一元二次方程导学案.docx
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一元二次方程导学案
第1课时21.1.一元二次方程
（1）
班级姓名
一、学习目标
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、学习重点、难点
重点：
建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。
难点：
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。
三、学习过程
（一）知识准备：
（1）多项式3x2y-2x-1是次项式,其中最高次项是,二次项系数为,
一次项系数为,常数项为。
（2）叫方程,我们学过的方程类型有。
（二）探究学习：
1.教材24页章前引言问题：
设雕像下部高为xcm，则上身表示为，
表示题目的相等关系为，可列方程为，
方程化简为。
①
2.教材25页问题1：
设正方形边长为xcm，则盒底长可以表示为，
表示题目的相等关系为，可列方程为，
方程化简为。
②
3.教材25页问题2：
设应邀请x个对参赛，则每个队参赛场，全部比赛共场，
表示题目的相等关系为，可列方程为，
方程化简为。
③
问题：
以上方程①②③有什么共同特点？
（1）方程两边都是；（整式、分式）
（2）方程都是含个未知数；
（3）未知数的最高次数是。
归纳：
（1）一元二次方程的定义：
等号两边都是，只含有个求知数（一元），并且求知数的最
高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下
形式：
（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。
【注意】
①方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是方程了。
所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
（三）知识应用:
1、下列方程是一元二次方程的是有：
（1）
，
（2）（x+1）（x-1）=0，（3）
，（4）
，
（5）
，（6）
（7）
（8）
2、参照教材P26例题，解答：
①一元二次方程
化为一般形式是：
；其二次项是：
；
一次项是：
；常数项是：
.
②把方程
化为一般形式为：
；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是.
3、若
是关于x的一元二次方程，则（）.
Am≠0，n=3Bm≠3，n=4Cm≠0，n=4Dm≠3，n≠0
4、由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？
设平均每次下调的百分率为
，则根据题意可列方程为．
5、如图所示，在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为
cm，那么
满足的方程是（）
A．
B．
C．
D．
6、已知：
关于x的方程
.
（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程.
（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程.
第2课时21.1.一元二次方程
（2）
一元二次方程的根班级姓名
一、学习目标
1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。
2、会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
二、学习重点、难点
重点：
一元二次方程解的探索。
难点：
一元二次方程近似解的探索。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1、把方程3x（x－1）=2（x+2）+8化成一般形式是___________，它的二次项系数是_______、
一次项系数是_______及常数项是_______。
2、判断下列方程哪些是一元二次方程？
为什么？
①x2+4x+
=0②x2+3x－2=x2③x2－2xy－3=0④ax2+bx+c=0
答：
（二）阅读教材27页解答下列问题：
1、下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即：
使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。
3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：
（1）
（－7,－6,－5,5,6,7）
（2）
（三）、注意点：
1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解。
（四）、巩固练习：
1、方程x（x-1）=2的两根为（）．
A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2
2、根据表格确定方程
=0的解的范围____________
x
1.0
1.1
1.2
1.3
0.5
-0.09
-0.66
-1.21
3、（2013四川宜宾）已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为________．
A．
-3
B．
3
C．
0
D．
0或3
4、（2013黑龙江）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值等于_______．
A．
2008
B．
2012
C．
2014
D．
2018
5．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）．
A.若x2=4，则x＝2
B.方程x（2x－1）＝2x－1的解为x＝1
C.若x2+2x+k=0的一个根为1，则
D.若分式
的值为零，则x＝1，2
6、（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）
A．
1
B．
﹣1
C．
0
D．
﹣2
7、已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+5x+m2-4=0的一个根为0，则m的值等于_______．
8、如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．
第3课时21.2.1.配方法
（1）
班级姓名
一、学习目标
1、理解一元二次方程“降次”的转化思想。
2、根据平方根的意义解形如
的一元二次方程，然后迁移到解
型的一元二次方程．
二、学习重点、难点
重点：
运用直接开平方法解形如
的一元二次方程。
难点：
通过根据平方根的意义解形如
的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如
的方程．
三、学习过程
（一）复习回顾：
1.如果有，则x叫a的平方根，也可以表示为x＝．
2.将下列各数的平方根写在旁边的括号里
A：
9（）；5（）；
（）；
B：
8（）；24（）；
（）；C：
（）；1.2（）．
3.如果
，则x＝________．
（二）自主学习：
1、自学教材第5页问题1
问题中设一个盒子的棱长为x,则10个正方体的表面积为,表示题目中的等量关系是
由此列方程为.
