（3）列举法可以表示无限集吗
答
（1）列举法表示为{－2,1}，描述法表示为
{x|（x－1）（x＋2）＝0}，列举法较好.
（2）不能，因为这个集合中的元素不能够一一列举出来.
（3）列举法可以表示有限集，也可以表示无限集.若集合中元素个数较多或无限多，但呈现出一定的规律性，在不致发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他的元素用省略号表示.例如正偶数集合可以表示为{2,4,6,8，…}.
题型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2＝x的所有实数根组成的集合；
（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.
解
（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
（2）设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.
（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
（1）绝对值小于5的偶数；
（2）24与36的公约数；
（3）方程组
的解集.
解
（1）绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集.
（2）{1,2,3,4,6,12}，是有限集.
（3）由
得
∴方程组
的解集为{（x，y）|
}＝{（x，y）|
}＝{（1,1）}，是有限集.
题型二 用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
（1）正偶数集；
（2）被3除余2的正整数的集合；
（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
解
（1）偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}.
（2）设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}.
（3）坐标轴上的点（x，y）的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{（x，y）|xy＝0}.
跟踪训练2 用描述法表示如图所示阴影部分（含边界）点的坐标的集合.
解 本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言.用描述法表示（即用符号语言表示）为{（x，y）|－1≤x≤
，－
≤y≤1，且xy≥0}.
题型三 列举法与描述法的综合运用
例3 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
解
（1）当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}.
（2）当k≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根.
则Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}.
综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}.
跟踪训练3 把例3中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合.
解 由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根.
∴
解得k＜1，且k≠0.
∴k取值范围的集合为{k|k＜1，且k≠0}.
弄错数集与点集致误
例4 方程组
的解的集合是____________.
错解 方程组的解是
所以方程组的解可用列举法表示为{1,2}.
正解 方程组的解是
它是一组数对（1,2），所以方程组的解可用列举法表示为{（1,2）}，也可用描述法表示为{（x，y）|
}.
易错警示
错误原因
纠错心得
集合{1,2}中是两个元素，表示的是两个数，而方程组的解应为数对（1,2），表示的是直角坐标平面上的点.
表示集合时，要弄清元素具有的形式（即代表元素是什么）是数、还是有序实数对（点）、还是集合或其他形式.
跟踪训练4 用列举法表示下列集合.
（1）A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
（2）B＝{（x，y）|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}.
解
（1）因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以A＝{2,5,6}.
（2）（x，y）满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则应有
所以B＝{（0,6），（1,5），（2,2）}.
1.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为（ ）
A.{1,1}B.{1}
C.{x＝1}D.{x2－2x＋1＝0}
2.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是（ ）
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}
C.{x|x＝4t－3，t∈N，且t<5}
D.{x|x＝4s－3，s∈N*，且s<6}
3.给出下列说法：
①任意一个集合的正确表示方法是唯一的；
②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集；
③集合{x|x∈N*，x<5}＝{0,1,2,3,4}；
④集合{（1,2）}与集合{（2,1）}表示同一集合.
其中正确说法的序号是（ ）
A.①②B.②③C.②D.①③④
4.方程
的解集用列举法表示为_________________________________；
用描述法表示为________________.
5.若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为________.
一、选择题
1.下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A.{0}B.{y|y2＝0}
C.{x|x＝0}D.{x＝0}
2.方程组
的解集是（ ）
A.{x＝1，y＝1}B.{1}C.{（1,1）}D.（1,1）
3.集合{x|－3<2x－1≤3，x∈Z}等于（ ）
A.{1,2}B.{0,1,2}
C.{－1,0,1,2}D.{0,1}
4.集合{1,3,5,7,9，…}用描述法可表示为（ ）
A.{x|x＝2n±1，n∈Z}B.{x|x＝2n＋1，n∈Z}
C.{x|x＝2n＋1，n∈N*}D.{x|x＝2n＋1，n∈N}
5.设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素的个数为（ ）
6.给出下列说法：
①实数集可以表示为{R}；
②方程
＋|2y＋1|＝0的解集是{－
，
}；
③方程组
的解集是{（x，y）|
}；
④集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合N＝{（x，y）|y＝x2＋1，x∈R}表示同一个集合.
