第8节 机械能守恒定律.docx
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第8节机械能守恒定律
第8节机械能守恒定律
理解领悟
机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的具体体现，是能量守恒的特殊形式，机械能守恒定律是中学物理教学中的重点。
要理解机械能守恒定律的内容与适用条件，会应用机械能守恒定律解决实际问题。
基础级
1. 动能与势能的相互转化
教材开头的“做一做”栏目提供了这样的小实验：
将小球用细线悬挂起来后在竖直平面内来回摆动，用直尺挡住细线，可以发现小球仍能摆到原先的高度。
这个小实验表明，在只有重力做功的情况下，小球在运动过程中发生动能与重力势能的相互转化，而机械能的总量则保持不变。
在现实生活中，动能与势能相互转化的例子是很多的。
物体自由下落的运动，石子的竖直上抛、平抛或斜抛运动，物体沿光滑斜面或曲面的运动，压缩后的弹簧将物体弹出等过程中，都存在着动能与势能的相互转化。
仔细分析动能与势能转化的实例，可以发现：
在物体运动状态发生变化的过程中，势能增大（减少）的过程，就是动能减少（增大）的过程。
势能的变化是由于重力或弹力做功引起的。
如果重力或弹力作为外力，又可以改变物体的动能。
如果重力或弹力做正功，重力势能或弹性势能减少，动能增加，意味着重力势能或弹性势能转化为动能；反之，如果重力或弹力做负功，重力势能或弹性势能增加，动能减少，意味着动能转化为重力势能或弹性势能。
可见，通过重力或弹力做功，机械能可以从一种形式转化为另一种形式。
2. 只有重力做功时系统的机械能
只有重力做功时，根据动能定理，有
WG=Ek2－Ek1，
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WG=Ep1－Ep2，
由以上两式可得Ep1－Ep2=Ek2－Ek1，
即Ek2+Ep2=Ek1+Ep1。
这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3. 只有弹力做功时系统的机械能
只有弹力做功时，根据动能定理，有
WN=Ek2－Ek1，
根据重力做功与重力势能变化的关系，有
WN=Ep1’－Ep2’，
由以上两式可得Ep1’－Ep2’=Ek2－Ek1，
即Ek2+Ep2’=Ek1+Ep1’。
这就是说，在只有弹力做功的物体系统内，动能与弹性势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
4. 机械能守恒定律的内容及其表达式
综上所述，在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
这就是机械能守恒定律。
其数学表达式为
Ek2+Ep2+Ep2’=Ek1+Ep1+Ep1’.
若以E1、E2分别表示系统初、末状态的总的机械能，则机械能守恒定律可以更简洁地表示为E2=E1。
5. 对机械能守恒定律的深入理解
对机械能守恒定律，可从以下几方面加深理解：
1机械能守恒是能量守恒的特例自然界存在各种不同形式的能量——机械能、内能、电能、化学能、光能、核能等。
机械能包括动能和势能，势能包括重力势能和弹性势能。
各种不同形式的能量可以相互转化，转化中总能量守恒，机械能守恒只是能量守恒的一种特殊情况。
2机械能守恒定律更为一般的叙述一个物体系统，如果只有系统内部的重力和弹力做功，其他内力和外力都不做功，那么系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3机械能守恒定律的研究对象机械能守恒定律研究的对象是物体系统，是指系统的总机械能守恒，不是指某一个物体，单个物体无所谓机械能守恒。
我们平时常说某物体的机械能守恒，只是一种习惯的说法，实际上应包括地球在内，因为物体的重力势能是物体与地球所共有的，而不是物体单独拥有的。
系统的机械能是否守恒，选择研究对象很重要。
例如：
球从高处自由落下，碰到弹簧又弹起，以单个球为研究对象，无所谓机械能守恒。
若以球和地球为一系统，球在下落至碰到弹簧前，只有重力做功，系统机械能守恒；但碰到弹簧又弹起的过程中，弹簧的弹力是系统的外力，弹力做功是外力做功，系统的机械能就不守恒。
如果选取球、弹簧与地球三者组成的系统来研究，则系统的机械能守恒。
4机械能与其他形式的能的转化机械运动中的动能和势能之间的转换和守恒，是更普遍的能量转化和守恒的特殊情况。
当系统除重力和弹力做功外还有其他外力做功时，系统的机械能就不守恒。
这时，必然有机械能和其他形式的能之间的转化，但它们的机械能和其他形式的能的总和仍保持不变。
6. 判断机械能守恒的方法
判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：
1做功条件分析法应用系统机械能守恒的条件进行分析。
若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。
2能量转化分析法从能量转化的角度进行分析。
若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能（如没有内能增加），则系统的机械能守恒。
3增减情况分析法直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。
