全国版版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案05092111.docx

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全国版版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算学案05092111

第1讲　集合的概念与运算

板块一　知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1　集合与元素

1．集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

2．元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

3．集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

4．常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

考点2　集合间的基本关系

表示

关系　　

文字语言

符号语言

相等

集合A与集合B中的所有元素相同

A⊆B且B⊆A⇔A＝B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

AB或BA

空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

∅⊆A∅B（B≠∅）

考点3　集合的基本运算

[必会结论]

1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3．A∩（∁UA）＝∅；A∪（∁UA）＝U；∁U（∁UA）＝A.

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）集合{x|y＝

}与集合{y|y＝

}是同一个集合．（　　）

（2）已知集合A＝{x|mx＝1}，B＝{1,2}，且A⊆B，则实数m＝1或m＝

.（　　）

（3）M＝{x|x≤1}，N＝{x|x>ρ}，要使M∩N＝∅，则ρ所满足的条件是ρ≥1.（　　）

（4）若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中有4个元素．（　　）

（5）若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×　（5）×

2．[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}

C．{x|－1＜x＜1}D．{x|1＜x＜3}

答案　A

解析　∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.

3．[课本改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0

A．[－1,4]B．（0,3]

C．（－1,0]∪（1,4]D．[－1,0]∪（1,4]

答案　A

解析　A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，故A∪B＝[－1,4]．选A.

4．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则（　　）

A．A∩B＝{x|x<0}B．A∪B＝R

C．A∪B＝{x|x>1}D．A∩B＝∅

答案　A

解析　∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．

又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．

故选A.

5．[2018·重庆模拟]已知集合A＝{x∈N|πx<16}，B＝{x|x2－5x＋4<0}，则A∩（∁RB）的真子集的个数为（　　）

A．1B．3

C．4D．7

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|πx<16}＝{0,1,2}，B＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1

板块二　典例探究·考向突破

考向

　集合的基本概念

例1　

（1）[2017·郑州模拟]已知集合A＝{x|y＝

，x∈Z}，B＝{p－q|p∈A，q∈A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．1B．3

C．5D．7

答案　C

解析　由题意知A＝{－1,0,1}，当p＝－1，q＝－1，0,1时，p－q＝0，－1，－2；当p＝0，q＝－1,0,1时，p－q＝1,0，－1；当p＝1，q＝－1,0,1时，p－q＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，集合B中的元素为－2，－1，0,1,2，共计5个，选C.

（2）已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________.

答案　－1

解析　由A∩B＝{－3}知，－3∈B.

又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.

①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，A∩B＝{1，－3}．故a＝0舍去．

②当a－2＝－3时，a＝－1，

此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，

满足A∩B＝{－3}，故a＝－1.

触类旁通

解决集合概念问题的一般思路

（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例

（1）集合B中的代表元素为实数p－q.

（2）要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．

【变式训练1】　

（1）[2018·昆明模拟]若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝

∈N*，y∈N*，则A∩B中元素的个数为________．

答案　3

解析　解不等式x2－9x<0可得0

∈N*，y∈N*，所以y可以为1,2,4，所以B＝{1,2,4}，所以A∩B＝B，A∩B中元素的个数为3.

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案　－

解析　因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

此时当m＝－

时，m＋2＝

≠3符合题意．

所以m＝－

.

考向

　集合间的基本关系

例　2　已知集合A＝{x|x<－3或x>7}，B＝{x|x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

答案　（－∞，－1]

解析　由题意知2m－1≤－3，m≤－1，∴m的取值范围是（－∞，－1]．

　本例中的B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，其余不变，该如何求解？

解　当B＝∅时，有m＋1>2m－1，则m<2.

当B≠∅时，

或

解得m>6.综上可知m的取值范围是（－∞，2）∪（6，＋∞）．

　本例中的A改为A＝{x|－3≤x≤7}，B改为B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又该如何求解？

解　当B＝∅时，满足B⊆A，此时有m＋1>2m－1，即m<2；当B≠∅时，要使B⊆A，则有

解得2≤m≤4.

综上可知m的取值范围是（－∞，4]．

触类旁通

根据两集合的关系求参数的方法

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

【变式训练2】　设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．

（1）若a＝

，试判定集合A与B的关系；

（2）若BA，求实数a组成的集合C.

解　

（1）由x2－8x＋15＝0，

得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．

若a＝

，由ax－1＝0，得

x－1＝0，即x＝5.

∴B＝{5}．∴BA.

（2）∵A＝{3,5}，又BA，

故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；

若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝

.

∴

＝3或

＝5，即a＝

或a＝

.

故C＝

.

考向

　集合的基本运算

命题角度1　集合的交集及运算

例　3　[2017·山东高考]设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝（　　）

A．（－1,1）B．（－1,2）

C．（0,2）D．（1,2）

答案　C

解析　∵M＝{x|0

∴M∩N＝{x|0

故选C.

命题角度2　集合的并集及运算

例　4　[2018·武汉模拟]设全集U＝R，集合A＝{x|2x－x2>0}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B等于（　　）

A．{x|x<2}B．{x|1

C．{x|x>1}D．{x|x>0}

答案　D

解析　由2x－x2>0得01，故B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>0}．故选D.

命题角度3　集合的补集及运算

例　5　[2016·浙江高考]已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪（∁RQ）＝（　　）

A．[2,3]

B．（－2,3]

C．[1,2）

D．（－∞，－2]∪[1，＋∞）

答案　B

解析　∵Q＝（－∞，－2]∪[2，＋∞），∴∁RQ＝（－2,2），∴P∪（∁RQ）＝（－2,3]．故选B.

