数理统计公式大全Word下载.docx

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（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）

（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）

德摩根率：

，

（7）概率的公理化定义

设

为样本空间，

为事件，对每一个事件

都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：

1°

0≤P（A）≤1，

2°

P（Ω）=1

3°

对于两两互不相容的事件

，

，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件

的概率。

（8）古典概型

，

。

设任一事件

，它是由组成的，则有

P（A）=

（9）几概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几概型。

对任一事件A，

其中L为几度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）＝0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Ω时，P（）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>

0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Ω/B）=1P（/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P（A1A2…An-1）>

0，则有

…

……

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件

、

满足

，则称事件

是相互独立的。

若事件

相互独立，且

，则有

相互独立，则可得到

与

也都相互独立。

必然事件

和不可能事件Ø

与任事件都相互独立。

与任事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）；

P（BC）=P（B）P（C）；

P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

满足

两两互不相容，

则有

（16）贝叶斯公式

，…，

及

，

0，

1，2，…，

则

，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

，（

），通常叫先验概率。

，（

），通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了

次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，

发生或

不发生；

次试验是重复进行的，即

发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验

发生与否与其他次试验

发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为

重伯努利试验。

用

表示每次试验

发生的概率，则

发生的概率为

，用

表示

重伯努利试验中

出现

次的概率，

第二章

随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量的可能取值为Xk（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形式给出：

显然分布律应满足下列条件：

（1），，

（2）。

（2）连续型随机变量的分布密度

设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有

则称为连续型随机变量。

称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设为随机变量，是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间的概率。

分布函数表示随机变量落入区间（–∞，x]的概率。

分布函数具有如下性质：

；

是单调不减的函数，即时，有；

4°

，即是右连续的；

5°

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量，

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。

事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。

其中，

则称随机变量服从参数为，的二项分布。

记为。

当时，，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量的分布律为

，，，

则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几分布，记为H（n,N,M）。

几分布

，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量

的值只落在[a，b]，其密度函数

在[a，b]上为常数，即

a≤x≤b

其他，

则称随机变量

在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）。

分布函数为

a≤x≤b

a，

1，

b。

当a≤x1<

x2≤b时，X落在区间（

）的概率为

指数分布

其中

，则称随机变量X服从参数为

的指数分布。

X的分布函数为

0。

记住积分公式：

正态分布

的密度函数为

为常数，则称随机变量

服从参数为

的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为

具有如下性质：

的图形是关于

对称的；

当

时，为最大值；

若

，则

的分布函数为

参数

时的正态分布称为标准正态分布，记为

，其密度函数记为

，，

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ（-x）＝1-Φ（x）且Φ（0）＝。

如果~，则~。

（6）分位数

下分位表：

上分位表：

（7）函数分布

离散型

已知的分布列为

的分布列（互不相等）如下：

若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX（x）写出Y的分布函数FY（y）＝P（g（X）≤y），再利用变上下限积分的求导公式求出fY（y）。

第三章

二维随机变量及其分布

（1）联合分布

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij,,称

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。

联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

…

p11

p12

p1j

p21

p22

p2j

pi1

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a<

b,c<

d}有

则称为连续型随机向量；

并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）

f（x,y）≥0;

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>

x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;

当y2>

y1时，有F（x,y2）≥F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布

X的边缘分布为

；

Y的边缘分布为

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

有零不独立

f（x,y）=fX（x）fY（y）

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：

若X与Y独立，则：

h（X）和g（Y）独立。

例如：

3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

图3.1

图3.2

图3.3

（9）二维正态分布

其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

记为（X，Y）～N（

由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，

即X～N（

但是若X～N（，（X，Y）未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型，fZ（z）＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

Z=max,min（X1,X2,…Xn）

若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min（X1,X2,…Xn）的分布函数为：

分布

设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性：

设

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）。

F分布

设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f（n1,n2）.

第四章

随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布律为P（）＝pk，k=1,2,…,n，

（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f（x），

函数的期望

Y=g（X）

差

D（X）=E[X-E（X）]2，

标准差

矩

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E（Xk）=,k=1,2,….

②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=，k=1,2,….

νk=E（Xk）=

k=1,2,….

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期望的性质

E（C）=C

（2）

E（CX）=CE（X）

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y），

（4）

E（XY）=E（X）E（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

（3）差的性质

D（C）=0；

E（C）=C

D（aX）=a2D（X）；

E（aX）=aE（X）

D（aX+b）=a2D（X）；

E（aX+b）=aE（X）+b

D（X）=E（X2）-E2（X）

（5）

D（X±

Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

Y）=D（X）+D（Y）±

2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

（4）常见分布的期望和差

（n>

2）

（5）二维随机变量的数字特征

＝

协差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协差或相关矩，记为，即

与记号相对应，X与Y的差D（X）与D（Y）也可分别记为与。