一元二次方程导学案.docx
《一元二次方程导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元二次方程导学案.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
一元二次方程导学案
21．1一元二次方程
（1）
目标：
1.了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
2．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
3．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
重点：
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点（关键）：
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
一、预学：
问题1要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？
分析：
设雕像下部高xm，则上部高________,得方程--------------------------
整理得-------------------------------①
问题2如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：
设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为______,宽为________.得方程---------------------------整理得---------------------②
问题3要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：
全部比赛的场数为___________
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共__________场。
列方程_____________________；化简整理得_______________________③
请口答下面问题：
（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？
___________
（2）它们最高次数分别是几次？
___________
方程①②③的共同特点是：
这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.
1.一元二次方程:
_____________________________________________
2.一元二次方程的一般形式:
____________________________
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。
（注意：
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
二次项系数
是一个重要条件，不能漏掉。
）
二、互学
1.例将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
2:
判断下列方程是否为一元二次方程，为什么？
3、要使
是一元二次方程，则k=_______.
4、已知关于x的一元二次方程
有一个解是0，求m的值。
三、评学
1.小结:
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。
3．关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
为什么？
21．1一元二次方程
（2）
目标：
1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．
重点：
判定一个数是否是方程的根；
难点：
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
一、预学
1、一元二次方程的一般形式:
____________________________
2、探究
问题:
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
分析：
设苗圃的宽为xm，则长为_______m．
根据题意，得___________________．
整理，得________________________．
1）下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4,5,6,7,8,9,10
2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
3）将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？
4）虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
5）练习：
1.你能想出下列方程的根吗？
（1）x2-36=0
（2）4x2-9=0
2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。
二、互学
例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。
例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）
（2）
（3）
随堂训练
1.写出下列方程的根：
（1）9x2=1
（2）25x2-4=0（3）4x2=2
2.下列各未知数的值是方程
的解的是（）
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
3.已知方程
的一个根是1，则m的值是______
4.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？
5..如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．
6..一元二次方程
的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________
7..写出一个以
为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：
__________。
8..已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
9..若关于X的一元二次方程
的一个根是0，a的值是几？
你能得出这个方程的其他根吗？
10.若
，则
______。
已知m是方程
的一个根，则代数式
________。
三、评学
1：
归纳小结
1）.使一元二次方程成立的______的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的________。
2）.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________
2、检测：
21.2直接开平方法解一元二次方程
（1）
目标:
1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2.运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．、．
重点：
运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
难点：
通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
一、预学
1、阅读教材第5页至第6页的部分，完成以下问题
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？
我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
-------------------
2、计算：
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2=8
（2）（2x-1）2=5（3）x2+6x+9=2
（4）4m2-9=0（5）x2+4x+4=1（6）3（x-1）2-9=108
解一元二次方程的实质是:
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
归纳：
如果方程能化成的形式，那么可得
二、互学
例1、用直接开平方法解下列方程：
（1）（3x+1）2=7
（2）y2+2y+1=24（3）9n2-24n+16=11
练习：
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）3（x-1）2-6=0
（2）x2-4x+4=5（3）9x2+6x+1=4
（4）36x2-1=0（5）4x2=81（6）（x+5）2=25
（7）x2+2x+1=4
2．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2
3．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3B．-3C．±3D．无实数根
4.若8x2-16=0，则x的值是_________．
5．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
6．如果a、b为实数，满足
+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、评学
1、归纳小结：
应用直接开平方法解形如，那么可得达到降次转化之目的．
2、检测:
21.2配方法解一元二次方程
（2）
目标:
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：
讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
难点：
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
一、预学
1、阅读教材第6页至第7页的部分，完成以下问题
解下列方程：
（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9
2、填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；
（2）x2-x+_____=（x-_____）2
（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2
问题：
要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考：
1）、以上解法中为什么在方程x2+6x=16两边加9？
加其他数行吗？
2）、什么叫配方法？
3）、配方法的目的是什么？
4）、配方法的关键是什么？
3、用配方法解下列关于x的方程
（1）2x2-4x-8=0
（2）x2-4x+2=0（3）x2-
x-1=0（4）2x2+2=5
总结：
用配方法解一元二次方程的步骤：
二、互学
例1用配方法解下列关于x的方程：
（1）x2-8x+1=0
（2）2x2+1=3x（3）3x2-6x+4=0
练习：
（1）x2+10x+9=0
（2）x2-x-
=0
