数学建模作业Word文件下载.docx
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53"
59"
1′02"
名队员4种泳姿的百米平均成绩
解:
（1）.设cij（秒）为队员i第j种泳姿的百米成绩，转化为0—1规划模型
若参选择队员i加泳姿j的比赛，记xij=1,否则记xij=0
目标函数:
即min=*x11+*x12+87*x13+*x14+*x21+66*x22+*x23+53*x24+78*x31+*x32+*x33+*x34+70*x41+*x42+*x43+*x44+*x51+71*x52+*x53+*x54;
约束条件:
x11+x12+x13+x14<
=1;
x21+x22+x23+x24<
x31+x32+x33+x34<
x41+x42+x43+x44<
x51+x52+x53+x54<
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+x53=1;
x14+x24+x34+x44+x54=1;
lingo模型程序和运行结果
因此，最优解为x14=1,x21=1,x32=1,x43=1,其余变量为0
成绩为（秒）=4′13"
2
即：
甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.
（2）.若丁的蛙泳成绩退步为1′15"
2=（秒），戊的自由泳成绩进步为57"
5=（秒），则
目标函数：
min=*x11+*x12+87*x13+*x14+*x21+66*x22+*x23+53*x24+78*x31+*x32+*x33+*x34+70*x41+*x42+*x43+*x44+*x51+71*x52+*x53+*x54;
约束条件：
x11+x12+x13+x14<
x14+x24+x34+x44+x54=1
因此，最优解为x21=1,x32=1,x43=1,x54=1,其余变量为0;
成绩为（秒）=4′17"
7,新方案:
乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳。
2.某工厂用A1，A2两台机床加工B1，B2，B3三种不同零件，已知在一个生产周期内A1只能工作80机时，A2只能工作100机时。
一个生产周期内加工B1为70件，B2为50件，B3为20件。
两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示
加工每个零件时间表（单位:
机时/个）
机床零件
B1
B2
B3
A1
1
3
A2
加工每个零件成本表（单位：
元/个）
5
问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？
解：
设在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x1、x2、x3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为x4、x5、x6,可建立以下线性规划模型：
min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6
x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数
x1+2*x2+3*x3<
=80
x1+x2+3*x3<
=100
x1+x4=70
x2+x5=50
x3+x6=20
最优解为x1=70,x2=0,x3=3,x4=0,x5=50,x6=17;
最低成本价为407元。
在A1机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为70、0、3，在A2机床上加工零件B1、B2、B3的数量分别为0、50、17。
3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：
（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益（%）
A
市政
9
B
代办机构
15
C
政府
D
E
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资?
（2）如果能够以%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作?
（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为%，投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为%，投资应否改变?
设投资证劵A、证劵B、证劵C、证劵D、证劵E的金额分别为：
X1、X2、X3、X4、X5（百万元），投资之后获得的总收益为Y百万元。
（1）.建立如下的线性规划模型：
max
Y=*X1+**X2+**X3+**X4+*X5
X2+X3+X4>
=4
X1+X2+X3+X4+X5<
=10
（2*X1+2*X2+X3+X4+5*X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<
=
（9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5）/（X1+X2+X3+X4+X5）<
=5
整理化简可得：
MaxY=*X1+*X2+*X3+*X4+*X5；
X2+X3+X4>
=4；
X1+X2+X3+X4+X5<
=10；
6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<
=0；
4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<
因此，最优解为Y=，X1=，X3=，X5=
最优解方案不投资证劵B和证劵D，投资证劵A为万元，投资证劵C为万元，投资证劵E为万元;
总收益为万元。
（2）.由问题
（1）得:
投资金额每增加100万元，收益可增加万元，而借贷100万元所要支付的利息是万元，比万元少，因此应该借贷这100万元去投资。
目标函数仍为：
MaxY=*X1+*X2+*X3+*X4+*X5；
=11；
因此，最优解为:
X1=,X3=,X5=,Y=;
即应投资证劵A240万元，证劵C810万元，证劵E50万元。
此时收益总额为万元，再减去所要支付的利息万元，还剩万元，比问题
（1）中的收益总额万元还要多，这也证明了借贷100万元来投资是明智的。
（3）.问题
（1）的灵敏度分析可得下图：
则在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围：
X1的系数为（，+），即（，）；
X3的系数为（，+），即（，）；
当证劵A的税前收益增加为%时，其在目标函数中的系数为，在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内，因此投资方案不应该改变。
当证劵C的税前收益减少为%时，其在目标函数中的系数为，不在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内，因此只有改变投资方案，才能使银行经理获得最大收益值。
4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。
