江苏高考物理总复习第53讲实验十一单摆的周期与摆长的关系受迫振动和共振讲义文档格式.docx

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2．摆长：

从________到________的距离．

3．g：

当地的重力加速度．

三、用单摆测定重力加速度

1．实验目的

用单摆测定重力加速度．

2．实验原理

单摆在偏角很小（不超过10°

）时的摆动，可认为是简谐运动，其固有周期为________，由此可得g＝________.只要测出摆长L和周期T，即可算出当地的重力加速度值．

3．实验器材

长约1m的细丝线一条，通过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，________一把，________一块．

4．实验步骤

（1）让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；

（2）把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球________，在单摆平衡位置处做上标记；

（3）用刻度尺测量单摆的摆长（悬点到球心间的距离）；

（4）把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过10°

），然后放开小球让它摆动，再用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的________；

（5）改变摆长，重做几次实验；

（6）根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值；

（7）将测得的重力加速度数值与当地重力加速度值加以比较，分析产生误差的可能原因．

5．注意事项

（1）摆线不能过短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．

（2）摆球摆动时应使偏角不超过10°

，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不能松动．

（3）累积法测周期时，应从最低位置开始计时和记录全振动次数．

（4）使用秒表方法是三次按按钮：

一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：

先读分针刻度（包括半分钟），再读秒针刻度（最小刻度为0.1s，不要再估读）．

（5）处理数据时，采用图象法，画出T2L图象，求得直线的斜率k，即有g＝4π2/k.

6．误差分析

（1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：

悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．

（2）本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上，因此，要注意测准时间（周期）．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．

（3）本实验中进行长度（摆线长、摆球的直径）的测量时，读数读到毫米位即可（即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米位）．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．

四、振动的分类

按振子受力的不同可将振动分为：

1．自由振动（又称固有振动）

回复力是系统内部的相互作用力，没有附加其他的外力作用．弹簧振子的____________是系统内部的力，单摆的________________也是系统内部的力．

2．阻尼振动

系统受到摩擦力或其他阻力，系统克服阻尼的作用要消耗________，因而________减小，最后停下来，阻尼振动的图象如图所示．

物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如：

用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅起来越小，锣声减弱，但音调不变．

3．受迫振动

（1）定义：

如系统受到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去．这种周期性的外力叫________．系统在驱动力作用下的振动叫________．

（2）特点：

系统做受迫振动的频率总是等于________的频率，与系统的________无关．

五、共振

1．共振：

系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同一个振动系统，其受迫振动的振幅将不同，驱动力频率f________系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅________，这种现象叫做共振．

2．共振曲线：

横轴表示________的频率，当________时物体的振幅最大．图中________是物体的固有频率．f驱与f固相差越大，物体做受迫振动的振幅________．

3．共振的应用与防止

（1）共振的应用：

由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致，如：

共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等．

（2）共振的防止：

由共振曲线可知，在需要防止共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固有频率不相等，而且相差越多越好．如：

部队过桥时，为避免周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走．

（3）自由振动、受迫振动和共振的关系比较

　　振动

　　类型

项目　

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力

周期性驱动力作用

振动周期或频率

由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率

由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱

T驱＝T固或f驱＝f固

振动能量

振动物体的机械能不变

由产生驱动

力的物体提供

振动物体获得的能量最大

常见例子

弹簧振子或单摆（θ≤10°

）

机械工作时底座发生的振动

共振筛、转速计等

方法技巧考点1　单摆

【典型例题1】　某单摆由1m长的摆线连接一个直径2cm的铁球组成，关于单摆周期，以下说法正确的是（　　）

A．用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变

B．用大球代替小球，摆长会变化，单摆的周期不变

C．摆角从5°

改为3°

，单摆的周期会变小

D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大

　1.如图所示，光滑轨道的半径为2m，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时释放，则两小球相碰的位置是（　　）

