太原理工大学数值计算方法题库讲解.docx
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太原理工大学数值计算方法题库讲解
太原理工大学数值计算方法题库
数值计算方法试题
一、填空题
1、如果用二分法求方程x3x40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，
2、
需对分（10）次。
2
迭代格式xk1xk（xk22）局部收敛的充分条件是取值在22
2,0）（0,2）
22）。
3
x13（x1）3a（x1）
2
0x1
b（x1）c1x3是三次样条函数，
S（x）1
3、已知
则a=（3），b=（3），c=
（1）。
4、l0（x）,l1（x）,,ln（x）是以整数点n
lk（x）
函数，则k0k
（1），
n
（xkxk3）lk（x）42k0kkk（x4x23）
5、设f（x）6x72x43x21和节点xkk/2,k0,1,2,,则7!
6945
6和7f072!
769454236.25。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，积公式最高代数精度为9。
k（x）k0是区间[0,1]上权函数（x）x的最高项系数为
1
式族，其中0（x）1，则0x4（x）dx0。
x1ax2b1
8、给定方程组ax1x2b2，a为实数，当a满足
SOR迭代法收敛。
7、
9、
x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基n
xklj（xk）
k0（
f[x0,x1,,xn]
5个节点的求
1的正交多项
a1，且02时，
yf（x,y）
解初值问题y（x0）y0的改进欧拉法
y[n0]1ynhf（xn,yn）
h
2
10
01
aa
yn1ynh[f（xn,yn）f（xn1,y[n0]1）]
a
a
1
A
10、设中L为下三角阵，这种分解是唯一的
是2阶方法。
22
，当a（2,2）时，必有分解式ALLT，其
当其对角线元素lii（i1,2,3）满足（lii0）条件时，
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、选择题1、解方程组Axb的简单迭代格式x（k1）Bx（k）g收敛的充要条件是
2）。
1）（A）1,
（2）（B）1,（3）（A）1,（4）（B）1
是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当
（1）时的
牛顿-柯特斯求积公式不使用
（1）n8，
（2）n7，（3）n10，（4）n6，
3、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f（x）
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
所确定的插值多项式的次数是
（1）。
（1）二次；
（2）三次；（3）四次；（4）五次
y2y,y（0）1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为
3）
（1）0h2,
（2）0h2,（3）0h2,（4）0h22
三、1、用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据：
xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
2
解：
span{1,x2}
T1111
A192252312382yT19.032.349.073.3
解方程组ATACATy
ATA43391ATy173.6
其中33913529603179980.7
0.9255577
C
解得：
0.0501025所以a0.9255577，b0.0501025
1x
2、用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算0edx时，
（1）试用余项估计其误差。
（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
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解：
RT[f]h7
T（8）h[f（a）2f（xk）f（b）]
2k1
1
[12（0.88249690.77880080.6065306616
0.53526140.472366550.41686207）0.36787947]
0.6329434
四、1、方程x3x10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式
（1）x3x1对应迭代格式xn13xn1；
（2）x1x对应迭
xn1113
代格式n1xn；（3）xx31对应迭代格式xn1xn31。
判断迭
代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
123
解：
（1）（x）3（x1），（1.5）0.181，故收敛；
（x）1
（2）2x211x，（1.5）0.171，故收敛；
（3）（x）3x2，（1.5）31.521，故发散。
选择
（1）：
x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249，x51.32476，x61.32472
xx（（xk）xk）2xk1xk
Steffensen迭代：
（（xk））2（xk）xk
（3xk1xk）2xk
33xk1123xk11计算结果：
x01.5，x11.324899，x21.324718有加速效果。
2、已知方程组AXf，其中
4
3
24
A
3
4
1
f
30
1
4
，
24
（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式
（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。
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x1（k1）1（243x2（k））
142
x2（k1）14（303x1（k1）x3（k））
x3（k1）1（24x2（k1））
0340
BJD1（LU）34034
0340
（k1）（k）x1（k1）
（1）x1（k）
4Gauss-Seidel迭代法：
k0,1,2,3,
（BJ）58（或410）0.790569
（243x2（k））
42
x2（k1）
（1）x2（k）（303x1（k1）x3（k））
4
x3（k1）
（1）x3（k）（24x2（k1））
4
SOR迭代法：
k0,1,2,3,
y（0.1）的值；用经典的四阶龙格—库塔法求y（0.1）的值
解：
改进的欧拉法：
yn（0）1ynhf（xn,yn）0.9yn0.1
yn1ynh[f（xn,yn）f（xn1,yn（0）1）]0.905yn0.0952
所以y（0.1）y11；
经典的四阶龙格—库塔法：
hyn1yn6[k12k22k3k4]
k1f（xn,yn）
hh
k2f（xn,ynk1）
22
hh
k3f（xn2,yn2k2）
k4f（xnh,ynhk3）k1k2k3k40，所以y（0.1）y11
2、求一次数不高于4次的多项式p（x）使它满足
p（x0）f（x0）,p（x1）f（x1）,p（x0）f（x0）,p（x1）f（x1）,p（x2）f（x2）
H3（xi）f（xi）
解：
设H3（x）为满足条件H3（xi）f（xi）i0,1的Hermite插值多项式，
22
则p（x）H3（x）k（xx0）（xx1）代入条件p（x2）f（x2）得：
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f（x2）H3（x2）
k2
（x2x0）2（x2
x1）2
六、（下列2题任选一题，4分）
1
数值积分公式形如0xf（x）dxS（x）Af（0）Bf
（1）Cf（0）Df
（1）1,
4
试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；2,设f（x）C4[0,1]，
1
推导余项公式R（x）0xf（x）dxS（x），
1、
23
解：
将f（x）1,x,x2,x3分布代入公式得：
并估计误差。
A3,B7,B
2020
1,D1
3020
构造Hermite插值多项式H3（x）满足
x00,x11
则有：
1
xH3（x）dxS（x），
1f（4）（）
R（x）0x[f（x）S（x）]dx0f（4）（）
4!
