速度由大变小时,路程曲线上升得越来越慢,曲线显得平缓.

5.（2014·成都高一检测）下列函数在区间（-∞,0）上是增加的是（　　）

A.f（x）=3-xB.f（x）=

C.f（x）=x2-2x-1D.f（x）=-|x|

【解析】选D.设任意x1,x2∈（-∞,0）,Δx=x2-x1>0,选项A中,Δy=f（x2）-f（x1）

=（3-x2）-（3-x1）=x1-x2<0,函数在区间（-∞,0）上是减少的;同理可判断选项B中和选项C中函数在区间（-∞,0）上是减少的,选项D中函数在区间（-∞,0）上是增加的.

6.若f

=

则f（x）等于（　　）

A.

B.

C.

D.1+x

【解析】选C.因为f

=

=

所以f（x）=

.

7.（2014·太和高一检测）已知函数f（x）=x|x|-2x,则下列结论正确的是（　　）

A.f（x）是偶函数,在（1,+∞）上是增加的

B.f（x）是偶函数,在（-∞,1）上是减少的

C.f（x）是奇函数,在（-∞,0）上是增加的

D.f（x）是奇函数,在（-1,1）上是减少的

【解析】选D.因为f（x）=x|x|-2x,x∈R,f（-x）=-x|x|+2x=-（x|x|-2x）=-f（x）,

所以f（x）=x|x|-2x是奇函数,

当x≥0时,f（x）=x2-2x=（x-1）2-1,

在（1,+∞）上是增加的,在[0,1）上是减少的,可知答案.

8.（2013·大纲版全国卷）已知函数f（x）的定义域为（-1,0）,则函数f（2x+1）的定义域为（　　）

A.（-1,1）B.

C.（-1,0）D.

【解析】选B.因为y=f（x）中,x∈（-1,0）,

所以y=f（2x+1）中,-1<2x+1<0,

即-1

.

【变式训练】函数y=f（x+1）的定义域为（-1,0）,则函数y=f（2x+1）的定义域为　　　　.

【解析】因为y=f（x+1）中,x∈（-1,0）,

所以0

所以由0<2x+1<1得-

答案：

9.（2013·浙江高考）已知a,b,c∈R,f（x）=ax2+bx+c,若f（0）=f（4）>f

（1）,则

（　　）

A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0

【解析】选A.由f（0）=f（4）得4a+b=0,

所以b=-4a.

又f（0）>f

（1）,所以a+b<0,

所以-3a<0即a>0.

10.（2014·重庆高一检测）已知定义在R上的函数y=f（x）的图像关于y轴对称,且满足f

=-f（x）,f（-1）=1,f（0）=-2,则f

（1）+f

（2）+…+f（2015）的值为

（　　）

A.1B.2C.-1D.-2

【解析】选B.因为f

=-f（x）,

所以f（x+3）=-f

=f（x）.

又y=f（x）的图像关于y轴对称,

所以f（-1）=f

（1）=1,f

（2）=f（-1）=1,

f（3）=f（0）=-2,f（4）=f

（1）=1,

f（5）=f

（2）=1,f（6）=f（3）=-2,…,

可知f

（1）+f

（2）+f（3）=0,f（4）+f（5）+f（6）=0,…,

其中2015被3除余数为2,

所以f（2014）=f

（1）=1,f（2015）=f

（2）=1,其余各项和为0.

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上）

11.（2014·太原高一检测）已知幂函数f（x）的图像经过点（8,2

）,那么f（4）=　　　　.

【解析】设f（x）=xa,则8a=2

即23a=

所以a=

所以f（x）=

所以f（4）=

=2.

答案：

2

12.（2014·安康高一检测）已知f（x）是奇函数,且f（x+4）=f（x）,当x∈（0,2）时,f（x）=2x2,则f（2015）=　　　　.

【解题指南】明确f（x+4）=f（x）的意义：

自变量相差4,函数值相等.

【解析】因为f（x+4）=f（x）,

所以f（2015）=f（2011）=f（2007）=…=f（3）=f（-1）=-f

（1）=-2×12=-2.

