九年级数学下册 30 二次函数教案 新版冀教版.docx

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九年级数学下册30二次函数教案新版冀教版

2019-2020年九年级数学下册30二次函数教案（新版）冀教版

1.从实际问题中建立二次函数,理解二次函数的意义.

2.会用描点法画二次函数的图像,通过观察图像了解二次函数的性质.

3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,能说出图像的开口方向,画出函数图像的对称轴.

4.知道给出不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.

5.了解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.

6.能利用二次函数的图像和性质解决简单的实际问题,进一步体会模型思想和函数思想,发展应用意识.

1.经历从实际问题情景中建立二次函数模型的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的关系,培养学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.

2.经历探究二次函数的图像和性质的过程,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

3.通过探究二次函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.

4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

1.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.

2.通过作图、类比、归纳等数学活动,逐步完善对二次函数的图像与性质的认识,积累与他人合作、探究、交流的经验,获得数学知识与技能.

3.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.

4.经历用二次函数模型解决实际问题的过程,进一步体会建模思想,获得用数学方法解决实际问题的经验,培养学生的应用意识.

5.通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.

二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了一次函数、反比例函数的基础上,学习的又一类重要函数,是函数内容的继续和延伸,是对函数及其应用的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,二次函数的图像也是人们最为熟悉的曲线之一.同时,二次函数的相关性质也是解决最优化问题的理论基础,它与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,是初中许多知识的总结.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.

本章内容从实际情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,二次函数无论是表达式还是函数图像、性质以及应用都要比前面学习的正比例函数、一次函数和反比例函数复杂,所以数学思想和方法在本章体现得尤为重要,待定系数法、配方法得到进一步理解,函数思想、模型思想和数形结合思想得到进一步提升.对于某些解决实际问题的安排,目的是加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.

【重点】

了解二次函数的意义;理解二次函数的图像及其性质;能根据二次函数的图像与性质解决有关实际问题;体会二次函数与一元二次方程的关系.

【难点】

理解二次函数的图像及其性质;理解二次函数与一元二次方程的关系;能应用二次函数的性质解决实际问题.

1.本章是初中阶段函数内容的最后一章,也是代数部分的最后一章,因此在教学中要重视知识之间的联系,如对正比例函数、一次函数、反比例函数的表达式、图像及性质进行比较,体会二次函数和一元二次方程的关系等,提高学生综合运用知识解决数学问题的能力.

2.在教学过程中重视数学思想和方法的渗透,类比一次函数、反比例函数的探究方法,探究二次函数的概念、图像和性质.用配方法将二次函数表达式化为y=a（x-h）2+k的形式,进而确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴.让学生经历二次函数的图像、性质的形成过程,体会数形结合思想在数学中的应用.由不共线三点的坐标确定二次函数表达式,是对待定系数法的进一步认识.用二次函数解决实际问题,体会建模思想是将实际问题转化为数学问题的重要思想.

3.在教学中重视二次函数在数学中的应用,常常体现在对数学知识的应用上,二次函数模型是非常重要的模型,应用十分广泛.因此,让学生亲身经历把实际问题抽象为数学问题的过程,进一步体会建模思想,培养应用意识.

4.在教学过程中,要努力营造学生自主探究、合作交流的环境,在探究二次函数的概念、图像、性质、应用及二次函数与一元二次方程的关系的过程中,给学生充足地操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动的空间和时间,让他们亲身经历知识的形成过程,让学生通过思考感悟思想方法,体验成功的快乐.

30.1二次函数

1课时

30.2二次函数的图像和性质

3课时

30.3由不共线三点的坐标确定二次函数

1课时

30.4二次函数的应用

3课时

30.5二次函数与一元二次方程的关系

1课时

回顾与反思

1课时

30.1　二次函数

1.经历建立二次函数模型的过程,体会二次函数的意义.

2.会确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.

3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.

1.经历从实际问题中建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会数学与生活密切相关.

2.通过进一步体验用数学方法描述变量之间的数量关系,提高学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.

3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

1.通过对一些实际问题中两个变量之间关系的探究,进一步增强用数学方法解决实际问题的能力.

2.让学生经历二次函数概念的形成过程,提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力.

3.通过探索实际问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.

【重点】

理解二次函数的意义;能根据实际问题中的条件确定二次函数的表达式.

【难点】

经历建立二次函数模型的过程,体验用二次函数表示变量之间的关系.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】　预习教材P26~27.

导入一:

出示投篮图片:

【导入语】　如果一种函数的图像就如投出的篮球在空中划过的一条抛物线,我们一定会觉得很有趣.这种函数就是这章要学习的二次函数.