2、
H3（xi）f（xi）
H3（xi）f（xi）i
f（x）H3（x）f（）
32
x（x1）dx4!
f（4）（）f（4）（）
4!
601440
0,1其中
x2（x1）2
4!
132x3（x1）2dx
用二步法
yn10yn1yn1h[f（xn,yn）
（1）f（xn1,yn1）]
yf（x,y）y（x0）y0时，如何选择参数0,1,使方
求解常微分方程的初值问题法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
解：
h2h3
Rn,hy（xn1）yn1y（xn）hy（xn）h2!
y（xn）h3!
y（xn）2!
3!
h2h3
0y（xn）1（y（xn）hy（xn）2!
y（xn）3!
y（xn））
h2h3
hy（xn）hy（4）（xn）]2!
n3!
n
h[y（xn）
（1）（y（xn）hy（xn）
（101）y（xn）h（111）y（xn）
2131
h2（111）y（xn）h3（11
22n662
101010
1110所以22
53
hy（xn）
主项：
12n
1）y（xn）O（h4）
1
0
3
2
该方法是二阶的。
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数值计算方法试题二
一、判断题：
１、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使ALU唯一成立。
（Ⅹ）
２、当n8时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
（∨）
代数精确度的次数为2n1。
（Ⅹ）
210
A111
４、矩阵
01
2
的２－范数A2＝９。
（∨）
2a
a0
A
0
a0
5、设
0
0a
，则对任意实数a0，方程组Axb都是病态的
（用）（Ⅹ）
6、设ARnn，QRnn，且有QTQI（单位阵），则有A2QA2（∨）
Ⅹ）
8、对矩阵A作如下的Doolittle
223
10022
A
477
210
0b
245
1a1
00
、填空题：
842
1、设f（x）9x83x421x210
7、区间a,b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。
分解：
3
1
6，a,b的值分别为a2，b2。
（Ⅹ）
则均差
f[20,21,,28]98!
，f[30,31,,39]0。
2、设函数f（x）于区间a,b上有足够阶连续导数，pa,b为f（x）的
f（xk）xk1xkm'k一个m重零点，Newton迭代公式f'（xk）的收敛阶至少
是二阶。
３、区间a,b上的三次样条插值函数S（x）在a,b上具有直到二阶的
2
1，则
连续导数。
TA
4、向量X（1,2）,矩阵AX116，cond（A）90。
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1
1f（x）dxf（x0）f（x1）具有最高的代
nn，ATA，则（A）（谱半径）=A2等于）
1
2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
答：
Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素（k）
ak（kk）全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使
det（A）0，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，
（k）
a（kkk）
但若主元素ak（kk）的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素
很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩
（k）
akk=0或
大太大而使计算不稳定。
f（x）1cosx
3、
设x0.001，试选择较好的算法计算函数值f（x）x2。
242n
cosx1xx
（1）nx解：
2!
4!
（2n!
）
242n
1cosxxx
（1）n1x
2!
4!
（2n!
）
1x2x2n2
f（x）1x
（1）n1x2!
4!
（2n!