方程整理得:
根据平方根的定义可得方程的解为:
根据题意得盒子的棱长为.
2.【归纳】一般地,对于方程
可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。
（1）当p>0时,方程
有两个的实数根是;
（1）当p=0时,方程
有两个的实数根是;
（1）当p<0时,方程
实数根.
（三）探究学习
1、对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?
方程（x+3）2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为
__________，
即将方程变为
和
______两个一元一次方程，
从而得到方程（x+3）2=5的两个解为x1=______________，x2=______________。
2.【归纳】
（1）在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两，这样问题就容易解决了。
（2）“降次”的方法是,依据是,
“降次”的实质是,
“降次”体现了思想.
三、巩固练习
1．下列解方程的过程中，正确的是（）
（A）x2＝—2,解方程，得x＝±
（C）4（x—1）2＝9,解方程，得4（x—1）＝±3,x1＝
;x2＝
（B）（x—2）2＝4,解方程，得x—2＝2,x＝4（D）（2x＋3）2＝25,解方程，得2x＋3＝±5,x1＝1;x2＝—4
2．用直接开平方法解下列方程：
⑴2x2-8=0;
（2）9x2-5=3;
（3）
（4）3（x-1）2-6=0;
（5）x2-4x+4=5;（6）9x2+5=1.
第4课时21.2.1.配方法
（2）
班级姓名
学习目标
1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为
形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，体会转化的思想方法。
学习重点、难点
重点：
掌握配方法解一元二次方程。
难点：
配方。
学习过程
一复习回顾：
1、填空：
（1）x2+8x+__=（x+_）2；
（2）x2-4x+___=（x-__）2；（3）x2-6x+=（x-）2．
由上面等式的左边可知，完全平方式中当二次项系数为1时常数项和一次项系数的关系
是：
。
2、用直接开平方法解方程：
（1）
（2）
;（3）
二探究学习：
1.怎样解方程x2+6x+4=0?
能用直接开平方法求解吗？
为什么？
2.能否将方程x2+6x+4=0转化为直接降次的形式求解呢?
x2+6x+4=0
移项
x2+6x=（）
配方
x2+6x+（）=-4+（）方程两边加其它数行吗？
为什么？
左边写成完全平方式
（）2=（）
降次
（）=（）
解一元一次方程
x1=（）,x2=（）
3.归纳：
（1）通过配成来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
（2）配方是为了，把一个一元二次方程化为两个方程来解。
（3）用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①：
把常数项移到方程右边；
②：
在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边为完全平方；③利用直接开平方法解之。
4、自学课本P33例1思考下列问题：
（1）看例题中的配方是否都是两边加上一次项系数一半的平方？
（2）方程
（2）、（
3）的二次项系数与方程
（1）的二次项系数有什么区别？
为了便于配方应怎样处理？
（3）方程（3）为什么没有实数解？
5.归纳:
（1）利用配方法解方程时一般应该遵循的步骤:
①把方程化为一般形式；②把方程的项通过移项移到方程的右边；
③化系数为1；④方程两边同时加上的平方；
⑤把方程的左边写成，
⑥如果方程右边是数，两边直接开平方求解，如果方程右边是，则原方程无解。
（2）一般地,如果一元二次方程通过配方转化为（x+n）2=p的形式,那么就有:
①）当p>0时,方程（x+n）2=p有两个的实数根是;
②当p=0时,方程（x+n）2=p有两个的实数根是;
③当p<0时,方程（x+n）2=p实数根.