若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。
当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况（如系统的动能增加而势能减少）则无法做出定性的判断。
7. 应用机械能守恒定律解题的一般步骤及表达方式
应用机械能守恒定律解题的一般步骤是：
1选取系统对象，确定研究过程；
2进行受力分析，考察守恒条件；
3选取零势能平面，确定初、末态机械能；
4运用守恒定律，列出方程求解。
根据机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：
1从守恒的角度系统的初、末两状态机械能守恒，即
E2=E1；
2从转化的角度系统动能的增加等于势能的减少，即
△Ek=－△Ep；
3从转移的角度系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即△EA=－△EB。
8. 对“例题”的说明
本节教材的例题已知小球摆动的最大偏角，计算它的最大速度。
该题以小球为研究对象，在小球从最高点摆到最低点的过程中，应用机械能守恒定律求解。
在小球运动过程中，绳子的拉力在不断变化。
该题的求解显示，一些难以用牛顿运动定律解决的问题，应用机械能守恒定律则易于解决。
9. 对“思考与讨论”栏目问题的提示
一个小球在真空中自由下落，另一个同样的小球在粘滞性较大的液体中由静止开始下落，下落高度相同，重力做的功相等，重力势能的变化相等，而动能的变化不等。
前者减少的重力势能全部转化为动能，后者减少的重力势能一部分转化为动能，另一部分转化为内能。
发展级
10.关于机械能守恒定律的不同叙述
关于机械能守恒定律的叙述，各书不尽相同。
下面对几种不同的叙述稍作说明：
① “如果没有摩擦力和介质的阻力，在任一物体的势能与动能相互转化的过程中，物体的总的机械能保持不变”。
② “在只有重力和弹力做功的物体系统内，动能和势能（重力势能、弹性势能）可以相互转化，而总的机械能保持不变”。
③ “在只有重力做功的情况下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但总的机械能保持不变”。
④ “一个物体，如果只受到重力和弹力的作用，在发生动能和势能相互转化时，机械能的总量保持不变”。
比较上述四种叙述，可以看出，它们中间有以下一些主要问题：
第一，①④两种叙述中，只讲力或力的作用，而没有提及力做功；
第二，①的叙述中，只讲没有什么力，而没讲有什么力；
第三，③的叙述中，只提“只有重力做功”而未提及弹力做功，因而势能也只涉及重力势能而为涉及弹性势能。
①③的叙述不够全面是很明显的，这里不再多述。
下面就第一方面的问题作一分析。
我们知道，一个物体的机械能是否发生变化的充要条件，不是力的作用，而是力对它做功。
如果没有力对它做功，机械能的两种形式（动能和势能）是不可能发生相互转化的，它的机械能也不会发生变化。
所以，如果只讲受力作用，而不讲做功，是不能正确反映机械能守恒定律的实质的。
这里还应注意，“守恒”和“不变”是两个不同的概念。
“守恒”是指转化时的总量不变，而“不变”不仅指导下不变，还指形式也不变。
例如，圆锥摆（让用细线拴住的小球在水平面内做匀速圆周运动，就成了圆锥摆）在运动过程中，如果不计空气阻力，小球虽守重力、绳的拉力（弹力）作用，但这两个力都不做功，此时只能说其机械能“不变”，而不能说机械能“守恒”。
由此可见，上面四种叙述中②的说法是全面而正确的，这就是我们教科书中的说法。
11. 动能定理、功能原理与机械能守恒定律
教材中指出动能定理的内容是，合力所做的功等于物体动能的变化，这里所说的物体，实际上可以看作是质点。
对于两个以上相互作用的物体所构成的系统（即质点系），要考虑怎样在各个质点上的所有的力做功的总和。
我们可以把这个总和分为两部分：
一部分是一切外力所做的功的和，另一部分是一切内力所做的功的和。
在考虑内力作用的时候，应该注意作用力与反作用力总是大小相等且方向相反，所以质点系内力的矢量和为0，但作用力与反作用力的功却不一定是等值反号的。
例如，我们把汽车和车厢内装载的物体看成一个系统，当汽车紧急刹车时，物体在车厢内滑行一段位移。
在这个过程中，物体和车厢底板之间的一对摩擦力等值反号，但是这两个摩擦力所做的功虽然反号却不等值。
所以，由两个以上物体构成的系统的动能的变化应等于一切外力所做的功与一切内力所做的功的代数和，此即系统的动能定理。
用公式表示就是
。
由于内力包括保守力（做功与路径无关的力）与非保守力（做功与路径有关的力），上式可改写成
。
因为一切内保守力所做的功等于势能变化的负值，即
，
由此可得
，
即
。
上式表明系统的机械能的变化等于一切外力和一切非保守内力所做功的代数和，这就是功能原理。
在处理功和能的实际问题时，可以用动能定理，也可以用功能原理，得出的结论是一致的。
动能定理和功能原理的差别在于：
前者研究的是动能的变化，要考虑内保守力所做的功；后者研究的是机械能的变化，不考虑内保守力所做的功。
这是由于内保守力能引起动能的变化，却不会引起机械能的变化。
由功能原理可以看出，对于一个孤立系统，即与外界没有能量交换的系统，
。
这时，只有当
，即内非保守力不做功时，系统的机械能才是守恒的。
也就是说，一个物体系统，如果只有系统内部的保守力（如重力和弹力）做功，其他内力和外力都不做功，那么物体系统的动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。