）
四、已知数值积分公式为：
hh2''
0f（x）dx[f（0）f（h）]h2[f'（0）f'（h）]
02，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
解：
f（x）1显然精确成立；
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hh2h2
xdx[0h]h2[11]
022；
h31
2h
212；
f（x）x时，
h2h3h22
x2dx[0h2]h2[02h]
32
4
h3hh3122
3x3dx[0h3]h2[03h2]
f（x）x2时，
f（x）x3时，04212；
4x4dxhh[0h4]1h2[04h3]h
f（x）x4时，052126；所以，其代数精确度为3。
五、已知求a（a0）的迭代公式为：
1a
xk1（xk）x00k0,1,2
k12k0
证明：
对一切k1,2,,xka，且序列xk是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
1a1
xk1（xk）2
k12kxk2
xk
证明：
aak0,1,2xk
故对一切k1,2,,xka。
1a1
（1）（11）1
2xk22所以xk1xk，即序列xk是单调递减有
xk
xk1又xk下界，从而迭代过程收敛。
33
0f（x）dx[f
（1）f
（2）]
02是否为插值型求积公
六、（9分）数值求积公式式？
为什么？
其代数精度是多少？
解：
是。
因为f（x）在基点1、2处的插值多项式为
x2x1
p（x）x2f
（1）x1f
（2）
1221
33p（x）dx[f
（1）f
（2）]
02。
其代数精度为1。
七、设线性代数方程组AXb中系数矩阵A非奇异，X为精确解，
b0，若向量X是AXb的一个近似解，残向量rbAX，证明
XX
估计式：
X容）。
cond（A）
cond（A）b（假定所用矩阵范数与向量范数相
证明：
由题意知：
AXb,AXbr
A（XX）
rXXA1r
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bn1b2
lk（x）lj（x）w（x）dx0（kj）alk（x）w（x）dxaw（x）dxa（3）k1
证明：
形如式具有最高代数精度2n+1次，它对f（x）取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
n1b
Aik（xi）j（xi）ak（x）j（x）w（x）dx0
1）i1a
、填空题
数值计算方法试题三
（1）改变函数f（x）x1x（x1）的形式，使计算结果较精
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fx
（2）
若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要求精确到第
3位小数，则需要对分10次。
a=3,b=-3,c=1。
1x
0edx，要求误差不超过106，利用余
项公式估计，至少用477个求积节点。
x11.6x21
（6）写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式
x1k111.6x2k
01.6
x2k120.4x1k1,k0,1,
，迭代矩阵为
00.64
此迭代法是否收敛收敛
54
（7）设A43,则A9，CondA91。
（8）若用Euler法求解初值问题y'10y,y01，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为h<0.2
二.1.写出求方程4xcosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
xn1xn41cosxn，n=0,1,2,
11
'x4sinx41∴对任意的初值x0[0,1],迭代公式都收敛。
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2.以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。
用Newton插值方法：
差分表：
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0.0000941136
11510+0.0476190（115-100）-0.0000941136（115-100）（115-121）
=10.7227555
f'''x83x
f'''
R1151001151211151443!
5
132
1002156290.00163
68
3.
求fxex在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
设xc11xc22xc1c2x
12111
112c1e1
1213c21
2,20xdx3，f,1exp（x）dxe1，f,2xexp（x）dx1
c10.8731
c21.690,x0.87311.690x
x4e10186ex=0.873127+1.69031x
I1sinxdx
4.用复化Simpson公式计算积分I0xdx的近似值，要求误差限为0.5105。
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5.用Gauss列主元消去法解方程组：
x14x22x324
3x1x25x334
2x16x2x327
3.00001.00005.000034.0000
0.00003.66670.333312.6667
0.00005.3333-2.33334.3333
3.00001.00005.000034.0000
0.00005.3333-2.33334.3333
0.00000.00001.93759.6875
x2.0000,3.0000,5.0000T
1.3333
2.0000
36x18
ATAxATb，614x220
若用Householder变换，则：
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1.73205
A,b
3.464104.61880
0.366031.52073
1.366032.52073
1.73205
0
0
3.464104.61880
1.414212.82843
00.81650
最小二乘解：
（-1.33333，2.00000）T.
7.已知常微分方程的初值问题：
dydxxy,1x1.2
y
（1）2
用改进的Euler方法计算y（1.2）的近似值，取步长h0.2。
k1fx0,y00.5，k2fx1,y0hk11.120.20.50.5238095
y1y0hk1k220.10.50.52380952.1071429
2
三．在下列5个题中至多选做3个题）
（1）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：
p115，p'120，p''130，p257，p'272
差分表：
1
15
20
1
15
15
20
7
1
15
22
1
42
8
2
57
30
72
2
57
px1520x115x127x13x13x2
54x3x22x3x4
其他方法：
设px1520x115x12x13axb
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令p257，p'272，求出a和b
（2）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
取f（x）=1,x，令公式准确成立，得：
A01A11
03，16
A0A111A0A11
012，2013
f（x）=x2时，公式左右=1/4;f（x）=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24
公式的代数精度=2
101
11的模最大的特征值及其相应的单位特征
向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0
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