A．C点B．C点右侧

C．C点左侧D．不能确定

【典型例题2】　用单摆测定重力加速度的实验如图1所示．

（1）（多选）组装单摆时，应在下列器材中选用______（选填选项前的字母）．

A．长度为1m左右的细线

B．长度为30cm左右的细线

C．直径为1.8cm的塑料球

D．直径为1.8cm的铁球

图1　　　　　　图2　　　　　　　图3

（2）测出悬点O到小球球心的距离（摆长）L及单摆完成n次全振动所用的时间t.则重力加速度g＝____________．（用L，n，t表示）

（3）下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．

组次

1

2

3

摆长L/cm

80.00

90.00

100.00

50次全振动时间t/s

90.0

95.5

100.5

振动周期T/s

1.80

1.91

重力加速度g/（m·

s－2）

9.74

9.73

　　请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2；

（4）用多组实验数据做出T2L图象，也可以求出重力加速度g，已知三位同学做出的T2L图线的示意图如图2中的a，b，c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是（选填选项前的字母）（　　）

A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L

B．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次

C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值

（5）某同学在家里测重力加速度，他找到细线和铁锁，制成一个单摆，如图3所示，由于家里只有一根量程为30cm的刻度尺，于是他在细线上的A点做了一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长．实验中，当O、A间细线的长度分别为l1、l2时，测得相应单摆的周期为T1、T2.由此可得重力加速度g＝____________（用l1、l2、T1、T2表示）．

考点2　受迫振动和共振

【典型例题3】　（16年扬州一模）（多选）如图所示，A、B、C三个小钢球的质量分别为2m、

m、m，A球振动后，通过张紧的水平细绳给其他各摆施加驱动力．当B、C振动达到稳定时，下列说法中正确的是（　　）

A．B的振动周期最大

B．C的振幅比B的振幅小

C．C的振幅比B的振幅大

D．A、B、C的振动周期相等

【典型例题4】　（多选）如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是（　　）

A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线

B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4

C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1m

D．若摆长均为1m，则图线Ⅰ是在地面上完成的

　2.（多选）将测力传感器接到计算机上可以测量快速变化的力，将单摆挂在测力传感器的探头上，测力探头与计算机连接，用此方法测得的单摆摆动过程中摆线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示，g取10m/s2.某同学由此图象提供的信息做出了下列判断，其中正确的是（　　）

A．摆球的周期T＝0.5s

B．单摆的摆长l＝1m

C．t＝0.5s时摆球正经过最低点

D．摆球运动过程中周期越来越小

当堂检测　　1.如图所示，把两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8Hz，乙弹簧振子的固有频率为72Hz，当支架在受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用下做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（　　）

第1题图

A．甲的振幅较大，且振动频率为8Hz

B．甲的振幅较大，且振幅频率为9Hz

C．乙的振幅较大，且振动频率为9Hz

D．乙的振幅较大，且振幅频率为72Hz

2．（多选）下列说法正确的是（　　）

A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比

B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变

C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小

D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率

3．一个理想的单摆，已知其周期为T.如果由于某种原因（如转移到其他星球）自由落体运动的加速度变为原来的1/2，振幅变为原来的1/3，摆长变为原来的1/4，摆球质量变为原来的1/5，它的周期变为__________．

4．如图是一个单摆的共振曲线，此单摆的固有周期T是________s，若将此单摆的摆长增大，共振曲线的最大值将________（选填“向左”或“向右”）移动．

第4题图

5．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时刻摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为π2m/s2，试求这个摆的摆长是多少？

第5题图

第53讲　实验十一：

单摆的周期

与摆长的关系　受迫振动和共振

基础自测

一、1.不计　不计　理想化　2.重力沿切线方向的分力

二、1.摆长　重力加速度　无关　2.悬点　球心

三、2.T＝2π

　3.毫米刻度尺　秒表　4.

