立体几何线线垂直专题史上最全分析.docx
《立体几何线线垂直专题史上最全分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何线线垂直专题史上最全分析.docx（18页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
立体几何线线垂直专题史上最全分析
立体几何垂直总结
1线线垂直的判断：
线面垂直的定义：
若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：
一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）—直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC,AD=BD，E是AB
的中点。
求证：
（1）AB_平面CDE;
（2）平面CDE_平面ABC证明：
（1）AE：
C卜ce丄ab同理，AD：
BDFde丄ab
又CE-DE二EAB_平面CDE
（2）由
（1）有AB—平面CDE
又•AB平面ABC，.平面CDE_平面ABC
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形.PB=PD，E为PA的中点.（I）求证：
PC//平面BDE;（H）求证：
平面PAC_平面BDE.
例3、（线线、线面垂直相互转化）已知.ABC中.ACB=90',SA_面ABC,AD_SC,求证：
AD_
面SBC.
证明：
v.ACB=90°.BC_AC
又SA_面ABCSA_BCBC_面SAC
.BC_AD又SC_AD’SC-BC=Cad—面SBC
例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA二AC，点E是线段PC的中点.求证:
AE_平面PBC.
证明：
vPA_|_O所在平面，BC是LO的弦，二BC_PA.
又vAB是LO的直径，•ACB是直径所对的圆周角，
BC_AC.
vPA门AC二代PA平面PAC，AC平面PAC.
•••BC_平面PAC，AE平面PAC，•••AE_BC.
vPA二AC，点E是线段PC的中点.•AE_PC.
vPC「|BC=C,PC平面PBC，BC平面PBC.
•AE_平面PBC.
ABCD是等腰梯形，AB//CD，
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形/DAB=60°,AE丄BD，CB=CD=CF.求证：
BD丄平面AED;
证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD，/DAB=60°，
所以/ADC=/BCD=120°.
又CB=CD，所以/CDB=30°,
因此/ADB=90°，即AD丄BD.
又AE丄BD，且AEGAD=A，AE，AD?
平面AED，
所以BD丄平面AED.
例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等
腰直角三角形，/BAC=90°且AB=AAi,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.
求证：
（1）DE//平面ABC;
（2）BiF丄平面AEF.
BD_AQ
AQ丄平面BCiD
同理可证AC_BCi
练习；
i、如图在三棱锥P—ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO丄平面ABC，垂足O落在线
段AD上.证明：
APIBC;
li
1
2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=qAAl,D是棱AAi的中点，DCi丄BD.证明：
DC」
BC。
3.如图，平行四边形ABCD中，/DAB=60°AB=2,AD=4•将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD丄平面ABD.
（1）求证：
AB丄DE;
（2）求三棱锥EABD的侧面积.
4、在正三棱柱ABC-AB1G中，若AB=2，AA1=1，求点A到平面ABC的距离。
5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点，PA=AD.
求证：
（1）CD丄PD;
（2）EF丄平面PCD.
6、如图7-5-9
（1），在RtAABC中，/C=90°,D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△AiDE的位置，使AiF丄CD，如图⑵.
（1）求证：
DE//平面AiCB.
⑵求证：
AiF丄BE.
⑶线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?
说明理由.
立体几何垂直总结
1线线垂直的判断：
线面垂直的定义：
若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线
补充：
一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条
2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）—直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD中，BC二AC,AD二BD，E是AB的中点。
求证：
（1）AB一平面CDE;
（2）平面CDE一平面ABC。
、〒沖/八BC=AC〕AD=BD]
证明：
（1）=CE_AB同理，=DE_AB
AE=BEJAE=BEJ
又CE一DE=EAB_平面CDE
（2）由
（1）有AB—平面CDE
又AB平面ABC，.平面CDE_平面ABC
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥形.PB二PD，E为PA的中点.（I）求证:
P-ABCD的底面是菱
平面BDE.
例3、（线线、线面垂直相互转化）已知ABC中.ACB二90’，SA_面ABC,AD一SC,求证：
AD-
证明：
丁•ACB=90°.BC_AC
又SA_面ABCSA_BCBC_面SAC
.BC_AD又SC_AD’SC一BC=Cad—面SBC
例4、（直径所对的圆周角为直角）如图2所示，已知PA垂直于圆O在平面，AB是圆O的直
径，C是圆O的圆周上异于A、B的任意一点，且PA=AC，点E是线段PC的中点.求证:
AE_平面PBC.
证明：
•••PA_|_O所在平面，BC是LO的弦，二BC_PA.
又•••AB是LO的直径，•ACB是直径所对的圆周角，
BC_AC.
vPA^AC=A,PA平面PAC，AC平面PAC.
•••BC_平面PAC，AE平面PAC，•••AE_BC.
vPA=AC，点E是线段PC的中点.•AE_PC.
vPC“BC=C,PC平面PBC，BC平面PBC.