命题角度4　抽象集合的运算

例　6　[2018·唐山统一测试]若全集U＝R，集合A＝

≤0，B＝{x|2x<1}，则下图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．{x|2

C．{x|0≤x<6}D．{x|1≤x≤6}

答案　C

解析　A＝{x|－1≤x<6}，B＝{x|x<0}，A∩（∁UB）＝{x|0≤x<6}．选C项．

触类旁通

集合的基本运算的关注点

（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．

（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．

核心规律

解决集合问题，要正确理解有关集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性，采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：

（1）若给定的集合是不等式的解集，用数轴来解；

（2）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；

（3）若给定的集合是抽象集合，用Venn图求解．

满分策略

1.元素的属性：

描述法表示集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）是正确求解集合问题的先决条件．

2.元素的互异性：

在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．

3.空集的特殊性：

在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，要先考虑∅是否成立，以防漏解.

板块三　启智培优·破译高考

创新交汇系列1——集合中的创新性问题

[2018·吉林模拟]设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：

{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.

（1）若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为________；

（2）已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是________．

解题视点　考查新定义问题，关键是正确理解题目中的新定义，利用集合间的关系及运算解决问题．

解析　

（1）由已知得，∁UM＝{1,4,5}，

则∁UM表示的6位字符串为100110.

（2）由题意可知A∪B＝{1,3,6}，

而A＝{1,3}，B⊆U，

则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.

答案　

（1）100110　

（2）4

答题启示　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

1紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；2用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

跟踪训练

设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A＝{1,2,3,4,5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（　　）

A．10个B．11个

C．12个D．13个

答案　D

解析　“孤立元”是1的集合：

{1}，{1,3,4}，{1,4,5}，{1,3,4,5}．

“孤立元”是2的集合：

{2}，{2,4,5}．

“孤立元”是3的集合：

{3}．

“孤立元”是4的集合：

{4}，{1,2,4}．

“孤立元”是5的集合：

{5}，{1,2,5}，{2,3,5}，{1,2,3,5}．共有13个．故选D.

板块四　模拟演练·提能增分

[A级　基础达标]

1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（　　）

A．{1，－3}B．{1,0}

C．{1,3}D．{1,5}

答案　C

解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）

A．M＝NB．M⊆N

C．N⊆MD．M∩N＝∅

答案　C

解析　M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝[0,1]，所以N⊆M.故选C.

3．[2017·山东高考]设函数y＝

的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（　　）

A．（1,2）B．（1,2]

C．（－2,1）D．[－2,1）

答案　D

解析　∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]．

∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝（－∞，1），∴A∩B＝[－2,1）．

故选D.

4．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）B．[2，＋∞）

C．[－2,2]D．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

答案　D

解析　因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D.

5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3B．2

C．1D．0

答案　B

解析　集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．

由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.

6．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2

C．3D．4

答案　D

解析　集合B＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A＝{1,2}，则集合C的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即22＝4.

7.[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝

≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{1,2}B．{0,1,2}

C．{x|0≤x<3}D．{x|0≤x≤3}

答案　B

解析　题图中阴影部分表示的是A∩B，因为A＝

≤0}＝

}＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故选B.

8．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

答案　（－1，＋∞）

解析　因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

9．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝

，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n），可知m<1，

则B＝{x|m

10．设m，n∈R，集合{1，m，m＋n}＝

，则m－n＝________.

答案　－2

解析　∵{1，m，m＋n}＝

且m≠0，

∴m＋n＝0,即m＝－n，于是

＝－1.

∴由两集合相等，得m＝－1，n＝1，∴m－n＝－2.

[B级　知能提升]

1．已知集合A＝

y＝

x，x∈R}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是（　　）

A．A∩B＝{－2，－1}B．（∁RA）∪B＝（－∞，0）

C．A∪B＝（0，＋∞）D．（∁RA）∩B＝{－2，－1}

答案　D

解析　因为A＝（0，＋∞），所以A∩B＝{1,2}，（∁RA）∪B＝{y|y≤0或y＝1,2}，A∪B＝{y|y>0或y＝－1，－2}，（∁RA）∩B＝{－1，－2}．所以D正确．

2．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（　　）

A．（－∞，2）B．（－∞，2]

C．（2，＋∞）D．[2，＋∞）

答案　B

解析　集合A讨论后利用数轴可知

或

解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B.

3．已知数集A＝{a1，a2，…，an}（1≤a1

对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与

两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（　　）

A．{1,3,4}为“权集”B．{1,2,3,6}为“权集”

C．“权集”中元素可以有0D．“权集”中一定有元素1

答案　B

解析　由于3×4与

均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，

，

，

，

，

，

都属于数集{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可知

需有意义，故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误．

4．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.

解　

（1）因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．

又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.

（2）不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，

所以2x2＋3x－5≤0，

所以－

≤x≤1，

所以P＝

－

≤x≤1}，

所以P∩Z＝

－

≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．

5．[2018·南宁段考]已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

（1）若a＝3，求（∁RP）∩Q；

（2）若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．

解　

（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，

∁RP＝{x|x<4或x>7}．

又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以（∁RP）∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．

（2）当P≠∅时，由P∪Q＝Q得P⊆Q，

所以

解得0≤a≤2；

当P＝∅，即2a＋1

综上，实数a的取值范围是（－∞，2]．