其中说法正确的个数为（ ）
二、填空题
7.用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，
∈N}＝________.
8.将集合{（x，y）|2x＋3y＝16，x，y∈N}用列举法表示为_________________________.
9.集合{1，x，x2－x}中元素x应满足的条件为________.
10.若集合A＝{－2,2,3,4}，集合B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝_______.
三、解答题
11.用适当的方法表示下列集合.
（1）16与24的公约数；
（2）不等式3x－5>0的解构成的集合.
12.若集合A＝{0,1，－1,2，－2,3}，集合B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，求集合B.
13.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.
（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.
当堂检测答案
1.答案 B
解析 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.
2.答案 D
解析 分析1,5,9,13,17的特征.
3.答案 C
解析 对于某些集合（如小于10的自然数组成的集合）可以用列举法表示，也可以用描述法表示，表示方法不唯一，故说法①不正确；集合P＝{x|0≤x≤1}的元素有无限个，是无限集，故说法②正确；由于{x|x∈N*，x<5}＝{1,2,3,4}，故说法③不正确；集合{（1,2）}与集合{（2,1）}的元素不同，故两集合不是同一集合，故说法④不正确.综上可知，正确的说法是②.
4.答案 {（
，－
）} {（x，y）|
}
5.答案 －3
解析 由题意知－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根.
则
解得
所以a＋b＝－3.
课时精练答案
一、选择题
1.答案 D
解析 A是列举法，C是描述法，对于B要注意集合的代表元素是y，故与A，C相同，而D表示该集合含有一个元素，即方程“x＝0”.故选D.
2.答案 C
解析 方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A，B，而D不是集合的形式，排除D.
3.答案 B
解析 {x|－3<2x－1≤3，x∈Z}＝{x|－2<2x≤4，x∈Z}＝{x|－14.答案 D
5.答案 B
解析 当a＝1，b＝4时，x＝5；当a＝1，b＝5时，x＝6；当a＝2，b＝4时，x＝6；当a＝2，b＝5时，x＝7；当a＝3，b＝4时，x＝7；当a＝3，b＝5时，x＝8.
由集合元素的互异性知M中共有4个元素.
6.答案 B
解析 实数集就是R，所以①错误；方程
＋|2y＋1|＝0的解为x＝
，y＝－
，用集合表示为{（x，y）|
}，所以②错误；方程组
的解为
用集合表示为{（x，y）|
}，所以③正确；y＝x2＋1≥1，集合M表示大于等于1的实数集合，N中的元素（x，y）表示抛物线y＝x2＋1上的点，它们不是同一个集合，所以④错误.故选B.
二、填空题
7.答案 {5,4,2，－2}
解析 因为x∈Z，
∈N，
所以6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}.
8.答案 {（2,4），（5,2），（8,0）}
9.答案 x≠0且x≠1且x≠2且x≠
且x≠
解析 集合中元素要互异，
因此x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，
解得x≠0且x≠1且x≠2且x≠
且x≠
.
10.答案 {4,9,16}
解析 当t＝－2,2,3,4时，x＝4,4,9,16，故集合B＝{4,9,16}.
三、解答题
11.解
（1）16与24的公约数组成的集合为{1,2,4,8}.
（2）不等式3x－5>0的解集为{x|3x－5>0}或{x|x>
}.
12.解 当x＝0时，y＝－1；
当x＝±1时，y＝0；
当x＝±2时，y＝3；
当x＝3时，y＝8.
所以集合B＝{－1,0,3,8}.
13.解
（1）当a＝0时，原方程可化为－3x＋2＝0，
得x＝
，符合题意.当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a＝0，得a＝
.
所以当a＝0或a＝
时，集合A中只有一个元素.
（2）由题意得，当
即a<
且a≠0时方程有两个实根，
又由
（1）知，当a＝0或a＝
时方程有一个实根.
所以a的取值范围是a≤
.
（3）由
（1）知，当a＝0或a＝
时，集合A中只有一个元素.
当集合A中没有元素，即A＝∅时，
由题意得
解得a>
.
综上得，当a≥
或a＝0时，集合A中至多有一个元素.
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