三年高考数学理真题分类解析专题11解三角形.docx
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三年高考数学理真题分类解析专题11解三角形
专题11解三角形
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题
掌握
2017山东,9;2017浙江,14;
2017天津,15;2017北京,15;
2016课标全国Ⅱ,13;
2016天津,3;2015天津,13
选择题
填空题
★★★
2.正、余弦定理的应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
掌握
2017课标全国Ⅱ,17;
2017课标全国Ⅲ,17;2017江苏,18;
2016课标全国Ⅲ,8;
2016山东,16;2016浙江,16;
2015湖北,13
解答题
★★★
分析解读
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.
2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.
2018年高考全景展示
1．【2018年理数全国卷II】在
中，
，
，
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：
先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.
详解：
因为
所以
，选A.
点睛：
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
2．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=
，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．
【答案】
3
点睛：
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
3．【2018年全国卷Ⅲ理】
的内角
的对边分别为
，
，，若
的面积为
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】分析：
利用面积公式
和余弦定理
进行计算可得。
详解：
由题可知
，所以
，由余弦定理
，所以
，
，
，故选C.
点睛：
本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
4．【2018年江苏卷】在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点D，且
，则
的最小值为________．
【答案】9
【解析】分析：
先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：
由题意可知，
由角平分线性质和三角形面积公式得
，化简得
，因此
当且仅当
时取等号，则
的最小值为
.
点睛：
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
5．【2018年理数天津卷】在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和
的值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
，
.
【解析】分析：
（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得
，则B=
．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=
．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：
（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理
，可得
，又由
，得
，即
，可得
．又因为
，可得B=
．
点睛：
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
6．【2018年理北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–
．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】
（1）∠A=
（2）AC边上的高为
【解析】分析：
（1）先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA，即得∠A；
（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程
，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求
，解得AC边上的高．
详解：
解：
（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–
，∴B∈（
，π），∴sinB=
．由正弦定理得
=
，∴sinA=
．∵B∈（
，π），∴A∈（0，
），∴∠A=
．
（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=
=
．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=
，∴h=
=
，∴AC边上的高为
．
点睛：
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
7．【2018年理新课标I卷】在平面四边形
中，
，
，
，
.
（1）求
；
（2）若
，求
.
【答案】
（1）
.
（2）
.
【解析】分析：
（1）根据正弦定理可以得到
，根据题设条件，求得
，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得
；
（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得
，之后在
中，用余弦定理得到
所满足的关系，从而求得结果.
详解：
（1）在
中，由正弦定理得
.由题设知，
，所以
.
由题设知，
，所以
.
（2）由题设及
（1）知，
.在
中，由余弦定理得
.所以
.
点睛：
该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
2017年高考全景展示
1.【2017山东，理9】在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
．若
为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】试题分析：
所以
，选A.
【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有
，
，
的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
2.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】
试题分析：
取BC中点E，DC中点F，由题意：
，
△ABE中，
，
，
．
又
，
，
综上可得，△BCD面积为
，
．
【考点】解三角形
【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
3.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
【解析】
试题分析：
（1）由三角形面积公式建立等式
，再利用正弦定理将边化成角，从而得出
的值；
（2）由
和
计算出
，从而求出角
，根据题设和余弦定理可以求出
和
的值，从而求出
的周长为
.
试题解析：
（1）由题设得
，即
.
由正弦定理得
.
故
.
【考点】三角函数及其变换.
【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：
全部转化为角的关系，建立函数关系式，如
，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
4.【2017课标II，理17】
的内角
所对的边分别为
，已知
，
（1）求
；
（2）若
，
的面积为
，求
。
【答案】
（1）
；
（2）
。
【解析】
试题分析：
利用三角形内角和定理可知
，再利用诱导公式化简
，利用降幂公式化简
，结合
求出
；利用
（1）中结论
，利用勾股定理和面积公式求出
，从而求出
。
试题解析：
（1）由题设及
，
，故
。
上式两边平方，整理得
，
解得
（舍去），
。
（2）由
得
，故
。
又
，则
。
由余弦定理及
得：
所以b=2。
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式。
【名师点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意
三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎。
5.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知
，a=2
b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD
AC,求△ABD的面积.
【答案】
（1）
；
（2）
【解析】
试题分析：
（1）由题意首先求得
，然后利用余弦定理列方程，边长取方程的正实数根可得
；
（2）利用题意首先求得△ABD面积与△ACD面积的比值，然后结合△ABC的面积可求得△ABD的面积为
.
试题解析：
（1）由已知得
，所以
.
在△ABC中，由余弦定理得
，即
.
解得：
（舍去），
.
【考点】余弦定理解三角形；三角形的面积公式
【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
6.【2017北京，理15】在△ABC中，
=60°，c=
a.
