小学数学数与代数复习资料.doc

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小学数学数与代数复习资料

（一）

A数的认识

（一）整数

1、正数和负数

正数与负数是表示具有两种相反意义的量。

正数就在数的前面加“+”号或省略不写，负数在数的前面写“-”；0既不是正数也不是负数。

正数和负数的大小比较：

正数大于负数；负数相比较时，负号后面的数越大，这个负数反而越小。

2、整数的分类

整数分为正整数（如1、2、3、4┄┄）、0、负整数（如┄┄-4、-3、-2、-1）。

自然数包括正整数和0。

1是自然数的基本单位。

3、整数的数位和计数单位

整数数位顺序表

亿级

万级

个级

数级

┄

千亿位

百亿位

十亿位

亿位

千万位

百万位

十万位

万位

千位

百位

十位

个位

数位

┄

千亿

百亿

十亿

亿

千万

百万

十万

万

千

百

十

个

（一）

计数单位

4、整数的读写法

读法：

从高位起，一级一级地读；读亿级或万级的数时，要按照个级数的读法来读，再在它的后面读出“亿”或“万”字；每级末尾的0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”。

通常先从个位向左四位分级，再读。

写法：

先确定最高位，再写出个位到最高位的数位顺序表，然后从高位起，一级一级地写，哪位上一个单位也没有，就在哪一位上写0。

5、整数的改写

1、多位数改写成用“亿”或“万”作单位的数。

在万位或亿位的右下角点上小数点（小数末尾的0可去掉），再在数后面加写“万”或“亿”字，要用“=”号。

2、省略“亿”位或“万”位后面的尾数。

先看“千万位”或“千位”上的数字，再按四舍五入法，最后在末尾加上“亿”字或“万”字，要用“≈”号。

如：

1945320000=19.4532亿≈19亿495600=49.56万≈50万

6、整数大小比较

先看位数，位数多的数就大；位数相同的从最高位比起，相同数位上的数大，这个数就大

7、倍数和因数

倍数和因数是相互依存的，不能单独地说谁是倍数，谁是因数，只能说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。

如：

4×5=20（或20÷4=5）

4和5是20的因数，20是4和5的倍数。

但不能说4和5是因数，20是倍数。

8、找倍数

找一个数倍数的方法：

就是用这个数乘1、乘2、乘3……依次去找。

一个数倍数的个数是无限的，一个数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。

9、2、3、5倍数的特征

个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位是0、5的数是5的倍数；

各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；同时是2、5的倍数的数个位一定是0；各个数位上数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数。

10、奇数和偶数

一个自然数按是不是2的倍数可分为奇数和偶数。

是2的倍数的就是偶数；不是2的倍数的就是奇数。

11、质数与合数

一个自然数（除0外）按因数的个数可分为质数、1、合数。

1只有一个因数；只有1和它本身两个因数的数叫质数；有三个或三个以上因数的数叫合数。

12、找因数

（1）找一个合数的因数的方法：

把一个合数分解成两个自然数的积，可按乘法口诀从1开始一一成对找；还可以把这个合数依次除以自然数1、2、3、……所得商如果也是自然数，那么这个商和除数都是合数的因数。

（2）一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

特别注意：

一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。

一个数的倍数都是大于它的因数。

（╳）

13、数的奇偶性

同性相加减结果是偶数；异性相加减结果是奇数。

用数的奇偶性解决生活中问题时要注意：

（1）开始的状态。

（2）变化奇数次和偶数次的规律。

教室里的灯是亮着的，突然停电，小明连续按了10下开关，那么来电时灯是（）的。

灯开始是亮的，按奇数次开关，灯是关的；按偶数次开关，灯是亮的。

所以按10下开关，来电时灯应是亮

14、最大公因数和最小公倍数

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做最大公因数；

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。

a求两个数的最大公因数和最小公倍数：

连续用这两个数的公因数去除，除到最后的商只有公因数1为止。

两个数最大公因数是所有除数的积，两个数最小公倍数是所有除数的积×所有商的积。

21824

3912

34

18、24的最大公因数=2×3=6；18、24的最小公倍数=2×3×3×4=72。

b求两个数最大公因数和最小公倍数的特例：

（1）两个数如果较大数是较小数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大数，它们的最大公因数就是较小数。

