k12精品学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程333334.docx

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k12精品学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第三章直线与方程333334

3.3.3　点到直线的距离

3.3.4　两条平行直线间的距离

学习目标

　1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．

知识点一　点到直线的距离

思考1　如图，点P（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？

答案　d＝.

思考2　根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？

答案　d＝.

思考3　点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？

答案　仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，

即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式．

②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝|x0＋|＝，适合公式．

梳理　点到直线的距离

（1）定义：

点到直线的垂线段的长度．

（2）图示：

（3）公式：

d＝.

知识点二　两条平行直线间的距离

思考　直线l1：

x＋y－1＝0上有A（1,0）、B（0,1）、C（－1,2）三点，直线l2：

x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？

有什么规律吗？

答案　点A、B、C到直线l2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．

梳理　两条平行直线间的距离

（1）定义：

夹在两平行线间的公垂线段的长．

（2）图示：

（3）求法：

转化为点到直线的距离．

（4）公式：

两条平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0与l2：

Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.

类型一　点到直线的距离

例1　

（1）求点P（2，－3）到下列直线的距离．

①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3.

解　①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，

点P（2，－3）到该直线的距离为

＝；

②3y＝4可化为3y－4＝0，

由点到直线的距离公式得＝；

③x＝3可化为x－3＝0，

由点到直线的距离公式得＝1.

（2）求过点M（－1,2），且与点A（2,3），B（－4,5）距离相等的直线l的方程．

解　方法一　当过点M（－1,2）的直线l的斜率不存在时，

直线l的方程为x＝－1，

恰好与A（2,3），B（－4,5）两点距离相等，

故x＝－1满足题意，

当过点M（－1,2）的直线l的斜率存在时，

设l的方程为y－2＝k（x＋1），

即kx－y＋k＋2＝0.

由点A（2,3）与B（－4,5）到直线l的距离相等，得

＝，解得k＝－，

此时l的方程为y－2＝－（x＋1），

即x＋3y－5＝0.

综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.

方法二　由题意得l∥AB或l过AB的中点，

当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，

直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－，

此时直线l的方程为y－2＝－（x＋1），

即x＋3y－5＝0.

当l过AB的中点（－1,4）时，直线l的方程为x＝－1.

综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.

反思与感悟　

（1）应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：

①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．

②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．

③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解．

（2）用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．

跟踪训练1　

（1）若点（4，a）到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．

（2）已知直线l过点P（3,4）且与点A（－2,2），B（4，－2）等距离，则直线l的方程为______．

答案　

（1）[，]　

（2）2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0

解析　

（1）由题意知≤3，

解得≤a≤，故a的取值范围为[，]．

（2）过点P（3,4）且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，

故可设所求直线方程为y－4＝k（x－3），

即kx－y＋4－3k＝0，

由已知得＝，

∴k＝2或k＝－，

∴所求直线l的方程为

2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.

类型二　两平行线间的距离

例2　

（1）两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_________．

（2）已知直线l与两直线l1：

2x－y＋3＝0和l2：

2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

答案　

（1）　

（2）2x－y＋1＝0

解析　

（1）由题意，得＝，∴m＝2，

将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间距离公式，得＝＝.

（2）设直线l的方程为2x－y＋c＝0，

由题意，得＝，解得c＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.

反思与感悟　求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：

y＝kx＋b1，l2：

y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

跟踪训练2　

（1）求与直线l：

5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

（2）两平行直线l1，l2分别过P1（1,0），P2（0,5），若l1与l2的距离为5，求两直线方程．

解　

（1）方法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0（0，），

则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为

＝，

由题意，得＝2，所以C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

方法二　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式得2＝，

解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.

（2）依题意，两直线的斜率都存在，

设l1：

y＝k（x－1），即kx－y－k＝0，

l2：

y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.

因为l1与l2的距离为5，

所以＝5，解得k＝0或.

所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.

类型三　利用距离公式求最值

例3　已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为________．

答案　

解析　∵＝，

∴上式可看成是一个动点M（x，y）到定点N（0,1）的距离，

即为点N到直线l：

6x＋8y－1＝0上任意一点M（x，y）的距离，

∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝＝.

反思与感悟　解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．

跟踪训练3　

（1）动点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；

（2）求过点P（1,2）且与原点距离最大的直线方程．

解　

（1）直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，

∴OP所在直线方程为y＝x，

由解得

∴P点坐标为（2,2）．

（2）由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，

∵kOP＝2，

∴所求直线方程为y－2＝－（x－1），

即x＋2y－5＝0.

