高中数学竞赛平面几何讲座第二讲巧添辅助妙解竞赛题.docx

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高中数学竞赛平面几何讲座第二讲巧添辅助妙解竞赛题

高中数学竞赛平面几何讲座第二讲巧添辅助妙解竞赛题

在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.

1挖掘隐含的辅助圆解题

有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.

1.1 　作出三角形的外接圆

例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC

上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝

∠A.求证：

BD＝2CD.

分析：

关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.

容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能

直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆

于F,则可得EB＝EF,从而获取.

证明：

如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:

CF＝BD:

DC.

又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.

　　故EB＝EF.

作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF.

因∠GEF＝

∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝FC.

于是,BF＝2CF.故BD＝2CD.

1.2 利用四点共圆

例2凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝

∠BCD＝90°, 

AB＝2,CD＝1,对角线AC、BD交于点O,如图2.

则sin∠AOB＝____.

分析：

由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A、B、C、D

四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.

解：

因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°.

设AD＝x,有AP＝

x,DP＝2x.由割线定理得（2＋x）

x＝2x（1＋2x）.   解得AD＝x＝2

－2,BC=

BP＝4－

.

由托勒密定理有

BD?

CA＝（4－

）（2

－2）＋2×1＝10

－12.

又SABCD＝S△ABD＋S△BCD＝

.故sin∠AOB＝

例3已知：

如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH

⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求证：

△ABC的面积S＝

AP?

BD. 

分析：

因S△ABC＝

BC2＝

AC?

BC,只

须证AC?

BC＝AP?

BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证（Q为BD与AH交点）.

证明：

记BD与AH交于点Q,则由AC＝AD,AH⊥CD得∠ACQ＝∠ADQ.

又AB＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.

从而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A、B、C、Q四点共圆.

∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ,

∴△APC∽△BCD.

∴AC?

BC＝AP?

BD.

于是,S＝

AC?

BC＝

AP?

BD.

2构造相关的辅助圆解题

有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关

的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

2.1 联想圆的定义构造辅助圆

例4如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC

＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长. 

分析：

由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在

半径为p的⊙D上.利用圆的性质即可找到AC与

p、q的关系.

解：

延长CD交半径为p的⊙D于E点,连结AE.

显然A、B、C在⊙D上.

∵AB∥CD,

∴弧BC＝弧AE.

从而,BC＝AE＝q.

在△ACE中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE＝q,故

AC＝

＝

.

2.2 联想直径的性质构造辅助圆

例5已知抛物线y＝－x2＋2x＋8与x轴交于B、C两点，点D平分BC.若在x轴上侧的A点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是____.

分析：

由“∠BAC为锐角”可知点A在以定线段BC为直径的圆外,又点A在x轴上侧,从而可确定动点A的范围,进而确定AD的取值范围.

解：

如图5,所给抛物线的顶点为A0（1,9）,

对称轴为x＝1,与x轴交于两点B（－2,0）、

C（4,0）. 

分别以BC、DA为直径作⊙D、⊙E,则

两圆与抛物线均交于两点P（1－2

1）、

Q（1＋2

1）.

可知,点A在不含端点的抛物线PA0Q

内时,∠BAC＜90°.且有3＝DP＝DQ＜AD

≤DA0＝9,即AD的取值范围是3＜AD≤9.

2.3 联想圆幂定理构造辅助圆

例6AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平行线交AD于M,交AC于N.求证：

AB2－AN2＝BM?

BN.

分析：

因AB2－AN2＝（AB＋AN）（AB－AN）＝BM?

BN,而由题设易知AM＝AN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.

证明：

如图6, 

∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,

又∠3＝∠4,∠1＝∠5,

∴∠1＝∠2.从而,AM＝AN.

以AM长为半径作⊙A,交AB于F,交

BA的延长线于E.则AE＝AF＝AN.

由割线定理有

BM?

BN＝BF?

BE

＝（AB＋AE）（AB－AF）

＝（AB＋AN）（AB－AN）

＝AB2－AN2,

即AB2－AN2＝BM?

BN.

例7如图7,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于E,延长AD和BC相交于F,EP和FQ分别切⊙O于P、Q.求证：

EP2＋FQ2＝EF2.