（2）两个数如果只有公因数1，那么它们的最小公倍数就是这两个数乘积，它们的最大公因数就是1。

c求三个数的最小公倍数。

（1）如果三个数中最大数是另外两个数的倍数，那么最大数就是这三个数的最小公倍数。

如：

3、5和15的最小公倍数。

15同时是3和5的倍数，所以它们的最小公倍数是15。

（2）如果三个数中每两个数都只有公因数1，那么这三个数的乘积就是它们的最小公倍数。

如：

求3、4和5的最小公倍数。

我们发现3和4，4和5，3和5都只有公因数1，所以它们的最小公倍数就是3×4×5=60

（3）找三个数最小公倍数，可以先找最大数的倍数，再看看这个最大数的倍数是不是同时是另外两个数的倍数。

如：

求9、15和30的最小公倍数。

可先找30的倍数，30的1倍是30，30是15的倍数但不是9的倍数；30的2倍是60，60是15的倍数但不是9的倍数；30的3倍是90，90同时9和15的倍数。

所以90就是它们的最小公倍数。

d最大公因数和最小公倍数的实际应用

（1）把长30厘米，宽24厘米的长方形木板锯成大小相等的小正方形，每个小正方形的边长最长是几厘米？

能锯成多少块？

（分析：

每个小正方形的边长既是长方形长的因数也宽的因数，即是长和宽的公因数，每个小正方形的最长边长就是长和宽的最大公因数。

因为30和24的最大公因数是6，所以每个小正方形的最长边长是6厘米；能锯成（30×24）÷（6×6）=20块。

）

（2）、人民公园是1路、3路汽车的起点站。

1路汽车每3分钟发车1次，3路汽车每5分钟发车1次，这两路汽车同时发车以后，至少再经过多少分钟又同时发车？

（分析：

这两路车同时发车的时间既是3的倍数又是5的倍数，即是3和5的公倍数，再次同时发车的最小时间是3和5的最小公倍数。

因为3和5的最小公倍数是3×5=15，所以至少再经过15分钟又同时发车。

）

（3）有一盒铅笔，平均分给4个小朋友余1支，平均分给5个小朋友也余下1支，如果平均分给6个小朋友还余下1支。

这盒铅笔至少有多少支？

（分析：

把这盒铅笔平均分给4、5、6个小朋友都是余下1支，那么把这盒铅笔的总数减1支，就刚好是4、5、6的公倍数，这盒铅笔的最少支数就是4、5、6的最小公倍数。

因为4、5、6的最小公倍数是60，所以这盒铅笔最少有60+1=61支。

）

（二）小数

（1）小数的意义

把整数“1”平均分成10份、100份、1000份┄┄这样的一份或几份是十分之几，百分之几，千分之几┄┄可以用小数表示。

（2）小数的数位和计数单位

整数部分

小数点

小数部分

数位

┄┄

.

十分位

百分位

千分位

┄┄

计数单位

┄┄

十分之一

百分之一

千分之一

┄┄

（3）小数的读写法

1、读法：

读小数的时候，整数部分按照整数的读写法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分从高位到低位顺次读出每个数位上的数字。

2、写法：

写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点在个位的右下角，小数部分从高位到低位顺次写出每个数位上的数字。

（4）小数的基本性质和小数点的移动变化规律

1、小数的性质：

小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

如：

3.5和3.50大小相等，但计数单位不同。

2、小数点的移动变化规律：

小数的小数点向右移动一位、两位、三位┄┄原来的数就扩大10倍、100倍、1000倍┄┄；反之，小数的小数点向左移动一位、两位、三位┄┄原来的数就缩小10倍、100倍、1000倍┄┄。