例4　两条互相平行的直线分别过点A（6,2），B（－3，－1），并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.

（1）求d的取值范围；

（2）求d取最大值时，两条直线的方程．

解　

（1）设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，

显然当时，l1和l2的距离最大，

且最大值为|AB|＝＝3，

∴d的取值范围为（0,3]．

（2）由

（1）知dmax＝3，此时k＝－3，

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.

反思与感悟　两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．

跟踪训练4　已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

A．3B.C.D.

答案　D

解析　两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝＝.

1．已知点（a,1）到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为（　　）

A．1B．－1C.D．±

答案　D

解析　由题意知＝1，

即|a|＝，∴a＝±.

2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为（　　）

A．9B．11或－9

C．－11D．9或－11

答案　B

解析　两平行线间的距离为d＝＝2，

解得c＝－9或11.

3．已知点M（1,2），点P（x，y）在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是（　　）

A.B.

C.D．3

答案　B

解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.

4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.

答案　10

解析　由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，

∴a＋d＝10.

5．直线3x－4y－27＝0上到点P（2,1）距离最近的点的坐标是________________．

答案　（5，－3）

解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，

设垂足为M，则|MP|为最小，

直线MP的方程为y－1＝－（x－2），

解方程组

得

∴所求点的坐标为（5，－3）．

1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．

2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．

3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．

课时作业

一、选择题

1．点（1，－1）到直线y＝1的距离是（　　）

A.B.

C．3D．2

答案　D

解析　d＝＝2，故选D.

2．两平行线3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之间的距离为（　　）

A.B．2

C.D.

答案　C

解析　3x－4y－7＝0可化为6x－8y－14＝0，

由两平行线间的距离公式可得＝.

3．已知点A（－3，－4），B（6,3）到直线l：

ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于（　　）

A.B．－

C．－或－D．－或

答案　C

解析　由点到直线的距离公式可得

＝，

化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，

解得实数a＝－或－.故选C.

4．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为（　　）

A．2x＋y＝0

B．2x＋y－2＝0

C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0

D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0

答案　D

解析　根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，

因为两直线间的距离等于，

所以d＝＝，

解得c＝0或c＝2，

故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.

5．点P（2,3）到直线：

ax＋（a－1）y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为（　　）

A．3，－3B．5,2

C．5,1D．7,1

答案　C

解析　直线恒过点A（－3,3），根据已知条件可知当直线ax＋（a－1）y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.

6．两平行线分别经过点A（3,0），B（0,4），它们之间的距离d满足的条件是（　　）

A．0

C．0

答案　B

解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以0

7．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有（　　）

A．0条B．1条

C．2条D．3条

答案　B

解析　联立

得

∴两直线交点为（0,1），

由交点到原点的距离1，故只有1条．

8．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：

x＋y－7＝0和l2：

x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是（　　）

A．3B．2

C．3D．4

答案　A

解析　由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.

二、填空题

9．点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．

答案　8

解析　由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，

所以（x2＋y2）min＝2＝8.

10．若点（2，－k）到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．

答案　－3或

解析　d＝＝，

由题意知＝4，即＝1，

∴k＝－3或k＝.

11．经过点P（－3,4），且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．

答案　x＝－3或7x＋24y－75＝0

解析　

（1）当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：

x＝－3的距离等于3，满足题意；

（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋4＝0.

原点到直线l的距离d＝＝3，

解得k＝－.

直线l的方程为7x＋24y－75＝0.

综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.

三、解答题

12．如图，已知直线l1：

x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．

解　设l2的方程为y＝－x＋b（b>1），

则图中A（1,0），D（0,1），B（b,0），C（0，b），

∴|AD|＝，|BC|＝b.

梯形的高h就是A点到直线l2的距离，

故h＝＝＝（b>1），

由梯形面积公式得×＝4，

∴b2＝9，b＝±3.但b>1，

∴b＝3.

从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.

四、探究与拓展

13．已知入射光线在直线l1：

2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为（　　）

A．6B．3C.D.

答案　C

解析　如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．

由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.

由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离

d＝＝，

即点P到直线l3的距离为.

14．已知A（4，－3），B（2，－1）和直线l：

4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.

解　AB的中点坐标为（3，－2），kAB＝＝－1，

所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，

即x－y－5＝0，设点P（a，b），

则P在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0，

又＝2，

解得或

故所求的点为P（1，－4）或P（，－）．