九年级数学上全册教案.docx

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九年级数学上全册教案

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第24章　　图形的相似

24.1　　相似的图形

教学目标：

1、理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。

2、根据不同需要，能作出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。

教学重点：

让学生理解相似图形概念，会判断两个图形是否相似。

教学难点：

正确理解“形状相同”的含义并画出相似图形。

教学过程：

一、导入新课

挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本第４２页的图，提出问题：

这几组图片有什么相同的地方呢?

这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。

二、讲解新课

由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。

同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢?

大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。

对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图（同一地区）的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。

在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。

在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。

同学们你还能说出哪些相似的图形吗?

（同学们思考、讨论、交换意见）国旗、国旗上的五角星。

画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。

如图所示的是一些相似的图形。

想一想：

放大镜下的图形和原图形相似吗?

你看过哈哈镜吗?

哈哈镜中的形像与你本人相似吗?

还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。

为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢?

这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。

三、课堂练习：

课本第４３页试一试，你能画出两个或更多的相似形吗?

四、小结：

形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在生活中经常碰到。

五、作业：

P４４:

1、2。

六、反思及感想：

２４.２　相似图形的特征

第一课时　成比例线段

教学目标：

1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。

2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。

教学重点：

成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用

教学难点：

比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其它性质

教学过程：

一、复习引入：

挂上两张中国地图，问：

1．这两个图形有什么联系?

它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。

2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?

相似的两个图形有什么主要特征呢?

为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。

二、新课讲解

1．两条线段的比

（1）回忆什么叫两个数的比？

怎样度量线段的长度？

怎样比较两线段的大小？

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成＝，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项．

如果把表示成比值k，则＝k或AB＝k·CD．

注意：

在量线段时要选用同一个长度单位．

（2）．做一做

量出数学书的长和宽（精确到0.1cm），并求出长和宽的比．

改用m作单位，则长为0.211m，宽为0.148m，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148

只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变．

（3）．求两条线段的比时要注意的问题

①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

②两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

问：

两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？

（学生讨论）

（答:

线段的长度比与所采用的长度单位无关）

2．成比例线段的定义

你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？

如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

3．比例的基本性质

两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a，b，c，d四个数满足，那么ad＝bc吗？

反过来，如果ad＝bc，那么吗？

与同伴交流．

如果，那么ad＝bc。

若ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么．

4．线段的比和比例线段的区别和联系

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例．

三、例题讲解

例题1：

在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm．

（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？

它们的实际长度之比呢？

例题2：

如图，已知＝3，求和；

例题:

3：

如果＝k（k为常数），那么成立吗？

为什么？

四．探究延伸，拓展思维（想一想再回答）

（1）如果，那么成立吗？

为什么？

（2）如果，那么成立吗？

为什么？

（3）如果，那么成立吗？

为什么．

（4）如果＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么成立吗？

为什么．

（小组讨论完成上面的问题）

五、课堂练习

1．已知＝3，求和，＝成立吗？

2．已知＝＝2（b＋d＋f≠0），求：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．（小组讨论并上黑板）

六、课时小结：

1、注意点：

（1）两线段的比值总是正数；

（2）讨论线段的比时，不指明长度单位；（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示．

2、比例尺：

图上长度与实际长度的比

3、熟记成比例线段的定义；2．掌握比例的基本性质，并能灵活运用．

七、作业：

P４７　：

1、2、3；P51：

2、3.

八、反思及感想：

２４.２　相似图形的特征

第二课时　相似图形的特征

教学目标：

1、知道相似图形的两个特征：

对应边成比例，对应角相等。

2、识别两个多边形是否相似的方法。

3、在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力，让学生感受数学知识源于生活、用于生活。

教学重点：

相似多边形的性质

教学难点：

理解和应用相似多边形的性质

教学过程：

一、复习：

1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗?

2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系?

（都成比例）

二、新课

相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢?

同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第４８页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。

同学们会发现有什么关系呢?

经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果?

反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?

同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关?

对应边成比例，对应角相等。

由此可以得到两个相似多边形的特征：

（由同学回答，教师板书）对应边成比例，对应角相等。

实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法。

即如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。

识别两个多边形是否相似的标准有：

（边数相同），对应边要（成比例），对应角要（都相等）。

（填号内要求同学填）

想一想：

（1）两个三角形一定是相似形吗?

两个等腰三角形呢?

两个等边三角形呢?

两个等腰直角三角形呢?

（2）所有的菱形都相似吗?

所有矩形呢?

正方形呢?

例1：

矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5cm，BC＝4.5cm，A′B′＝0.8cm，B′C′＝2.4cm，这两个矩形相似吗?

为什么?

例2：

（课本第４９页例题）

三、练习：

1．课本第５0页练习。

2．

（1）矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16cm，AD＝10cm，

A′D′＝6cm，矩形A′B′C′D′的面积为57cm2，这两个矩形相似吗?