小数点向左或向右移，位数不够时，要用“0”补足。

（5）小数的分类

按整数部分是否是0可分为纯小数和带小数，整数部分是0的小数叫纯小数，纯小数小于1；整数部分不是0的小数叫带小数，带小数大于1。

按小数部分的位数是否有限可分为有限小数和无限小数，小数部分的位数是有限的小数叫有限小数；小数部分的位数是无限的小数叫无限小数。

无限小数又可分为循环小数和不循环小数。

循环小数可分为纯循环小数和混循环小数。

（6）小数大小比较

比较两个小数的大小时，先看它们的整数部分，再看它们的小数部分，从高位到低位一级一级地比较。

（7）小数的近似数

根据需要比要保留的小数位数往后多看一位，再按照四舍五入法取近似数。

（三）分数

（1）分数的意义与分数单位

把整体“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

把整体“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫分数单位。

同一个分数对应的整体1不同，所表示的具体数量也不同。

只有整体1和其对应的分率都相同，所表示的具体数量才相同，否则不会相同。

①甲的和乙的一定相同吗？

（甲和乙不一定相同，那么他们的也不一定相同。

）

②甲的和乙的一定不同吗？

（甲和乙不知道，甲的和乙的不一定不同。

）

（2）分数与除法的关系分数与除法：

a÷b=

分数的分子相当于除法中被除数，分数线相当于除号，分母相当于除数。

1、把3米长绳子平均分成7段，每段是（）米，每段是全长的。

每份的数量=总数量÷平均分的份数；每份的分数=整体1÷平均分的份数。

每段长=3÷7=米，每段是全长的=1÷7=。

2、小明30分钟走了2千米路。

①每分钟走了（）千米（求每分钟走的千米就用总路程÷时间，即2÷30=千米）；

②走1千米需（）分钟（求每千米需要的时间就用总时间÷路程，即30÷2=15分钟）。

（3）分数的分类

分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1；

分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。

假分数大于或等于1。

带分数是假分数的另一种表现形式。

把整数化成指定分母的假分数：

a=；把假分数化成带分数或整数：

用假分数的分子除以分母，所得的整数商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分数部分的分子，分母不变。