12.应用机械能守恒定律与动能定理解题的异同
应用机械能守恒定律和应用动能定理解题有以下异同点：
1思想方法相同机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度，来研究物体在力的作用下状态的变化，表达这两个规律的方程都是标量式。
2适用条件不同机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理则没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功。
3分析思路不同用机械能守恒定律解题只有分析研究对象的初、末状态的动能和势能；而用动能定理解题，不但要分析研究对象的初、末状态的动能，还要分析所有外力（及内力）所做的功，并求出这些外力（及内力）所做的总功。
4书写方式不同在解题的书写表达上，机械能守恒定律的等号两边都是动能与势能的和；而用动能定理解题时，等号左边一定是外力（及内力）的总功，右边则是动能的变化。
5mgh、
的意义不同在机械能守恒定律中mgh、
分别是重力势能和弹性势能，出现在等号的两边，如果某一边没有，说明在那个状态的重力势能或弹性势能为0；在动能定理中分别是重力和弹力所做的功，写在等号的左边。
不管用什么规律，等号两边决不能既有重力或弹力做功，又有重力势能或弹性势能。
应用链接
本节知识的应用主要涉及机械能守恒条件的分析，对机械能守恒定律的理解，以及机械能守恒定律的分析和计算。
基础级
例1下列叙述中正确的是（）
A.做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B.做匀速直线运动的物体的机械能可能守恒
C.外力对物体做功为0，物体的机械能一定守恒
D.系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
提示系统机械能是否守恒，可根据机械能守恒的条件来判断。
解析做匀速直线运动的物体所受合力为0，重力以外的其它力的合力是重力的平衡力，只有当物体做水平方向的匀速直线运动时，这些力才对物体不做功，物体（严格地讲，应是物体与地球组成的系统，下同）的机械能才守恒。
当物体沿除水平直线以外的任意直线运动时，重力以外的其它力的合力对物体做功，物体的机械能不再守恒。
做匀速直线运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，如自由落体、竖直上抛、竖直下抛、平抛、斜抛等运动中，物体的机械能守恒；若重力以外的其它外力对物体做功的代数和不为0，则物体的机械能不守恒。
外力对物体做功为0时，有两种情况：
若重力不做功，则其它力对物体做功的代数和也必为0，此时物体的机械能守恒（如小球在水平面内做匀速圆周运动）；若重力做功，其它外力做功的代数和必不为0，此时机械能不守恒。
可见，正确选项为B、D。
点悟所谓只有重力和弹力做功，是指：
1物体只受系统内的重力和弹力，不受其它力；
2除了系统内的重力和弹力外，物体还受其它的力，但其它力不做功；
3除了系统内的重力和弹力外，物体还受其它的力，但其它力做功的代数和为0。
本题也可采用本节“理解领悟”7中的方法②③作出判断，请同学们试着进行分析。
例2如图5—48所示，一轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球，将小球从与O点在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力。
在小球由A点摆向最低点B的过程中（）
A.小球的重力势能减少B.小球的重力势能增大
C.小球的机械能不变D.小球的机械能减少
提示注意研究对象——系统的选取。
解析小球从A点释放后，在从A点向B点运动的过程中，小球的重力势能逐渐减少，动能逐渐增大，弹簧逐渐被拉长，弹性势能逐渐增大。
所以，小球减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能。
对物体、弹簧和地球组成的系统而言，机械能守恒；但对小球（还包括地球）而言，机械能减少。
正确选项为A、D。
点悟机械能守恒定律的研究对象是系统。
应用机械能守恒定律时，要注意对哪一系统机械能是守恒的，对哪一部分机械能是不守恒的。
例3以20m/s的速度将一物体竖直上抛，若忽略空气阻力，g取10m/s2，试求：
（1） 物体上升的最大高度；
（2） 以水平地面为参考平面，物体在上升过程中重力势能和动能相等的位置。
提示忽略空气阻力，物体在空中只受重力作用，只有重力做功，满足机械能守恒的条件。
解析
（1） 设物体上升的最大高度为H，在物体整个上升过程中应用机械能守恒定律，有
，
解得
m=20m。
（2） 设物体重力势能和动能相等的位置距地面的高度为h，此时物体的速度为v，则有
。
在物体被抛出到运动至该位置的过程中应用机械能守恒定律，有
。
由以上两式解得
m=10m。
点悟应用机械能守恒定律时，正确选取研究对象和研究过程，明确初、末状态的动能和势能，是解决问题的关键。
本题第（２）问也可在物体从重力势能与动能相等的位置运动至最高点的过程中应用机械能守恒定律，由
，
，
解得
m=10m。
例4如图5—49所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大?