（3）3x2+6x-4=0
（4）4x2-6x-3=0（5）x24x-9=2x-11（6）x（x+4）=8x+12
2、填空：
（1）x2+10x+______=（x+______）2；
（2）x2-12x+_____=（x-_____）2
（3）x2+5x+_____=（x+______）2．（4）x2-
x+_____=（x-_____）2
3．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．
A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-34．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11
5．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．
A．1B．-1C．1或9D．-1或9
6．如果x2-4x+y2+6y+
+13=0，求（xy）z的值．
三、评学
1、归纳小结：
用配方法解一元二次方程的步骤：
2、随堂检测：
P9T2P17T2
21.2.用公式法解一元二次方程（3）
目标：
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：
求根公式的推导和公式法的应用．
难点：
一元二次方程求根公式法的推导．
一、预学
阅读教材第9页至第10页的部分，完成以下问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0
（2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
-------------------------
2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题：
已知ax2+bx+c=0（a≠0）试推导它的两个根x1=
x2=
分析：
因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：
移项，得：
，
二次项系数化为1，得
配方，得：
即
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
（1）b2-4ac＞0，则
＞0
直接开平方，得：
即x=
∴x1=，x2=
（2）b2-4ac=0，则
=0此时方程的根为即一元二次程
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个的实根。
（3）b2-4ac＜0，则
＜0，此时（x+
）2＜0，而x取任何实数都不
能使（x+
）2＜0，因此方程实数根。
由上可知：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根。
（2）x=
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根，也可能有实根或者实根。
（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ=b2-4ac
二、互学
例2、用公式法解下列方程．
（1）x2-4x-7=0
（2）2x2-
x+1=0（3）5x2-3x=x+1（4）x2+17=8x
练习：
1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。
3、方程x2-4x+4=0的根的情况是（）
A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根
C.有一个实数根D、没有实数根
4、用公式法解下列方程．
（1）x2+x-6=0
（2）x2-
x-
=0（3）3x2-6x-2=0
（4）4x2-6=0（5）x2+4x+8=4x+11（6）x（2x-4）=5-8x
三、评学
1、归纳小结：
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．
2、检测：
21.2因式分解法（4）
目标：
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
重点:
应用分解因式法解一元二次方程
难点：
灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
一、预学
1、将下列各题因式分解
am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=
因式分解的方法：
2、解下列方程．
（1）2x2+x=0（用配方法）
（2）3x2+6x=0（用公式法）
二、互学
1、探究：
仔细观察上面两方程特征，除配方法或公式法外，你能找到其它的解法吗？
2、归纳：
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，再使_________________________，从而实现_________________，
这种解法叫做__________________。
（2）如果
，那么
或
，这是因式分解法的根据。
如：
如果
，那么
或_______，即
或________。
练习1、说出下列方程的根：
（1）
（2）
练习2、用因式分解法解下列方程：
（1）x2-4x=0
（2）4x2-49=0（3）5x2-20x+20=0
3、例1：
用因式分解法解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
4、课堂练习：
（1）方程
的根是
（2）方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________
（3）方程（x-1）（x-2）=0的两根为x1、x2，且x1>x2，则x1-2x2的值等于___
（4）若（2x+3y）2+4（2x+3y）+4=0，则2x+3y的值为_________．
（5）若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）
A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0
C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=0
（6）方程（x+4）（x-5）=1的根为（）
A．x=-4B．x=5C．x1=-4，x2=5D．以上结论都不对
三、评学
1、归纳小结：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程右边化为
（2）将方程左边分解成两个一次因式的
（3）令每个因式分别为，得两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
2、随堂检测：
21.2解一元二次方程（5）
目标：
1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法
2、选择合适的方法解一元二次方程
重点：
用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程
难点：
选择合适的方法解一元二次方程
一、预学
1、解一元二次方程的基本思路是：
将二次方程化为一次方程，即降次
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称
理论根据
适用方程的形式
直接开平方法
平方根的定义
或
配方法
完全平方公式
所有的一元二次方程
公式法
配方法
所有的一元二次方程
因式分解法
两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0
一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法
练习一：
分别用三种方法来下方程
（1）x2-2x-8=0
（2）3x2-24x=0
用因式分解法：
用配方法：
用公式法：
用因式分解法：
用配方法：
用公式法：
练习二：
你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0；（你用_____________法）
（2）x2－2x＝0；（你用_____________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用_____________法）
（4）x2－6x＋1＝0；（你用_____________法）
（5）3x2＝4x－1；（你用_____________法）
（6）3x2＝4x.（你用_____________法）
二、互学
1、解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；
（2）
（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（4）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
1）用适当的方法解下列方程
（1）9（x-2）2=1
（2）x2+2x+1=4（3）
⑷
（5）3x2+6x-4=0
⑹
（7）
2）、当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；
（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
3）、已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
4）、已知（x2+y2）（x2+y2-1）-6=0，则x2+y2的值是（）
（A）3或-2（B）-3或2（C）3（D）-2
5）、试求出下列方程的解：
（x
-x）
-5（x
-x）+6=（0
三、评学：
1、小结
2、检测：
21.2一元二次方程根与系数的关系（6）
目标：
1．理解并掌握根与系数关系：
，
；
2．会用根的判别式及根与系数关系解题.
重点：
理解并掌握根的判别式及根与系数关系.
难点：
会用根的判别式及根与系数关系解题；
一、预学：
1、阅读P15—16完成课前预习
（1）一元二次方程的一般式：
（2）一元二次方程的解法：
（3）一元二次方程的求根公式：
2、探究1：
完成下列表格
方程
2
5
x2+3x-10=0
-3
问题：
你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
②x2+px+q=0的两根
用式子表示你发现的规律。
探究2：
完成下列表格
方程
2x2-3x-2=0
2
-1
3x2-4x+1=0
1
问题：
上面发现的结论在这里成立吗？
请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
②ax2+bx+c=0的两根
用式子表示你发现的规律。
3、利用求根公式推到根与系数的关系
ax2+bx+c=0的两根
=,
=
=
=
练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1）
（2）
（3）
2、互学：
例1：
不解方程，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2-6x-15=0
（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2
例2：
已知方程
的一个根是-3，求另一根及K的值。
例3:
已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值
升级会员 