•AE_平面PBC.
ABCD是等腰梯形，AB//CD，
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形/DAB=60°,AE丄BD，CB=CD=CF.求证：
BD丄平面AED;
证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD，/DAB=60°，
所以/ADC=/BCD=120°
又CB=CD，所以/CDB=30°,
因此/ADB=90°,即AD丄BD.
又AE丄BD,且AEGAD=A,AE,AD?
平面AED,所以BD丄平面AED.
例6、（勾股定理的逆定理）如图7-7-5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等
腰直角三角形，/BAC=90°且AB=AA1,D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.
求证：
（1）DE//平面ABC;
（2）B1F丄平面AEF.
例7、（三垂线定理）证明：
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C丄平面BC1D
证明：
连结AC
•••BD丄AC.AC为A1C在平面AC上的射影
BD_AQ
AQ丄平面BC1D
同理可证AQ—BG
1
2、直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC=qAAl,D是棱AAi的中点，DC」BD.
（1）证明：
DCi
丄BC;
证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点，故DC=DC1.
1222
又AC=2AA1,可得DC2+DC2=CC2,所以DC1JDC.
又DC1JBD，DCABD=D，所以DC1丄平面BCD.
因为BC?
平面BCD，所以DC11BC.
3.如图，平行四边形ABCD中，/DAB=60°AB=2,AD=4•将△CBD沿BD折起到△EBD
的位置，使平面EBD丄平面ABD.
（1）求证：
AB丄DE;
（2）求三棱锥EABD的侧面积.
（1）证明：
在△ABD中，
••AB=2，AD=4,/DAB=60°
设F为AD边的中点，连接FB,
ZAFB=60°
又DF=BF=2,二^FD为等腰三角形.
•••FDB=30°故/ABD=90°.
••ABJBD.又平面EBD丄平面ABD,
平面EBDG平面ABD=BD,AB?
平面ABD,
••AB丄平面EBD.〔DE?
平面EBD,/ABJDE.
（2）【解析】由
（1）知ABJBD,・.CD/AB,.QD!
BD，从而DEJBD.
1
在RtQBE中，TDB=23,DE=DC=AB=2,「Sadbe=^DBDE=23.
••AB丄平面EBD,BE?
平面EBD,/ABJBE.iBE=BC=AD=4,
1
••Szabe=2ABBE=4「DEJBD,平面EBD丄平面ABD,/ED丄平面ABD.而AD?
平面ABD,
1
••ED1AD,「Smde=qADDE=4.综上，三棱锥EABD的侧面积S=8+2.3.
4、在正三棱柱ABC-A1B1G中，若AB=2,AA=1，求点A到平面ABC的距离。
6如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱
是AB、PC的中点，PA=AD.
求证：
（1）CD丄PD;
（2）EF丄平面PCD.
证明⑴•PA丄底面ABCD,•CD丄FA.
又矩形ABCD中，CD丄AD,且ADAPA=A,
•CD丄平面PAD,•CD丄PD.
⑵取PD的中点G,连接AG,FG.又•G、F分别是PD、PC
的中点，
1
•GF綊2CD,•GF綊AE,•四边形AEFG是平行四边形，•AG/EF.
•PA=AD,G是PD的中点，•AG丄PD,•EF丄PD,
VCD丄平面PAD,AG平面PAD./•CD丄AG.aEF丄CD.
•••PDACD=D,aEF丄平面PCD.
6、如图7-5-9
（1），在RtAABC中，/C=90°,D,E分别为AC,AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△AiDE的位置，使AiF丄CD，如图⑵.
（1）求证：
DE//平面AiCB.
⑵求证：
AiF丄BE.（3）线段AiB上是否存在点Q,使AiC丄平面DEQ?
说明理由.
【规范解答】
（1）因为D，E分别为AC，AB的中点，
所以DE//BC.2分
又因为DE?
平面AiCB，
所以DE//平面AiCB.4分
（2）由已知得AC丄BC且DE//BC，
所以DE丄AC.
所以DE丄AiD，DE丄CD.
所以DE丄平面AiDC.6分
又AiF?
平面AiDC，
所以DE丄AiF.
又因为AiFdCD，CDADE=D，
所以AiF丄平面BCDE,
又BE?
平面BCDE，所以AiFJBE.9分
⑶线段AiB上存在点Q,使AiC±平面DEQ.理由如下:
如图，分别取AiC,AiB的中点P,Q,贝UPQ//BC.
又因为DE/BC,所以DE/PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由⑵知，DE丄平面AiDC，所以DE丄AiC.
又因为P是等腰三角形DAiC底边AiC的中点，
所以AiCJDP.又DPADE=D，所以AiC丄平面DEP.i2分从而AiC丄平面DEQ.
故线段AiB上存在点Q,使得AiC丄平面DEQ.i4分
升级会员 