三．巩固练习：
1、（2013山东省临沂市）用配方法解一元二次方程
时，此方程可变形为（）
A.
B.
C.
D.
2、（2013四川宜宾）将代数式x
+6x+2化成
的形式为（）
A．
B．
C．
D．
3、用配方法解下列方程：
（1）x2+10x+9=0；
（2）
；（3）3x2+6x-4＝0;
（4）4x2-6x-3=0.（5）x2+4x-9=2x-11;（6）x（x+4）=8x+12.
四.课外作业（拓展）求证：
不论a取何值，a2-a+1的值总是一个正数。
第5课时21.2.2.公式法
（1）
班级姓名
一、学习目标
1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0；
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
二、学习重点、难点
重点：
求根公式的推导和公式法的应用。
难点：
一元二次方程求根公式法的推导。
三、学习过程
一、复习巩固
用配方法解方程4x2-6x-3=0
二、新知探究
1.用配方法解方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）
解：
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，
方程左边写成平方式，
∵a≠0,∴4a20,有以下三种情况：
（1）当b2-4ac>0时，
；
。
（2）当b2-4ac=0时，
。
（3）b2-4ac<0时，方程根的情况为。
2.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）式子
叫做方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）根的，通常用字母“△”表示。
当△0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根；
当△0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根；
当△0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）实数根。
（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c=0，当
≥0时，将a、b、c代入式子
就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，
利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
【注意】①公式法是解一元二次方程的一般方法.②公式法是配方法的一般化和格式化。
配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。
③用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：
将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；式子b2-4ac≥0是公式的一部分。
3.公式法解一元二次方程（仔细阅读课本P11-12页例2解答过程，讨论如何用公式法解一元二次方程？
）
解一元二次方程的步骤：
（1）；
（2）；
（3）；（4）。
三.巩固练习
解下列方程：
（1）x2+x-6=0;
（2）x2-
x-
=0;（3）3x2-6x-2=0;
（4）4x2-6x=0;（5）x2+4x+8=4x+11;（6）x（2x-4）=5-8x.
第6课时21.2.2.公式法
（2）
一元二次方程根的判别式班级姓名
学习目标：
1.了解掌握根的判别式；
2.不解方程能判定一元二次方程根的情况；
3.会用根的判别式解决实际问题。
学习重点：
用根的判别式解决实际问题；
学习难点：
根的判别式的发现；
一．学前准备
1．请同学们用公式法求解下列方程：
2.把______叫做一元二次方程
的根的判别式，常用符号_____来表示。
3.一般地，方程
当_____时，有两个不相等的实数根；
当_______时，有两个相等的实数根；
当_______时，没有实数根。
4.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）
A.
B.
C.
D.
二．探究学习
探究一元二次方程
的根的判别式的性质逆用
再次阅读教材10-12页思考并交流：
1.当方程
有两个不相等的实数根时，能得到b2-4ac>0吗？
2.当方程
有两个相等的实数根时，能得到b2-4ac=0吗？
3.当方程
没有实数根时，能得到b2-4ac<0吗？
归纳总结：
△=>0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有的实根；
△=b2-4ac0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有的实根；
△=b2-4ac0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）实数根。
提示：
一元二次方程的根的判别式的应用
1.不解方程判断方程根的情况；
2.根据方程根的情况求方程中未知系数字母的取值。
三．巩固练习
1.（2014•四川自贡）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）
A．
有两个不相等的实数根
B．
有两个相等的实数根
C．
只有一个实数根
D．
没有实数根
2．关于x的一元二次方程x2＋（m－2）x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是.