[设计意图]　通过欣赏图片,让学生初步感受二次函数的存在以及二次函数的图像是一条抛物线,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.

导入二:

思考:

1.什么是一次函数、反比例函数?

2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么关系?

y是x的函数吗?

这个函数是我们前面学习过的函数吗?

3.我们探究一次函数、反比例函数时的思路是什么?

[设计意图]　通过复习一次函数、反比例函数的概念及探究思路,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.

　　[过渡语]　我们学习一次函数、反比例函数时,在实际问题中抽象出函数的概念,然后研究它们的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数.

一起探究

（课件展示）

1.如图所示,用规格相同的正方形瓷砖铺成矩形地面,其中,横向瓷砖比纵向瓷砖每排多5块,矩形地面最外面一圈为灰色瓷砖,其余部分全为白色瓷砖.设纵向每排有n块瓷砖.

思路一

教师引导学生思考并回答:

（1）设灰色瓷砖的总数为y块.

①用含n的代数式表示y,则y=　　　　. 

②y与n具有怎样的函数关系?

（2）设白色瓷砖的总数为z块.

①用含n的代数式表示z,则z=　　　　. 

②z是n的函数吗?

说说理由.

【师生活动】　学生在教师的引导下,独立思考,小组内交流答案,学生代表回答问题后,教师点评并分析建立函数模型的关键是找等量关系.

（板书）

（1）y=4n+6,一次函数.

（2）z=n2+n-6,z是n的函数.

思路二

思考:

（1）在实际问题中抽象出函数关系的关键是什么?

（2）设灰色瓷砖的总数为y块,白色瓷砖的总数为z块,你能分别找到y与n,z与n之间的等量关系吗?

（3）你能根据以上等量关系分别用含n的代数式表示y,z吗?

（4）y与n、z与n之间是函数关系吗?

如果是,是什么函数关系?

如果不是,请说明理由.

【师生活动】　学生独立思考后,小组讨论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示讨论结果,教师及时补充并归纳建立函数模型的关键是找等量关系.

（板书）

（3）y=4n+6,一次函数.

（4）z=n2+n-6,z是n的函数.

（课件展示）

2.某企业今年第一季度的产值为80万元,预计产值的季平均增长率为x.

思路一

教师引导分析:

（1）设第二季度的产值为y万元,则y=　　　　.设第三季度的产值为z万元,则z=　　　　. 

（2）y,z都是x的函数吗?

它们的表达式有什么不同?

【师生活动】　学生在教师的引导下思考并回答问题,教师点评并板书.

（板书）

（1）y=80x+80,一次函数.

（2）z=80x2+160x+80,z是x的函数.

思路二

思考:

（1）设第二季度的产值为y万元,第三季度的产值为z万元,你能用含x的代数式分别表示y,z吗?

（2）y,z都分别是x的函数吗?

【师生活动】　学生思考后,小组内交流答案,学生板书,教师点评.

（板书）

（1）y=80x+80,一次函数.

（2）z=80x2+160x+80,z是x的函数.

[设计意图]　通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做好铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

形成概念

观察下面两个函数:

z=n2+n-6,z=80x2+160x+80,

思考:

（1）这两个函数与我们学过的函数有什么不同?

（2）这两个函数的自变量x的最高指数分别是多少?

（3）你能说出函数表达式右边的二次项,一次项,常数项及二次项系数,一次项系数吗?

（4）通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?

【师生活动】　学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳二次函数的概念.

（课件展示）

一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成y=ax2+bx+c（a,b,c是常数,且a≠0）,那么称y为x的二次函数.其中,a叫做二次项系数,b叫做一次项系数,c叫做常数项.

思考:

（1）二次项系数能不能为0?

一次项系数和常数项呢?

为什么?

（2）如何判断一个函数是不是二次函数?

（3）二次函数的一般形式与一元二次方程的一般形式有什么关系?

（4）函数y=x2+2x+,y=-x2+x+5,y=3x2,y=-x2+6是不是二次函数?

【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,学生回答问题后,师生共同归纳二次函数的特征:

（课件展示）

（1）函数表达式的右边是整式形式;

（2）自变量的最高指数是2;（3）二次项系数不为0.

[设计意图]　通过老师设计的问题串,学生观察、思考、交流,类比已学过的函数,抽象出二次函数的本质特征,归纳出二次函数的一般形式,学生经历概念的形成过程,达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.

大家谈谈

（课件展示）

1.请分别指出上面出现的二次函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.

2.谈谈一次函数、反比例函数、二次函数有什么不同.

【师生活动】　学生独立思考后,小组内合作交流,小组代表回答,其他学生补充,教师点评.