为什么?

3．如图四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x，y及角a。

四、小结：

1．两个多边形是否相似的两个标准是什么?

　2．相似多边形具有什么特征?

五、作业：

P５１：

4，6，7。

六、反思及感想：

２４.３相似三角形

1．相似三角形

教学目标：

1、知道相似三角形的概念；能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；会根据概念判断两个三角形相似。

2、能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长。

3、在探索活动中，发展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯。

教学重点：

掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似

教学重点：

熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数

教学过程：

一、复习：

什么是相似形?

识别两个多边形是否相似的标准是什么?

二、新课：

1．相似三角形的有关概念：

由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似。

三角形是最简单的多边形。

由此可以说什么样的两个三角形相似?

如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′

＝

＝

那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′；“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两三角形相似就读作：

“△ABC相似于△A′B′C′”。

由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A的对应顶点是A′，B与B′是对应顶点，C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记

＝

＝

＝K，那么这个K就表示这两个相似三角形的相似比．相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为K，即指

＝K，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是

，就不是K了，应为多少呢?

同学们想一想?

2．△ABC中，D，E是AB、AC的中点，连结DE，那么△ADE与△ABC相似吗?

为什么?

如果相似，它们的相似比为多少?

如果点D不是AB中点，是AB上任意一点，过D作DE∥BC，交AC边于E，那么△ADE与ABC是否也会相似呢?

判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑。

能否得对应角相等?

根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢?

目前还没有什么依据，同学们不妨用刻度尺量一量，算一算是否成比例?

通过度量，计算发现

＝

＝

．所以可以判断出△ADE与△ABC会相似。

若是DE∥BC，与BA、CA延长线交于D、E，那么△ADE与△ABC还会相似吗?

试一试看。

如果相似写出它们对应边的比例式．

3．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比K＝1，你会发现什么呢?

＝

＝

＝1，所以可得AB＝A′B′,BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例，试问：

①全等的两个三角形一定相似吗?

②相似的两个三角形会全等吗?

全等的符号与相似的符号之间有什么关系与区别?

4．例：

如果一个三角形的三边长分别是5、12、13，与其相似的三角形的最长边是39，那么较大三角形的周长是多少?

较小三角形与较大三角形的周长的比是多少?

分析：

这两个三角形会相似，对应边是哪些边?

相似比是多少?

哪一个三角形较大?

要计算出它的周长还需求什么?

根据什么来求?

三、练习：

下列两个三角形是否相似?

简单说明理由，如果相似，写出对应边的比例

四、小结：

1．填空：

＿＿＿＿＿＿＿的三角形叫做相似三角形。

2．两个相似三角形的相似比为1，这两个三角形有什么关系?

3、如果一条直线平行于三角形一边，与其它两边或其延长线相交截得的三角形与原三角形相似吗?

指出它们的对应边。

五、作业：

P54：

1、2、3。

六、反思及感想：

2．相似三角形的识别

第一课时相似三角形的识别

（一）

教学目标：

1．会说识别两个三角形相似的方法：

两个角分别相等的两个三角形相似。

2．会用这种方法判断两个三角形是否相似。

教学重点：

相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算．

教学难点：

判定方法的运用．

教学过程：

一、复习

1．两个矩形一定会相似吗?

为什么?

2．如何判断两个三角形是否相似?

根据定义：

对应角相等，对应边成比例。

3．如图△ABC与△′B′C′会相似吗?

为什么?

是否存在识别两个三角形相似的简便方法?

本节就是探索这方面的识别两个三角形相似的方法。

二、新课讲解

同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样。

这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索。

（1）是45°角的三角尺，是等腰直角三角形会相似。

（2）是30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢?

这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”。

是这样吗?

请同学们动手试一试：

1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等。

画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D、∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等?

为什么?

实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的。

2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例?

与同伴交流，是否有相同结果。

3．发现什么现象：

发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢?

这是由于三角形具有它特殊的性质。

三角形有稳定性，而四边形有不稳定性。

于是我们得到识别两个三角形相似的一个较为简便的方法：

如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说：

两角对应相等，两三角形相似。

同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢?

例题：

1．如图两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，

∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似。

2．在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，

∠B′＝60°，这两个三角形相似吗?

3．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC。

三、练习

1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形。

2．△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线，并说明理由。

和你的同伴交流作法是否一样?

四、小结”本节课我们学习了识别两个三角形相似的简便方法：

有两个角对应相等的两个三角形相似。

五、作业:

P64:

1

六、反思及感想：

第二课时相似三角形的识别

（二）

教学目标：

1．会说出识别两个三角形相似的方法：

有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；三条边对应成比例的两个三角形相似。

2．能依据条件，灵活运用三种识别方法，正确判断两个三角形相似。

教学重点：

相似三角形判定方法2、3的推导过程，掌握判定方法2、3并能灵活运用．

教学难点：

判定方法的推导及运用

教学过程：

一、复习：

1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法?