答案：

-2

【变式训练】（2013·韩城高一检测）函数f（x）=

则f（-3）=　　　　.

【解析】f（-3）=f（-3+2）=f（-1）=f（-1+2）=f

（1）=f（1+2）=f（3）=2×3=6.

答案：

6

13.（2014·重庆高一检测）已知集合A={1,2,m}与集合B={4,7,13},若f：

x→y=3x+1是从A到B的映射,则m的值为　　　　　.

【解析】若3m+1=4,则m=1与集合A={1,2,m}矛盾,

若3m+1=7,则m=2同理舍去,

所以3m+1=13,即m=4.

答案：

4

【变式训练】下列对应关系f中,不是从集合A到集合B的映射的是（　　）

A.A={x|x是锐角},B=（0,1）,f：

求正弦

B.A=R,B=R,f：

取绝对值

C.A=R+,B=R,f：

求平方

D.A=R,B=R,f：

取倒数

【解析】选D.A,A={x|x是锐角},sinx∈（0,1）,而B=（0,1）,故A正确;

B,因为A=R,任意x∈A,则{x||x|≥0}⊆B,故B正确;

C,因为A=R+,任意x∈A,则{x|x2>0}⊆B,故C正确;

D,A=R,0∈A,而0没有倒数,即集合A中的元素0在集合B中找不到元素与它对应,故D不正确,故选D.

14.（2014·大同高一检测）已知幂函数f（x）的定义域为（-2,2）,图像过点（

2）,则不等式f（3x-2）+1>0的解集是　　　　　　.

【解题指南】求出f（x）的表达式,再结合单调性求解.

【解析】设f（x）=xa,

所以2=（

）a,所以a=3,

所以f（x）=x3在R上是增函数,且f（-1）=-1,

所以f（3x-2）+1>0

即f（3x-2）>-1=f（-1）,

所以

即

.

答案：

15.（2014·南昌高一检测）已知函数f（x）=

下列叙述

①f（x）是奇函数,②y=xf（x）是奇函数,③（x+1）f（x）<3的解为-2

④xf（x+1）<0的解为-1

【解析】结合图像知①正确,②错误,因为y=x与y=f（x）分别是奇函数,所以y=xf（x）是偶函数,对于③当x>0时,（x+1）×1<3,所以x<2;当x=0时可以,当x<0时,-（x+1）<3,所以x>-4,故-40即x>-1时x<0,所以-1

答案：

①

三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（12分）（2014·武威高一检测）已知函数f（x）=

（1）在如图给定的直角坐标系内画出f（x）的图像.

（2）写出f（x）的单调递增区间.

【解析】

（1）函数f（x）的图像如图所示：

（2）函数f（x）的单调递增区间为[-1,0]和[2,5].

17.（12分）（2014·广州高一检测）已知函数f（x）=x2-2ax+a.

（1）当a=1时,求函数f（x）在[0,3]上的值域.

（2）是否存在实数a,使函数f（x）=x2-2ax+a的定义域为[-1,1],值域为[-2,2]?

若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

【解析】

（1）f（x）=（x-a）2+a-a2,

因为a=1,

所以f（x）=（x-1）2.

因为x∈[0,3],

所以f（x）在[0,1）上是减少的,在（1,3]上是增加的,

所以最小值为f

（1）=0,

而f（0）=1,f（3）=4,

所以值域为[0,4].

（2）当a≥1时,f（x）在[-1,1]上是减函数,

（舍去）

当0≤a<1时,

（舍去）

当-1≤a<0时,

所以a=-1;

当a<-1时,

（舍去）

综上所述a=-1.

18.（12分）已知函数f（x）=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f（x）的最小值.

【解题指南】抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况分类讨论.可作出二次函数相关部分的简图,数形结合解决问题.

【解析】f（x）=x2-2ax+2=（x-a）2+2-a2的图像开口向上,且对称轴为直线x=a.

当a≥1时,函数图像如图

（1）,函数f（x）在区间[-1,1]上是减少的,最小值为f

（1）=3-2a;

当-1

（2）,函数f（x）在区间[-1,1]上是先减少后增加,最小值为f（a）=2-a2;

当a≤-1时,函数图像如图（3）,函数f（x）在区间[-1,1]上是增加的,最小值为f（-1）=3+2a.