=a÷b=c……d=c；带分数化成假分数，用整数乘分母加分子作为假分数的分子，分母不变，a=。

（4）分数的基本性质

分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

分数的分母（分子）扩大或缩小几倍，要使分数的大小不变，分子（分母）也应该扩大或缩小相同的倍数。

===（）÷25

（5）约分与通分

1、约分

（1）先观察分数的分子、分母，找出它们的公因数，用分子、分母同时除以公因数，一次一次地约，一直约到最简分数为止。

（2）找出分子、分母的最大公因数，用分子、分母同时除以最大公因数，得到最简分数。

（3）如果分数的分子和分母具有倍数关系，就用分数的分子和分母同时除以分子和分母中较小的那个数，就能得到最简分数

2、通分意义：

把分母不相同的分数化成和原来分数相等，并且分母相同的分数，这个过程叫做通分。

通分时要根据分数的基本性质运算。

一般方法：

先求出原来几个分母的最小公倍数，也可用分母的公倍数，但一般用最小公倍数。

然后把各分母分别化成用这个最小公倍数作公分母的分数。

3、最简分数：

分子和分母只有公因数1。

判断分子和分母没有公因数的分数就是最简分数。

（）分子和分母都是偶数的分数，一定不是最简分数。

（）分子和分母都是奇数的分数，一定是最简分数。

（）分子和分母都是质数的分数，一定是最简分数。

（）分子和分母都是合数的分数，一定不是最简分数。

（）

（6）分数的大小

同分母分数，分子越大，分数越大。

同分子分数，分母越小，分数越大。

异分母分数比较大小，先通分化成同分母分数；如果分母较大，分子较小，可把分子化为相同的分数，再比较大小。

（7）百分数的意义

表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分比或百分率。

常见百分率的意义：

什么率就是什么数占总数的百分之几。

（8）折数

表示一个数是另一个数的十分之几或百分之几十。

如一件商品八折出售，就是指出售价是原价的十分之八或百分之八十。

（9）分数与百分数的区别

分数既可表示一个具体数量，又可表示分率；而百分数只能表示分率，所以分数可以有单位，百分数不能有单位。

（10）分数、小数、百分数的互化

1、分数化成小数的方法：

利用分数和除法的关系，用分子除以分母化成小数。

除不尽时，可按要求保留一定位数的小数，没要求时一般保留两位小数。

（带分数化小数，先把带分数化成假分数，再用分子除以分母。

）

2、小数化成分数的方法：

小数化分数，原来小数有几位小数，就在1后面写几个0作分母，小数的小数点去掉作分子。

化成分数后，能约分的要约分。

3、分数化成百分数的方法：

先将分数化成小数或整数的形成，然后再写成百分数。

4、百分数化成分数的方法：

先将百分数改写成分母是100的分数，再约分。

5、小数化成百分数的方法：

先将小数的小数点向右移动两位，再添上百分号。

6、百分数化成小数的方法：

先将百分数后面的百分号去掉，再将小数点向左移动两位。

（11）分数、小数、百分数混合大小比较

先将它们都化成小数，再按照小数比较大小的方法比较。

B、数的计算

（一）运算的意义

1、四则运算的意义

加法：

把两个（或几个）数合并成一个数的运算，叫加法。

减法：

已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫减法。

乘法：

求几个相同加数的和的简便运算，叫乘法。

扩展：

求几个相同加数的和是多少；求一个数的几倍是多少；求一个数的几（百）分之几是多少。

除法：

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。

2、四则运算的互逆关系

加数+加数=和一个加数=和—另一个加数

被减数-减数=差被减数=减数+差减数=被减数-差

因数×因数=积一个因数=积÷另一个因数

被除数÷除数=商被除数=除数×商除数=被除数÷商

除数×商+余数=被除数（被除数-余数）÷除数=商（被除数-余数）÷商=除数

（二）计算与应用

1、四则基本运算法则

（1）、加、减法的计算法则

整数加减时，把相同数位对齐；小数加减时，小数点对齐；

分数加减法：

同分母分数加减法，只把分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，先通分然后按照同分母分数加减法的法则计算。

带分数相加减，把整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。

（2）、乘法的计算法则。

（a）整数乘法的计算法则：

从第二个乘数的末位算起，用第二个乘数每一位去乘第一个乘数，用第二个乘数的哪一位去乘，得数的末位就和哪一位对齐。

（b）小数乘法的计算法则：

先按整数乘法的计算法则算出积，再看两个乘数中共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。

如果小数的位数不够，要在前面用“0”补足。

（c）分数乘法的计算法则：

用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。

（3）、除法的计算法则

（a）整数除法的计算法则：

从被除数的高位除起，除数有几位数就先看被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除，除到哪一位，商就写在哪一位上面；每次除得的余数必须比除数小；在求出商的最高位以后如果被除数的哪一位不够商1，就在哪一位上写“0”

（b）小数除法的计算法则：

除数是整数时，按整数除法的法则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。

除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够时，末尾用“0”补足），然后按除数是整数的小数除法法则进行计算。

（c）分数除法的计算法则：

甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

（4）、分数、小数、百分数混合运算

在分数、小数、百分数混合加减运算中，通常把分数、百分数化成小数计算，如果分数不能

化成有限小数，应先把小数化成分数再进行计算。

在分数、小数、百分数混合乘除运算中，分数和小数相乘、小数除以分数可以直接相乘或相除；分数、百分数除以小数，一般把小数化成分数后再相乘或相除。

（5）、积商规律：

（a）两个不为零的数相乘，一个乘数大于1，积大于另一个乘数；一个乘数等于1，积等于另一个乘数；一个乘数小于1，积小于另一个乘数。

（b）两个不为零的数相除，除数大于1，商小于被除数；除数等于1，商等于被除数；除数小于1，商大于被除数。

2、四则混合运算顺序

（1）、在没有括号的算式里，如果只含有加减或乘除，要从左往右依次计算；如果既含有加减，又含有乘除，要先算乘除，后算加减。

（2）、在有括号的算式里，要先括号里面的，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

3、四则运算应用

基本关系式

加法部分数+部分数=总数量小数+相差数=大数

减法总数量-部分数=部分数大数-小数=相差数大数-相差数=小数

乘法每份数×份数=总数量小数×倍数=大数单位“1”的量×对应分率=对应量

除法总数量÷份数=每份数大数÷倍数=小数对应量÷对应分率=单位“1”的量

总数量÷每份数=份数大数÷小数=倍数对应量÷单位“1”的量=对应分率

4、四则列式计算

用缩句法从最后的结果入手，由“和”找“加”字，加字前后就是两个加数；由“差”找“减”字，减字前后就是被减数和减数；由“积”找“乘”字，乘字前后就是两个因数；由“商”找“除以”或“除”，再找被除数和除数。