班次
时间
最少护士
6时—10时
60
10时—14时
70
14时—18时
18时—22时
50
22时—02时
20
02时—06时
30
每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？
设在i班刚加入工作的人数分别为x1、x2、x3、x4、x5、x6；
目标函数为：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;
x1+x2>
=70
x2+x3>
=60
x3+x4>
=50
x4+x5>
=20
x5+x6>
=30
x6+x1>
因此，最优解为：
x1=60、x2=10、x3=50、x4=0、x5=30、x6=0；
最少需要护士150人。
5．某海岛上有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：
km）和居住的人数R如表下表所示，现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建在何处？
居民点
7
10
11
12
x
y
R
600
1000
800
1400
1200
700
1100
设第i个居民点的位置（
，
），居住的人数为
，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;
设服务中心的位置为（a，b）,无约束条件；
服务中心应该让所有的人都方便，因此目标函数为
min=
因此，服务中心应该建的位置是（，）第十一个小岛。
6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40台、60台、80台。
每季度的生产费用为
（元），其中x是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c元。
已知工厂每季度最大生产能力为100台，第一季度开始无存货，设a=50，b=，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？
讨论a、b、c、变化对计划的影响，并作出合理的解释。
（1）.设工厂第一季度生产x1台发动机，第二季度生产x2台发动机，第三季度生产x3台发动机。
50*x1+*x1^2+50*x2+*x2^2+50*x3+*x3^2+4*（x1-40）+4*（x1+x2-100）;
x1,x2,x3均为整数
x1<
=100;
x2<
x3<
x1>
=40;
x1+x2+x3>
=180;
x1=50,x2=60,x3=70;
工厂第一季度生产50台发动机，第二季度生产60台发动机，第三季度生产70台发动机。
可使总费用最低，总费用为元。
7.广告费用与效应。
某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。
一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。
手机与预期销售量
售价（元）
预期销售量（桶）
41000
38000
34000
32000
29000
28000
25000
22000
20000
为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。
投入一定的公告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。
例如，投入40000元的广告费，销售增长因子为，即销售将是预期量的倍。
根据经验，广告费与销售增长因子的关系见下表。
广告与销售增长因子
广告费（元）
销售增长因子
10000
30000
40000
50000
60000
70000
设售货单价为x（元），预期销售量为y（桶），广告费为z（元），销售增长因子为k。
投入广告后实际销售量为s（桶），获得的利润为P（元）。
分析：
预期销售量y随售价x的增加而减小，可近似用线性关系表示
y=a0+a1x
（1）
其中，a0和a1是待定常数。
销售增长因子k随广告费用z先增后减，可用二次方程表示
k=b0+b1z+b2z2
（2）
其中，b0，b1和b2也是待定常数。
待定常数可根据表中数据拟合。
投入广告费之后，实际销售量为
s=ky（3）
利润是收入减支出，收入是售货单价x乘以销售量s；
支出包括成本和广告费，成本是进货单价2乘以销售量s。
因此利润为
P=sx–2s-z=ky（x–2）-z=（b0+b1z+b2z2）（a0+a1x）（x–2）-z（4）
这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。
先计算常数，画出拟合曲线。
再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。
画出利润曲面，标记最大值。
程序如下：
clear
x=2:
:
6;
y=[41,38,34,32,29,28,25,22,20]*1000;
z=（0:
7）*1e4;
k=[1,,,,,2,,];
figure
subplot（2,1,1）
plot（x,y,'
rx'
）
gridon
fs=12;
title（'
预期销售量和售价的拟合线'
'
fontsize'
fs）
xlabel（'
售价（元）'
fs）
ylabel（'
预期销售量（桶）'
a=polyfit（x,y,1）
xx=2:
yy=polyval（a,xx）;
holdon
plot（xx,yy）
legend（'
经验值'
拟合线'
subplot（2,1,2）
plot（z,k,'
销售增长因子和广告费的拟合曲线'
广告费（元）'
销售增长因子'
b=polyfit（z,k,2）
zz=（0:
kk=polyval（b,zz）;
plot（zz,kk）
2）
[X,Z]=meshgrid（xx,zz）;
K=polyval（b,Z）;
Y=polyval（a,X）;
P=K.*Y.*（X-2）-Z;
[mi,i]=max（P）;
[m,j]=max（mi）
xm=xx（j）
zm=zz（i（j））
km=polyval（b,zm）
stem（zm,km,'
--'
text（zm,km,[num2str（zm）,'
num2str（km）],'
ym=polyval（a,xm）
stem（xm,ym,'
text（xm,ym,[num2str（xm）,'
num2str（ym）],'
sm=km*ym;
text（2,2e4,['
最大利润的实际销售量:
'
num2str（sm）],'
fe'
surf（xx,zz,P）
shadinginterp
boxon
利润与售价和广告费曲面'
zlabel（'
利润（元）'
text（xm,zm,m,[num2str（xm）,'
num2str（zm）,'
num2str（m）],'
运行结果：
（1）.如第一个图所示，预期销售量随售价增加几乎线性减小，当利润最大时，售价应该为元，预期销售量为20084桶，由于广告效应，实际销售量达到38300桶。
如M2_3a之下图所示，销售增长因子随广告费先增后减，当利润最大时，广告费约为33100元，销售增长因子达到。
（2）.如第二个图所示，当售价比较小的时候，利润随广告费增加而减少；
当售价比较大的时候，利润随广告费增加而先增后减，最大利润大约为116655元。
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