分析：

因EP和FQ是⊙O的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP、FQ向EF转化.

证明：

如图7,作△BCE的外接圆交EF于G,连

结CG.

因∠FDC＝∠ABC＝∠CGE,故F、D、C、

G四点共圆.

由切割线定理,有

EF2＝（EG＋GF）?

EF

＝EG?

EF＋GF?

EF

＝EC?

ED＋FC?

FB

＝EC?

ED＋FC?

FB

＝EP2＋FQ2,

即EP2＋FQ2＝EF2.

2.4 联想托勒密定理构造辅助圆

例8如图8,△ABC与△A＇B＇

C＇的三边分别为a、b、c与a＇、

b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A

＇＝180°.试证：

aa＇＝bb＇＋cc＇. 

分析：

因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇

＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.

证明：

作△ABC的外接圆,过C作CD∥AB交圆于D,连结AD和BD,如图9所示.

∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D, 

∠BCD＝∠B＝∠B＇,

∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD. 

∴△A＇B＇C＇∽△DCB.

有 

＝

＝

即

＝

＝

.

故DC＝

DB＝

.

又AB∥DC,可知BD＝AC＝b,BC＝AD＝a.

从而,由托勒密定理,得

AD?

BC＝AB?

DC＋AC?

BD,

即a2＝c?

＋b?

.

故aa＇＝bb＇＋cc＇.

练习题

1. 作一个辅助圆证明：

△ABC中,若AD平分∠A,则

＝

.

17、近年来，我国积极推广“无车日”活动，以节约能源和保护环境。

科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。

（提示：

不妨设AB≥AC,作△ADC的外接圆交AB于E,证△ABC∽△DBE,从而

＝

＝

.）

预计未来20年，全球人均供水量还将减少1/3。

2. 已知凸五边形ABCDE中,∠BAE＝3a,BC＝CD＝DE,∠BCD＝∠CDE＝180°－2a.求证：

∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.

（提示：

由已知证明∠BCE＝∠BDE＝180°－3a,从而A、B、C、D、E共圆,得∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.）

21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：

仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。

3. 在△ABC中AB＝BC,∠ABC＝20°,在AB边上取一点M,使BM＝AC.求∠AMC的度数.

15、在显微镜下，我们看到了叶细胞中的叶绿体，还看到了叶表皮上的气孔。

（提示：

以BC为边在△ABC外作正△KBC,连结KM,证B、M、C共圆,从而∠BCM＝

∠BKM＝10°,得∠AMC＝30°.）

答：

连接北斗七星勺形前端的两颗星，并将连线向勺口方延长约5倍远，处于此位置的那颗星就是北极星。

4．如图10,AC是

ABCD较长的对角线,过C作

9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品，但是地球上的淡水资源十分有限，地球上的多数地区缺水。

CF⊥AF,CE⊥AE.求证：

AB?

AE＋AD?

AF＝AC2. 

23、我国是世界上公认的火箭的发源地，早在距今1700多年前的三国时代的古籍上就出现了“火箭”的名称。

（提示：

分别以BC和CD为直径作圆交AC于点

2、1969年7月，美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。

G、H.则CG＝AH,由割线定理可证得结论.）

5. 如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直线

CD过A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC＝AD,EC、ED分别切两圆于C、D.求证：

AC2＝AB?

AE.

（提示：

作△BCD的外接圆⊙O3,延长BA交⊙O3

于F,证E在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,从而AE

＝AF,由相交弦定理即得结论.）

6．已知E是△ABC的外接圆之劣弧BC的中点.

求证：

AB?

AC＝AE2－BE2. 

（提示：

以BE为半径作辅助圆⊙E,交AE及其延长线于N、M,由△ANC∽△ABM证AB?

AC＝AN?

AM.）

答：

最有效的方法就是集焚烧、堆肥、热解、制砖、发电等一体的统合系统，但是焚烧垃圾对空气有污染。

7. 若正五边形ABCDE的边长为a,对角线长为b,试证：

－

＝1.

（提示：

证b2＝a2＋ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.） 

6、你还知道哪些环境问题？

它们都对地球造成了哪些影响？