3.（2013襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2－
x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。
4.（2014•益阳）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）
A．
m＞1
B．
m=1
C．
m＜1
D．
m≤1
5.（2014•广西贺州）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+
=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．
6．（2013山东德州）若关于x的方程
有实数解，那么实数a的取值范围是__________．
7.（2014•扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+
=0有两个相等的实数根，求k的值．
8.（20XX年广东汕尾）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
第7课时21.2.3.因式法解法
班级姓名
一、学习目标
1、使学生理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、使学生会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，从而提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重点、难点
重点：
用因式分解法一元二次方程。
难点：
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。
三、学习过程
（一）复习回顾：
1．把下列各式因式分解.
（1）x2－4x=______
（2）x＋3－x（x＋3）=______（3）（2x－1）2－x2=______________
2．解方程x2+2x-3=0
（1）用配方法解:
（2）用公式法解:
（二）自主学习：
1.自学教材P12——14，回答以下问题。
（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为___________________________________的形式，
再使____________________________，从而实现__________，这种解法叫做__________________。
（2）如果
，那么_____________________，这是因式分解法的根据。
如：
如果
，那么
或______________，即
或_______________。
（3）仔细阅读教材例3．归纳总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①通过___________把一元二次方程右边化为0；
②将方程左边分解为两个一次因式的______;
③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程;
④解，它们的解就是原方程的解。
注意点：
（1）因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边能进行因式分解而右边是0的一元二次方程。
（2）因式分解法的根据是：
如果
，那么
或
。
据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。
（3）用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。
如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。
（三）巩固练习：
用因式分解法解下列方程：
（1）x2+3x=0
（2）x2-2
x=0；；
（3）3x2-6x=-3（4）4x2-121=0；
（5）3x（2x+1）=4x+2；（6）
第8课时一元二次方程解法小结
班级姓名
学习目标：
1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；
2.体验解决问题的方法的多样性，灵活选择解方程的方法；
3.积极探索不同的解法，并和同伴交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现最
优方法，在学习活动中获得成功的体验。
学习重点：
能根据一元二次方程的结构特点，灵活运用直接开平方法，配方法，公式法及因
式分解法解一元二次方程
学习难点：
理解一元二次方程解法的基本思想
一．学前准备
1、解一元二次方程的基本思路是：
将二次方程化为______，即______
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称
理论根据
适用方程的形式
直接开平方法
平方根的定义
配方法
完全平方公式
公式法
配方法
因式分解法
两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0
3、一般考虑选择方法的顺序是：
________法、________法、______法或______法
二．探究活动
（一）独立思考·解决问题
解下列方程：
（1）
（x+3）2-2=0；
（2）x2+2x=0;（3）3x（x-2）=2（x-2）
（4）（x+3）2=（2x-5）2;;（5）x2-
x+1=0;（6）（x-2）（x+3）=66.
（二）合作探究·解决问题
通过对以上方程的解法，你能总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？
三.巩固练习：
选择适当的方法解下列方程:
（1）x2-3x=0;
（2）x2＋2x－8＝0；（3）3x2＝4x－1；
（4）（x-2）（x-3）=6;（5）（2x-1）2=4x-2；（6）（3x-1）2=（x+5）2.
第9课时21.2.4.一元二次方程根与系数的关系
班级姓名
学习目标：
1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据；
2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；
3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
学习重点：
根与系数的关系及推导
学习难点：
正确理解根与系数的关系
一．学前准备
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？
从中你能发现什么规律？
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
+6x-16=0
-2x-5=0
2
-3x+1=0
5
+4x-1=0
二．探究活动
（一）尝试探索，发现规律：
1．若x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根，结合上表，说明两根之和x1+x2与两根之积x1·x2与系数p和q有何关系？
请你写出关系式
2．若x1、x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明两根之和两根之积x1+x2与x1·x2与系数a、b、c有何关系？
请你写出关系式
3.请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？
4.如何证明以上结论？
请证明．
归纳：
1．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
2．韦达定理：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么
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