高中数学必修4导学案.doc

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1.1.1任意角

课前预习学案

一、预习目标

1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3、能用集合和数学符号表示象限角；

4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

二、预习内容

1．回忆：

初中是任何定义角的？

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：

“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？

如果慢了5分钟，又该如何校正？

2.角的概念的推广：



3．正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题：

1.定义中说：

角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：

除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；

（2）-750； （3）8550； （4）-5100.

5.终边相同的角的表示

课内探究学案

一、学习目标

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（2）理解任意角以及象限角的概念；

（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；

学习重难点：

重点：

理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点:

把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程

例1.例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：

是指）

例2.写出终边在轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式

的元素写出来.

（三）【回顾小结】

1.尝试练习

（1）教材第3、4、5题.

（2）补充：

时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。

注意:

（1）；

（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

2.学习小结

（1）你知道角是如何推广的吗?

（2）象限角是如何定义的呢?

（3）你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?

（四）当堂检测

1．设，，那么有（ ）．

　　A．　　　B．　　C．（）　　D．

2．用集合表示：

（1）各象限的角组成的集合．　　

（2）终边落在轴右侧的角的集合．

3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1）；

（2）；（3）．

3.解：

（1）∵

　　　　∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；

（2）∵

　　　　∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；

　　（3）

　　所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．

课后练习与提高

1.若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

2.下列命题正确的是：

（）

（A）终边相同的角一定相等。

（B）第一象限的角都是锐角。

（C）锐角都是第一象限的角。

（D）小于的角都是锐角。

3.若a是第一象限的角，则是第象限角。

4.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．

5.集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（  ）

　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，

　　C．轴或轴上，　　　　　D．轴正半轴或轴正半轴上

6.设，　　　　　

　　　　C＝{α|α=k180o+45o,k∈Z}，　　　　　

则相等的角集合为__．

参考答案

1.解：

2小时40分=小时，

故分针走过的角为480。

2.C3.一或三4.5.C6._B＝D，C＝E

1.1.2弧度制

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧长公式和扇形面积公式.

二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1、角的弧度制是如何引入的？

2、为什么要引入弧度制？

好处是什么？

3、弧度是如何定义的？

4、角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；

4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、学习过程

（一）复习：

初中时所学的角度制，是怎么规定角的？

角度制的单位有哪些，是多少进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。

<我们规定>叫做1弧度的角，用符号表示，读作。

练习：

圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？

<思考>：

圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：

如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：

，的正负由决定。

正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。

<说明>：

我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：

当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

．

（三）角度与弧度的换算

rad1=

归纳：

把角从弧度化为度的方法是：

把角从度化为弧度的方法是：

<试一试>：

一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整

30°

90°

120°

150°

270°

0

例1、把下列各角从度化为弧度：

（1）

（2）（3）（4）

变式练习：

把下列各角从度化为弧度：

（1）22º30′

（2）—210º（3）1200º

例2、把下列各角从弧度化为度：

（1）

（2）3.5（3）2（4）

变式练习：

把下列各角从弧度化为度：

（1）

（2）—（3）

（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

正角

零角

负角

正实数

零

负实数

（五）弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式：

因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．

扇形面积公式：

．

说明：

以上公式中的必须为弧度单位．

例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。

变式练习1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　　倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　　．

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角

的弧度数为　　　．

（六）课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（七）作业布置习题1.1A组第7，8，9题。

课后练习与提高

1．在中，若，求A，B，C弧度数。

2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

3．选做题

如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。

1.21任意角的三角函数

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解三角函数的两种定义方法；

2.知道三角函数线的基本做法.

二、预习内容：

根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.

课内探究学案

一、学习目标

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

（4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

二、重点、难点

重点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、学习过程

（一）复习：

1、初中锐角的三角函数______________________________________________________

2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________

（二）新课：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么

（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________

（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________

（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；

2．三角函数的定义域、值域

函数

定义域

值域

3．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为_____（），对于第三、四象限为____（）；

②余弦值对于第一、四象限为_____（），对于第二、三象限为____（）；

③正切值对于第一、三象限为_______（同号），对于第二、四象限为______（异号）．

4．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：

__________________________

即有：

_________________________

_________________________

_________________________

5．当角的终边上一点的坐标满足_______________时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅳ）

（Ⅲ）

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

，_______，________

．_________

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

（三）例题

例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。

变式训练1：

已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.