提示铁链在运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。
解析这里提供两种解法。
解法一（利用E2=E1求解）：
设铁链单位长度的质量为ρ，且选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为参考平面，则铁链初态的机械能为
末态的机械能为
。
根据机械能守恒定律有 E2=E1，
即
，
解得铁链刚脱离滑轮时的速度
。
解法二（利用△Ek=－△Ep求解）：
如图5—50所示，铁链刚离开滑轮时，相当于原来的BB’部分移到了AA’的位置。
重力势能的减少量
，
动能的增加量
。
根据机械能守恒定律有 △Ek=－△Ep，
即
，
解得铁链刚脱离滑轮时的速度
。
点悟对于绳索、链条之类的物体，由于发生形变，其重心位置相对物体来说并不是固定不变的，能否确定重心的位置，常是解决该类问题的关键。
可以采用分段法求出每段的重力势能，然后求和即为整体的重力势能；也可采用等效法求出重力势能的改变量。
再有，利用△Ek=－△Ep列方程时，不需要选取参考平面，且便于分析计算。
发展级
例5如图5—51所示，跨过同一高度处的光滑轻小定滑轮的细线连接着质量相同的物体A和B，A套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h=0.2m，开始时让连接A的细线与水平杆的夹角θ=53°。
由静止释放A，在以后的运动过程中，A所能获得的最大速度为多少？
（sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s2，且B不会与水平杆相碰。
）
提示物体A受到细线的拉力方向一直在背后，所以物体A受到的力是变力，很难用牛顿运动定律和运动学公式求解。
但由于物体A和B以及地球组成的系统内只有重力做功，所以系统的机械能守恒。
在物体A被拉至左侧定滑轮的正下方之前，细线的拉力使其加速；在物体A被拉至左侧定滑轮的正下方之后，细线的拉力使其减速。
可见，物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时，其速度最大。
解析物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时获得最大速度，此时物体B的瞬时速度为0。
以物体A所在水平面为参考平面，在从物体A刚被释放到物体A运动至左侧定滑轮正下方的过程中，对系统应用机械能守恒定律，有
，
解得A所能获得的最大速度为
m/s=1m/s。
点悟求解本题的关键是正确选取研究对象，而且要能判断出获得最大速度时所处的位置。
分析时还可从系统何时具有最小重力势能着手，即只有当物体A被拉至左侧定滑轮的正下方时，物体B的位置最低，此时系统有最小重力势能，也就有最大动能，又此时物体B的瞬时速度为0，故物体A具有最大动能，则具有最大速度。
例6如图5—52所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与水平地面垂直，顶上有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。
开始时，将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，所有摩擦均忽略不计。
当A沿斜面下滑距离s后，细线突然断了。
求物块B上升的最大高度H。
（设B不会与定滑轮相碰）
提示注意分阶段选取不同的系统为研究对象。
解析设细线断裂前一瞬间A和B速度的大小为v，A沿斜面下滑s的过程中，A的高度降低了ssinθ，B的高度升高了s。
对A和B以及地球组成的系统，机械能守恒，有物块A机械能的减少量等于物块B机械能的增加量，即
。
细线断后，物块B做竖直上抛运动，物块B与地球组成的系统机械能守恒，设物块B继续上升的高度为h，有
。
由以上两式联立解得
，
故物块B上升的最大高度为
。
点悟在细线断裂之前，A和B以及地球组成的系统机械能守恒。
两个物体用同一根细线跨过定滑轮相连由于细线不可伸长，两个物体速度的大小总是相等的。
细线断裂后，B做竖直上抛运动，由于只有重力做功，B与地球组成的系统机械能守恒。
在处理实际问题时，要根据问题的特点和求解的需要，选取不同的研究对象和运动过程进行分析。
课本习题解读
[p.25问题与练习]
1.