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据正弦定理
求
的值；（Ⅱ）根据条件可知
根据（Ⅰ）的结果求
，再利用
求解，最后利用三角形的面积
.
试题解析：
解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为
，
，
所以由正弦定理得
.
（Ⅱ）因为
，所以
.
由余弦定理
得
，
解得
或
（舍）.
所以△ABC的面积
.
【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.
【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式
7.【2017天津，理15】在
中，内角
所对的边分别为
.已知
，
，
.
（Ⅰ）求
和
的值；
（Ⅱ）求
的值.
【答案】
（1）
.
（2）
【解析】试题分析：
利用正弦定理“角转边”得出边的关系
，再根据余弦定理求出
，
进而得到
，由
转化为
，求出
，进而求出
，从而求出
的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：
（Ⅰ）在
中，因为
，故由
，可得
.由已知及余弦定理，有
，所以
.
由正弦定理
得
.
所以，
的值为
，
的值为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及
，得
，所以
，
.故
.
考点：
正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标3理数】在
中，
，
边上的高等于
则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
试题分析：
设
边上的高线为
，则
，所以
，
．由余弦定理，知
，故选C．
考点：
余弦定理．
【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．
2.【2016高考天津理数】在△ABC中，若
BC=3，
则AC=（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
【答案】A
【解析】
试题分析：
由余弦定理得
选A.
考点：
余弦定理
【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．
2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．
3.【2016高考江苏卷】在锐角三角形
中，若
，则
的最小值是.
【答案】8.
【解析】
，因此
，即最小值为8.
考点：
三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形
中恒有
，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识
4.【2016高考新课标2理数】
的内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
．
【答案】
考点：
三角函数和差公式，正弦定理.
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
5.【2016年高考北京理数】（本小题13分）
在
ABC中，
.
（1）求
的大小；
（2）求
的最大值.
【答案】
（1）
；
（2）
.
【解析】
试题分析：
（1）根据余弦定理公式求出
的值，进而根据
的取值范围求
的大小；
（2）由辅助角公式对
进行化简变形，进而根据
的取值范围求其最大值.
试题解析：
（1）由余弦定理及题设得
，
又∵
，∴
；
（2）由
（1）知
，
，因为
，所以当
时，
取得最大值
.
考点：
1.三角恒等变形；2.余弦定理.
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：
化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．
6.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
（I）求C；
（II）若
的面积为
求
的周长．
【答案】（I）
（II）
【解析】
试题分析：
（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得
故
；（II）根据
．及
得
．再利用余弦定理得
．再根据
可得
的周长为
．
（II）由已知,
．
又
所以
．
由已知及余弦定理得,
．
故
从而
．
所以
的周长为
．
考点：
正弦定理、余弦定理及三角形面积公式
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,
就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”
7.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：
a+b=2c;
（Ⅱ）求cosC的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；
（Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值.
试题解析：
由题意知
，
化简得
，
即
.
因为
所以
.
从而
.
由正弦定理得
.
由
知
所以
，
当且仅当
时，等号成立.
故
的最小值为
.
考点：
1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理、余弦定理；3.基本不等式.
【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
8.【2016高考江苏卷】（本小题满分14分）
在
中，AC=6，
（1）求AB的长；
（2）求
的值.
【答案】
（1）
（2）
【解析】
试题分析：
（1）利用同角三角函数关系求
再利用正弦定理求
（2）利用诱导公式及两角和余弦公式分别求
，最后根据两角差余弦公式求
，注意开方时正负取舍.
试题解析：
解
（1）因为
所以
由正弦定理知
，所以
（2）在三角形ABC中
，所以
于是
又
，故
因为
，所以
因此
考点：
同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
9.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acosB.
（I）证明：
A=2B；
（II）若△ABC的面积
，求角A的大小.
【答案】（I）证明见解析；（II）
或
．
试题分析：
（I）先由正弦定理可得
，进而由两角和的正弦公式可得
，再判断
的取值范围，进而可证
；（II）先由三角形的面积公式可得
，进而由二倍角公式可得
，再利用三角形的内角和可得角
的大小．
试题解析：
（I）由正弦定理得
，
故
，
于是
．
又
，
，故
，所以
或
，
因此
（舍去）或
，
所以，
．
考点：
1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式．
【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有
，
的式子，根据角的范围可证
；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有
，
的式子，再利用三角形的内角和可得角
的大小．
10.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
.
（I）证明：
；
（II）若
，求
.
【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）已知条件式中有边有角，利用正弦定理，将边角进行转化（本小题是将边转化为角），结合诱导公式进行证明；（Ⅱ）从已知式可以看出首先利用余弦定理解出cosA=
，再根据平方关系解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，解出tanB的值.
（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=
bc，根据余弦定理，有
cosA=
=
．
所以sinA=
=
．
由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，
所以
sinB=
cosB+
sinB，
故
．
考点：
正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为
这个结论，否则难以得出结论．
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