[设计意图]　通过思考回答问题,加深对二次函数有关概念的理解和掌握,与前面学过的函数的概念相比较,让学生学会总结前后知识的联系.

例题讲解

　　[过渡语]　我们通过实例归纳总结了二次函数的定义,试试能不能解决下列问题..

（课件展示）

例1　（补充）若y=（m+1）是二次函数,则m的值为　　　　. 

【师生活动】　学生独立完成后,小组内交流答案,教师讲解分析过程并强调易错点.

解:

∵二次函数的自变量x的最高指数是2,∴m2-6m-5=2,由二次项系数不为0,得m+1≠0,解得m=7.

【易错点】　常忽略二次项系数不为0.

做一做

新学期开学,全班同学见面时相互亲切握手问候.设全班有m名同学,每两人之间都握手一次,用y表示全班同学握手的总次数.

（1）请用含m的代数式表示y,说明y是m的二次函数,指出该函数中对应的a,b,c的值.

（2）若全班有45名同学,则这样握手的总次数是多少?

教师引导分析:

全班共有　　　　人,每个人要与　　　　人握手一次,则每两人之间都握手一次共握手　　　　次,则y与m的函数关系式为　　　　. 

【师生活动】　学生在教师的引导下思考,然后独立完成解答,小组内交流答案,学生展示结果后教师点评.

[设计意图]　通过例题加深对二次函数的有关概念的理解和掌握,同时体会在实际问题中建立函数模型,通过等量关系列函数表达式、简单例题的分析与解答,既帮助学生对概念有了完整的认识,又让学生体验到成功的快乐,激发学生学习数学的兴趣.

[知识拓展]　1.根据实际问题列二次函数的表达式应注意:

（1）正确辨别自变量与因变量;

（2）确保找到正确的等量关系;（3）将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c（a≠0）的形式;（4）确保自变量有意义.

2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0.

3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,且a≠0）的形式,因此把y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,且a≠0）叫做二次函数的一般式.

4.当a≠0时,y=ax2+bx+c才是二次函数.当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.

5.在y=ax2+bx+c（a≠0）中,x的取值范围是全体实数.

6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么就将其转化成一元二次方程了.

1.二次函数的概念:

形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数,且a≠0）的函数叫做二次函数.

2.二次函数满足的条件:

（1）函数表达式的右边是整式形式;

（2）自变量的最高指数是2;（3）二次项系数不为0.

3.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中x取任意实数,但在实际问题中要有实际意义.

4.根据实际问题写出函数表达式:

认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列函数表达式.

1.下列各式中,y是x的二次函数的是（　　）

　　A.y=2x+1B.y=-2x+1

C.y=x2+2D.y=ax（a≠0）

解析:

选项A,B,D中自变量x的最高指数都是1,是一次函数,只有选项C符合二次函数的定义.故选C.

2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是（　　）

A.1,-3,5B.1,3,5

C.5,3,1D.5,-3,1

解析:

二次函数中二次项系数为5,一次项系数为-3,常数项为1.故选D.

3.若y=（m+2）是二次函数,则m的值为　　　　. 

解析:

根据二次函数的定义,得m2-2=2,且m+2≠0,解得m=2.故填2.

4.若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）之间的关系式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为　　　　. 

解析:

把t=4代入函数表达式,得s=5×16+2×4=88.故填88米.

5.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.

（1）正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系;

（2）圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系;

（3）某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系;

（4）某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,试写出两年后的产量y（台）与x的函数关系式.

解:

（1）S=6a2,二次函数.

（2）y=π=,二次函数.

（3）y=10000+10000×1.98%x=10000+198x,一次函数.

（4）y=30（1+x%）2,二次函数.

30.1　二次函数

一起探究

形成概念

大家谈谈

例题讲解

做一做

一、教材作业

【必做题】

教材第27页习题A组的1,2,3题.

【选做题】

教材第28页习题B组的1,2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列函数是二次函数的是（　　）

A.y=2x2+9B.y=mx2+2x-1

C.y=2x2++1D.y=

2.若y=（m2+m）-1是关于x的二次函数,则（　　）

A.m=-1或m=3B.m≠-1且m≠0

C.m=-1D.m=3

3.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为（　　）

A.1B.-2C.7D.-6

4.若函数y=4x2+1的函数值为5,则自变量x的值应为（　　）

A.1B.-1C.±1D.

5.二次函数y=2x（x-1）的二次项系数是　　　　,一次项系数是　　　　,常数项是　　　　. 

6.如果函数y=（a-1）x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是　　　　. 

7.菱形的两条对角线长度的和为26cm,则菱形的面积S（cm2）与一条对角线长x（cm）之间的函数关系式为　　　　. 