有两种方法，

（1）是根据定义；

（2）是有两个角对应相等的两个三角形相似。

2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点（即AD＝

AB，AE＝

AC），那么△ADE与△ABC相似吗?

你用的是哪一种方法?

由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么东西后可以判断它们能否相似?

（可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例）无论哪一种，都应肯定他们，是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的。

二、新课讲解

同学们通过量角或量线段计算之后，得出：

△ADE∽△ABC。

从已知条件看，△ADE与△ABC有一对应角相等，即∠A＝∠A（是公共角），而一个条件是AD＝

AB，AE＝

AC，即是

＝

，

＝

；因此

＝

。

△ADE的两条边AD、AE与△ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗?

我们再做一次实验。

观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢?

图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为

，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝

AC时，△ADE与△ABC相似。

此时

＝

同学们画两个三角形，△ABC与△A′B′C′，使之∠A＝∠A′，AB＝2A′B′,AC＝2A′C′,量一量BC与B′C′的长,计算BC:

B′C′与同伴交流，

是否与

，

相等?

再量一量∠B与∠B′、∠C与∠C′，它们是否对应相等呢?

这样的两个三角形相似吗?

于是有识别两个三角形相似的第二种简便方法：

如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单地说；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似。

你能画出有两边会对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗?

（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B＝∠B′，

＝

三、例题讲解：

例1．（课本中例3）判断图中△AEB与△FEC是否相似?

例2．如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：

解：

因为AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，

故AE＝6-2.1＝3.9

由于

≠

所以△ADE与△ABC不会相似。

你同意小张同学的判断吗?

请你说说理由。

小张同学的判断是错误的。

因为

＝

，

＝

＝

　　所以

＝

而∠A是公共角，∠A＝∠A，

所以△ADE∽△ACB．

请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三条边都成比例，那么这两个三角形是否相似?

看课本５８页“做一做”。

通过实验得出：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：

三边成比例两三角形相似。

例3:

△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝l0cm，A′B′＝18cm，

B′C′＝24cm，A′C′＝30cm，试判定它们是否相似，并说明理由。

四、练习：

课本59页　练习1、2，3．

五、小结：

到现在我们学习了识别两个三角形是否相似的三种较简便的方法，请同学回忆说出．（抽部分学生回答）

六、作业：

P64　：

4

七、反思及感想：

3．相似三角形的性质

教学目标：

会说出相似三角形的性质：

对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

教学重点：

1．相似三角形中对应线段比值的推导；

2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；

3．运用相似三角形的性质解决实际问题．

教学难点：

相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用

教学过程：

一、复习：

1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些?

2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗?

说明理由。

如果相似，它们的相似比是多少?

二、新课讲解

上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

＝2。

相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢?

一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。

如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢?

我们先探索一下它们的对应高之间的关系。

同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，

等于多少呢?

与它们的相似比相等吗?

得出结论：

相似三角形对应高的比等于相似比。

我们能否用说理的方法来说明这个结论呢?

同学们用上面类似方法，得出：

相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

两个相似三角形的周长比会等于相似比吗?

两个相似三角形的面积之间有什么关系呢?

看如图的三个三角形，三角形

（2）的各边长分别是

（1）的2倍，（3）的各边长分别是

（1）的3倍，所以它们都是相似的，填空：

（2）与

（1）的相似比为（），

（2）与

（1）的面积比为（），

（3）与

（1）的相似比为（），（3）与

（1）的面积比为（）

（3）与

（2）的相似比为（），（3）与

（2）的面积比为（）。

以上可以看出当相似比为K时，面积比为K2。

对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：

相似三角形的面积比等于相似比的平方。

三、课堂练习：

1.△ABC∽△A′B′C′，相似比为，则对应中线的比等于（）。

2．相似三角形对应角平分线比为，则相似比为（），周长比为（），面积比为（）

3．△ABC∽△A′B′c′，相似比为

，已知△A′B′C′的面积为18cm2，

那么△ABC的面积为（）。

四、小结：

（以填空形式，让同学回答）相似三角形（）相等，（）的比等于相似比，面积的比等于（）。

五、作业：

P64　：

　2、6

六、反思及感想：

4、相似三角形的应用

教学目标：

1、会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度。

2、自己设计方案测量高度体会相似三角形在解决问题中的广泛应用。

3、通过利用相似解决实际问题，进一步提高学生应用数学知识的能力。

教学重点：

构建相似三角形解决实际问题。

教学难点：

把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形解决。

教学过程：

一、复习

1、相似三角形有哪些性质?

2．如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF，

（1）△DEF与△ABC相似吗?

为什么?

（2）若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少?

二、例题讲解

第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长。

人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度。

例1:

古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：

为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝l，

A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度O