（2）自由下垂　（4）振动周期

四、1.弹力　重力的切向分量

2．机械能　振幅

3．

（1）驱动力　受迫振动　

（2）驱动力　固有频率

五、1.等于　最大

2．驱动力　f＝f′　f′　越小

方法技巧

·

典型例题1·

A　【解析】　根据单摆周期公式和单摆做简谐运动的等时性可知，用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变，选项A正确；

由于摆长是从悬点到摆球中心的长度，故在用同样长的摆线连接铁球时，用大球代替小球，摆长会变化，单摆的周期会改变，选项B错误；

单摆在小摆角下的摆动周期一样，选项C错误；

将单摆从赤道移到北极，重力加速度增大，单摆的周期会变小，选项D错误．

变式训练1·

A　【解析】　由于半径远大于运动的弧长，小球都做简谐运动，类似于单摆．因为在同一地点，周期只与半径有关，与运动的弧长无关，故两球同时到达C点，故选项A正确．

典型例题2·

（1）AD　

（2）

（3）2.01　9.76　（4）B　（5）

　【解析】　

（1）单摆的模型要求细线要长些、轻些，这样测量相对误差小、易观察摆球的位置变化等，A正确．摆球的使用小重球，减小阻力、相对细线质量较大．D正确．

（2）根据单摆周期公式T＝2π

，单摆完成N次全振动的时间为t，T＝t/n可求当地的重力加速度g＝

.

（3）据T＝t/n＝2.01s和g＝

＝9.76m/s2可求．（4）图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值，说明图线b对应的是较准确测量方式．根据单摆的周期公式T＝2π

得：

T2＝

，根据数学知识可知，T2L图象的斜率k＝

，当地的重力加速度g＝

.A项若测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度l，则有T2＝

＝

l＋

，根据数学知识可知，对T2L图象来说，T2＝

与b线T2＝

斜率相等，两者应该平行，

是截距；

故做出的T2L图象中a线的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L.故A错误．B项实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小，故B正确；

C项由图可知，图线c对应的斜率k偏小，根据T2L图象的斜率k＝

可知，g值大于图线b对应的g值，故C错误．故选B.

（5）根据单摆的周期公式T＝2π

，第一次：

T1＝2π

　第二次：

T2＝2π

联立解得：

g＝

典型例题3·

CD　【解析】　由于A自由振动，其周期就等于其固有周期，而B、C在驱动力作用下的受迫振动，受迫振动的周期等于驱动力的周期，所以三个单摆的振动周期相等，故A错误；

由于A、C摆长相等，产生共振，所以C的振幅比B大，故C、D正确．

典型例题4·

ABC　【解析】　受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2π

，可以得到单摆固有频率f＝

，根据图象中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．

变式训练2·

BC　【解析】　由题图可知，单摆两次拉力极大值的时间差为1s，所以单摆的振动周期为2s，选项A错误；

根据单摆的周期公式T＝2π

可得摆长l＝1m，选项B正确；

t＝0.5s时摆线的拉力最大，所以摆球正经过最低点，选项C正确；

摆线拉力的极大值发生变化，说明摆球在最低点时的速度发生了变化，所以摆球做阻尼振动，振幅越来越小，由于周期与振幅无关，所以单摆的周期不变，选项D错误．

当堂检测

1．B　【解析】　支架在受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用下做受迫振动时，甲乙两个弹簧振子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率9Hz，由于甲的频率接近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大，故B正确，ACD错误．

2．ABD　【解析】　根据单摆周期公式：

可以知道，在同一地点，重力加速度g为定值，故周期的平方与其摆长成正比，故选项A正确；

弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒条件可以知道，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B正确；

根据单摆周期公式：

可以知道，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；

当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，选项D正确．

3.

　【解析】　根据单摆的周期公式T＝2π

，重力加速度减小为

倍，摆长减小为

倍，故单摆周期减小为原来的

倍．

4．2.5　向左　【解析】　当驱动力频率与单摆的固有频率相等时，振幅最大的现象叫做共振现象．由图象可以看出，当f＝0.4Hz时，振幅最大，发生共振现象；

故单摆的固有频率为0.4Hz，故周期为2.5s；

若将此单摆的摆长增大，根据公式T＝2π

，周期变大，固有频率减小，故共振曲线的最大值将向左移动．

5．

（1）1.25Hz　

（2）B点　（3）0.16m

【解析】　

（1）由乙图知周期T＝0.8s

则频率f＝

＝1.25Hz

（2）由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时刻摆球在B点

（3）由T＝2π

得L＝

＝0.16m.