（三）估算

1、取近似数的方法

（1）四舍五入法：

要保留到哪一位，就看它的后一位，如果后一位上的数是4或者比4小，就把它舍去；如果后一位上的数是5或者比5大，就向那一位进1，后面的数舍去。

（2）进一法：

根据实际需要，不管保留的数位上右边的第一位是几（非零的数字）前一位都加1。

（3）去尾法：

根据实际需要，所需保留数后面的数字不管是几都舍去。

2、估算的方法：

整数的估算，先用四舍五入法把整数看成和它接近的整十、整百、整千数……再进行计算。

小数的估算，用四舍五入法把小数看成和它接近的整数，再计算。

（四）运算定律和性质

1、定律：

加法交换律a+b=b+a结合律（a+b）+c=a+（b+c）=（a+c）+b

乘法交换律a×b=b×a结合律（a×b）×c=a×（b×c）=（a×c）×b

分配律（a+b）×c=a×c+b×c

2、性质：

减法a-b-c=a-（b+c）

除法a÷b÷c=a÷（b×c）

积不变a×b=（a×c）×（b÷c）（c≠0）

商不变a÷b=（a×c）÷（b×c）=（a÷c）÷（b÷c）（c≠0）

3、简算的方法

（1）凑整法连加、连乘运用加法和乘法的交换律和结合律来凑成整十、整百、整千┄┄这样的数；在乘法中有时还用到三对“好朋友”：

5×2=1025×4=100125×8=1000

（2）拆分法把一个接近1、整十、整百、整千┄┄这样的数拆分成1、10、100、1000┄┄加上或减去一个数，再运用定律和性质来简算。

（3）提取公因数法几个积相加、相减、或加减混合；几个积中都有相同的因数；几个积中不同的因数能凑整。

具备这三个特点的算式就可运用提取公因数法。

C、代数初步

（一）用字母表示数

1、用字母表示数的意义用字母表示数可简明表达数量关系、运算定律和计算公式。

用字母可以表示运算的结果。

在用字母表示数时要注意以下几点：

（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以简写成“.”或省略不写。

数与数相乘时，乘号不能省略。

（2）数字和字母相乘，乘号省略时将数字写在字母的前面。

（3）当1和任何字母相乘时，1省略不写。

2、代数式用加、减、乘、除等运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子叫代数式。

代数式就是含有字母的式子。

3、求代数式的值

求代数式的值一要用指定的数代替代数式里的字母；二要按代数式里指定的运算符号和四则运算顺序进行计算；三要注意那些表示数量的代数式，求出其结果后，一般不需要写单位名称。

（二）简易方程

1、等式表示相等关系的式子叫等式。

2、方程表示含有未知数的等式叫方程。

3、方程的解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

4、解方程求方程解的过程叫做解方程。

5、解方程的方法与技巧

基本类型：

①X+A=B②X-A=B③A-X=B

X=B-AX=B+AX=A–B

④X×A=B⑤X÷A=B⑥A÷X=B

X=B÷AX=B×AX=A÷B

工具：

（1）、依据加减乘除法各部分间的关系。

（2）、依据等式的性质

l等式的两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。

l等式的两边都乘一个数或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。

如：

如果X=5成立，那么X+2=5+2，X-3=5-3，X×2=5×2，X÷2=5÷2也成立。

（3）、移项的方法。

观察下面的等式：

X+5=8X-4=5

X-4+4=5+4

X+5-5=8-5

X=8-5X=5+4

X×5=10X÷4=2

X×5÷5=10÷5

X÷4×4=2×4

X=10÷5X=2×4

把等式中某一项从等式一边移到另一边，叫做移项；移项时运算符号要改变，即加一个数移到另一边变为减一个数，减一个数移到另一边变为加一个数，乘一个数移到另一边变为除以一个数，除以一个数移到另一边变为乘一个数。

技巧：

整体思想，移项合并思想。

如：

20x+20=80

把20x看作一个整体，把+20移到右边变为-20

（移项）20x=80-20

（合并）20x=60

X=3

如：

30-2X=10

把2x看作一个整体，当作减数

20X=30-10（减数=被减数-差）

20X=20

X=10

6、方程法解应用题

根据常见的等量关系列方程

（1）比较关系：

多少关系小数