综上可知,当a≥1时,函数f（x）的最小值为3-2a;

当-1

当a≤-1时,函数f（x）的最小值为3+2a.

【拓展提升】求二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）在区间[m,n]上的最值一般分为以下几种情况,即：

（1）若对称轴x=-

在区间[m,n]内,则最小值为f

最大值为f（m）,f（n）中较大者（或区间端点m,n中与x=-

距离较远的一个对应的函数值为最大值）.

（2）若对称轴x=-

（3）若对称轴x=-

>n,则f（x）在区间[m,n]上是减少的,最大值为f（m）,最小值为f（n）.

【变式训练】设函数f（x）=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f（x）的最小值.

【解析】f（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1,x∈[t,t+1],t∈R,对称轴为x=1.

当t+1<1,即t<0时,如图

（1）,函数f（x）在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f（t+1）=t2+1;

当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,如图

（2）,最小值为f

（1）=1;

当t>1时,如图（3）,函数f（x）在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f（t）=t2-2t+2.

19.（12分）已知函数f（x）=

（1）作出函数图像的简图（不必列表,不必写作图过程）,并写出函数的值域.

（2）若方程f（x）=a无解,写出a的取值范围,并求当a=

时x的值.

【解析】

（1）如图.

由图可知函数的值域为（-∞,2].

（2）作直线y=a,由图可以发现当a>2时,

直线y=a与函数y=f（x）无公共点,

故方程f（x）=a无解时,

则满足题意的a的取值范围是{a|a>2}.

当a=

时,f（x）=

.

当x<0时,由2-x2=

得x2=

所以x=-

.

当0≤x<2时,由（x-1）2=

得x=1±

.

当2≤x≤4时,由

x=

得x=

（舍去）.

综上所述,当a=

时,

x的值为-

或1+

或1-

.

【变式训练】已知函数f（x）=

（1）求f（f（f（5）））的值.

（2）若f（x）=4,求x的值.

（3）画出函数f（x）的图像.

【解析】

（1）因为5>4,所以f（5）=-5+2=-3.

因为-3<0,所以f（f（5））=f（-3）=-3+4=1.

因为0<1<4,

所以f（f（f（5）））=f

（1）=12-2×1=-1,

即f（f（f（5）））=-1.

（2）若x≤0,则x+4=4,所以x=0.

若0

所以x=1+

或x=1-

（舍去）;

若x>4,则-x+2=4,所以x=-2（舍去）.

综上可得：

x=0或x=1+

.

（3）图像如图所示：

20.（13分）（2014·日照高一检测）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：

“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v（单位：

千克/年）是养殖密度x（单位：

尾/立方米）的函数.当x不超过4（尾/立方米）时,v的值为2（千克/年）;当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20（尾/立方米）时,因缺氧等原因,v的值为0（千克/年）.

（1）当0

（2）当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量（单位：

千克/立方米）f（x）=x·v（x）可以达到最大,并求出最大值.

【解析】

（1）由题意：

当0

解得

故函数v（x）=

（2）依题意并由

（1）可得

f（x）=

当0

当4

x2+

x=-

（x2-20x）=-

（x-10）2+

f（x）max=f（10）=12.5.所以,当x=10时,f（x）的最大值为12.5.

21.（14分）（2014·西安高一检测）已知奇函数

f（x）=

（1）求实数m的值,并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图像.

（2）若函数y=f（x）在区间[-1,a-2]上是增加的,试确定a的取值范围.

【解析】

（1）设x<0,则-x>0,f（-x）=-（-x）2+2（-x）=-x2-2x,

而f（x）为奇函数,故f（x）=-f（-x）=x2+2x（x<0）,

由f（x）=

知m=2.

函数y=f（x）的简图如图所示：

（2）由

（1）中函数图像可知,

要使函数y=f（x）在区间[-1,a-2]上是增加的,

则

⇒1

故a的取值范围为（1,3].

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