例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）；

（2）；（3）．

变式训练2：

求的正弦、余弦和正切值.

例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。

变式训练3：

求函数的值域

例4．.利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1.与2.tan与tan

（四）、小结

课后练习与提高

一、选择题

1.是第二象限角，P（，）为其终边上一点，且，则的值为（）

A.B.C.D.

2.是第二象限角，且，则是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3、如果那么下列各式中正确的是（）

A.B.

C.D.

二、填空题

4.已知的终边过（9，）且，，则的取值范围是。

5.函数的定义域为。

6.的值为（正数，负数，0，不存在）

三、解答题

7.已知角α的终边上一点P的坐标为（）（），且，求

1.2.2同角的三角函数的基本关系

课前预习学案

预习目标：

通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。

预习内容：

复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线：

。

提出疑惑：

与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？

。

课内探究学案

学习目标：

⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；

2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；

3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．

学习过程：

【创设情境】

O

x

y

P

M

1

A（1,0）

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

【探究新知】

探究:

三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:

以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.

根据三角函数的定义,当时,有.

这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.

【例题讲评】

例1化简：

例2已知

例3求证：

例4已知方程的两根分别是，

求

例5已知，

求

【课堂练习】

化简下列各式

1．

2．

3．

1.3.1三角函数的诱导公式

（一）

课前预习学案

预习目标：

回顾记忆各特殊锐角三角函数值，在单位圆中正确识别三种三角函数线。

预习内容：

1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；

2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。

提出疑惑：

我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？

我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决。

那么如何实现这种转化呢？

课内探究学案

一、学习目标：

（1）.借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题

（2）.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。

二、重点与难点：

重点：

四组诱导公式的记忆、理解、运用。

难点：

四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断；

三、学习过程：

（一）研探新知

1.诱导公式的推导

由三角函数定义可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：

（公式一）

诱导公式

（一）的作用：

把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。

【注意】：

运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成

，是不对的

【讨论】：

利用诱导公式

（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？

除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。

那么它们的三角函数值有何关系呢？

若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？

特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：

（公式二）

特别地，角与角的终边关于轴对称，故有

（公式三）

特别地，角与角的终边关于原点对称，故有

（公式四）

所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。

【说明】：

①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；

③记忆方法：

“函数名不变，符号看象限”；

【方法小结】：

用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：

①；

②；

③。

可概括为：

“”（有时也直接化到锐角求值）。

（二）、例题分析：

例1求下列三角函数值：

（1）；

（2）．

分析：

先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角

函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内

角的三角函数的值。

例2化简．

（三）课堂练习：

（1）．若，则的取值集合为 （）

A． B．

C． D．

（2）．已知那么 （）

A． B． C． D．

（3）．设角的值等于 （）

A． B．－ C． D．－

（4）．当时，的值为 （）

A．－1 B．1 C．±1 D．与取值有关

（5）．设为常数），且

那么A．1 B．3C．5 D．7（）

（6）．已知则.

课后练习与提高

一、选择题

1．已知，则值为（）

A.B.—C.D.—

2．cos（+α）=—，<α<,sin（-α）值为（）

A.B.C.D.—

3．化简：

得（）

A.B.C.D.±

4．已知，，那么的值是（）

ABCD

二、填空题

5．如果且那么的终边在第象限

6．求值：

2sin（－1110º）－sin960º+＝　　　　　　．

三、解答题

7．设，求的值．

8．已知方程sin（a-3p）=2cos（a-4p），求的值。

1.3.2三角函数诱导公式

（二）

课前预习学案

一、预习目标

熟记正弦、余弦和正切的诱导公式，理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简

二、复习与预习

1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；____________________

2．诱导公式一及其用途：

______________________________

______________________________

______________________________

3、对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：

4、诱导公式二：

5、诱导公式三：

6、诱导公式四