8.若y=（m+1）-2x+3是y关于x的二次函数,求m的值.

9.在如图所示的一张长、宽分别为50cm和30cm的矩形铁皮的四个角上,各剪取一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为xcm,长方体铁皮箱的底面积为ycm2.

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）写出自变量x的取值范围;

（3）当x=5cm时,求铁皮箱的底面积.

【能力提升】

10.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　）

A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行使的时间的关系

B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系

C.矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系

D.圆的周长与半径之间的关系

11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现:

这种商品的销售量m（件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元）之间的函数关系式,y是x的二次函数吗?

【拓展探究】

12.如图所示,用同样规格的正方形白色瓷砖铺设矩形形状的地面,请观察下列图形并解答有关问题:

（1）在第n个图形中,每一横行共有　　　　块瓷砖,每一竖列共有　　　　块瓷砖（均用含n的代数式表示）; 

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与

（1）中的n的函数关系式;

（3）按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值.

【答案与解析】

1.A（解析:

B中的函数当m=0时不是二次函数;C,D中的函数表达式的右边不是整式的形式,所以不是二次函数.故选A.）

2.D（解析:

由题意,得m2-2m-1=2且m2+m≠0,解得m=3.故选D.）

3.B（解析:

∵二次项系数为2,常数项为-4,∴2+（-4）=-2.故选B.）

4.C（解析:

由题意有4x2+1=5,解得x=±1.故选C.）

5.2　-2　0（解析:

化简可得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.）

6.a≠1（解析:

因为二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.）

7.S=-x2+13x（解析:

根据题意可得菱形的另一条对角线的长为26-x,由菱形的面积公式可得S=x（26-x）=-x2+13x.）

8.解:

∵y=（m+1）-2x+3是y关于x的二次函数,∴m+1≠0且m2+1=2,∴m=1.

9.解:

（1）根据题意,有y=（50-2x）（30-2x）=4x2-160x+1500.　

（2）根据实际意义2x<30,即x<15.又x>0,所以自变量的取值范围是0

10.C（解析:

设矩形周长为a,其中一边长为x,则另一边长为-x,则面积S=x=-x2+x,是二次函数.故选C.）

11.解:

由题意可知,该商品每件的利润为（x-30）元.则依题意,得y=（162-3x）（x-30）,即y=-3x2+252x-4860,由此可知y是x的二次函数.

12.解:

（1）（n+3）　（n+2）　

（2）由题意有,y=（n+3）（n+2）,整理得y=n2+5n+6.　（3）由题意,得（n+3）（n+2）=506,解得n1=-25（舍去）,n2=20,∴n的值为20.

本节课由实际问题导入新课,引导学生经历问题情景——建立数学模型——归纳总结的过程,掌握二次函数的有关概念.一起探究实际生活中的函数表达式时,教师把问题设计成问题串的形式,降低学生的理解难度,让学生体验成功的快乐.在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作学习中获取知识的形成过程,激发学生的学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人合作,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识.

本节课经历从实际问题中建立函数模型,形成二次函数的概念,由于前面的学习经历了一次函数、反比例函数概念的形成过程,误认为学生类比前面的探究思路,通过自主学习会掌握二次函数的有关概念,所以在一起探究二次函数的知识形成时,过于急躁,造成概念中的细节问题掌握不牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏了学习数学知识的严谨性.所以课堂上要重视探究知识的过程,淡化某个问题的结论.

二次函数是一种常见的函数,许多实际问题往往可以建立二次函数的模型加以研究.在教学中要重视二次函数概念的形成和建构,在概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程,让学生在探究过程中亲自去“做”,在“做”中感悟这类函数的特征,从而掌握二次函数的概念.在探究过程中给学生交流的时间和空间,培养学生与他人合作的精神,提高分析问题、解决问题的能力.例题的讲解教师要放手让学生思考、交流、展示,让学生成为课堂的主人.

练习（教材第27页）

1.解:

（1）a=-5,b=3,c=1.　

（2）因为y=（x+1）2-1=x2+2x,所以a=1,b=2,c=0.　（3）a=-1,b=0,c=6.

2.解:

y=x（x-2）=x2-2x,y是x的二次函数,且a=1,b=-2,c=0.

习题（教材第27页）

A组

1.解:

（1）

（2）（5）（6）是二次函数.

2.解:

y=x2,y是x的二次函数.

3.y=120（1-x）2=120x2-240x+120.

B组

1.解:

如下表所示:

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=x2+2x+3

18

11

6

3

2

3

6

11

18

y=-2x2

-4x+9

-21

-7

3

9

11

9

3

-7

-21

2.解:

当x=4或x=-6时,y的值是27.

建立数学模型,类比归纳概