（1） 小球在从A点下落到B点的过程中，根据动能定理，有
，
即小球在B点的动能比在A点时大
。
（2） 把以上方程变形，可得
。
等式左边表示物体在B点时的机械能，等式右边表示物体在A点时的机械能。
等式表示小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒。
2.A.飞船升空的阶段，动力对飞船做功，返回舱的机械能增加。
B.飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力对飞船做功，返回舱的机械能守恒。
C.飞船在空中减速后，返回舱与轨道舱分离，然后在大气层以外向着地球做无动力飞行的过程中，只有引力做功，返回舱的机械能守恒。
D.进入大气层并运动一段时间后，降落伞张开，返回舱下降的过程中，空气阻力做功，返回舱的机械能减少。
3.
（1） 石块从抛出到落地的过程中，只有重力做功，机械能守恒。
以水平地面为参考平面，根据机械能守恒定律，有
，
解得石块落地时的速度大小为
m/s=15m/s。
根据动能定理，有
，
同样可解得石块落地时的速度大小为
m/s=15m/s。
（2） 由可知，石块落地时速度的大小与石块初速度的大小和石块抛出时的高度有关，与石块的质量和石块初速度的仰角无关。
4.根据题意，切断电动机电源的列车，假定在运动中机械能守恒，要“冲”到站台上，列车在坡下A点时的动能Ek至少要等于在站台上的重力势能Ep。
列车在站台上的重力势能 Ep=mgh=m×10×2m2/s2=20m m2/s2，
列车在坡下A点时的动能
Ek
m2/s2=24.5m m2/s2。
可见，Ek＞Ep，列车能“冲”到站台上。
设列车到达站台上的速度为v’，根据机械能守恒定律，有
，
解得
m/s=3m/s。
5.
（1） 从状态甲到状态丙的过程中，弹簧的弹性势能逐渐减少，小球的动能和重力势能逐渐增大。
当弹簧对小球向上的弹力与重力大小相等时，小球的动能达到最大。
之后，弹簧的弹性势能和小球的动能逐渐减少，小球的重力势能逐渐增大。
当弹簧恢复到自然长度时，弹簧的弹性势能为０。
之后，小球的重力势能仍占据增大，动能逐渐减少。
到达C点时，小球的动能减少到０，重力势能达到最大。
从状态甲到状态丙的过程中，弹簧、小球和地球组成的系统机械能守恒，故在状态甲中弹簧的弹性势能
J=0.6J。
（2） 从状态乙到状态丙的过程中，小球的动能逐渐减少，重力势能逐渐增大。
从状态乙到状态丙的过程中，小球和地球组成的系统机械能守恒，故在状态乙中小球的动能
J=0.4J。
练习巩固（5—8）
基础级
1.物体在下列运动中机械能一定守恒的是（0
A.自由落体运动B.在竖直方向上做匀加速直线运动
C.在竖直方向上做匀速直线运动D.在水平方向上做匀加速直线运动
2.质量为m的小球从桌面等高处竖直上抛，桌面离地面的高度为h，小球能达到的最大高度离地面为H。
若以桌面为参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为（）
A.mgHB.mghC.mg（H+h） D.mg（H－h）
3.两个物体的质量之比为1︰3，它们距地面的高度之比也为1︰3。
让它们自由落下，则它们落地时的动能之比为（）
A.1︰3B.3︰1 C.1︰9D.9︰1
4.一个人站在高处地面h处，抛出一个质量为m的物体，物体落地时速率为v，空气阻力不计，则人对物体所做的功为（）
A.mgh B.
C.
D.
5.从离地高H处的A点水平抛出一质量为m的物体，抛出的初速度为v0，物体下落到离抛出点竖直距离为h的B点，如图5—53所示。
试用动能定理推证物体在B点的机械能等于在A点的机械能。
6.如图5—54所示，翻滚过山车轨道顶端A点距地面的高度H=72m，圆形轨道最高处的B点距地面的高度h=37m。
不计摩擦阻力，试计算翻滚过山车从A点由静止开始下滑运动到B点时的速度。
（g取10m/s2）
7.如图5—55所示，均匀铁链长为L，平放在距地面为h=2
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