一元二次方程导学案5yhy.docx
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一元二次方程导学案5yhy
内容：
一元二次方程定义
（1）课型：
新授讲学时间：
学习目标：
（1）抽象出一元二次方程，体会它是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
（2）理解一元二次方程的概念，一般形式
（3）培养学生的观察、类比、归纳能力。
重点：
一元二次方程的概念及一般形式。
难点：
从实际问题中抽象出一元二次方程；正确识别一般式中的“项”和“系数”。
学习过程：
一、课前预测:
1、什么叫一元一次方程一般形式是
2、列方程解应用题的一般步骤是
3、一矩形周长为24cm，长比宽大5cm，求矩形的长和宽。
解：
设矩形的宽为xcm，则长为，
列方程
化成一般形式
二、课堂探究
1、一元二次方程定义
根据下列问题，列出关于x的方程，并化成最简单的形式填入下表：
问题1一矩形面积24cm2,长比宽大5cm，求矩形的长和宽。
设矩形的宽为为xcm，则长为cm
问题2如图，有一块矩形铁皮，长100cm,宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么，铁皮各角应切去多大的正方形？
设正方形的边长为xcm
问题3要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
设应邀请x个队参加
问题4要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部高的比，雕像的下部应设计为多高？
雕像的下部应设计为xm高
根据要求填表
列方程
化成最简形式
问题1
问题2
问题3
问题4
★观察上述所得的方程：
你发现他们有什么共同的特点：
★一元二次方程的定义
★请写出三个一元二次方程的例子
★判断下列方程哪些是一元二次方程，哪些不是
①x2+2x－4=0②4x2=9
③x2+3x=0④3y2－5y=7
⑤（x+2）2=（x－1）2⑥mx2－3x+2=0（m是系数）
⑦
⑧
2、一元二次方程一般形式
一元二次方程一般形式
二次项系数的取值范围:
__________为什么？
______________
★将方程3x（x－1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式:
__________二次项系数:
_____,一次项系数，常数项:
____________
★口答上表中一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项
3、课堂小结：
①本节课你学到了什么？
②你有什么疑惑的地方？
三、随堂检测：
1、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
①5x2－1=4x
②4x2=x
③4x（x+2）=25
④（3x－2）（x+1）=8x－3
2、根据下列问题，列出关于x的方程，将其化成一元二次方程的一般形式并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较
长一段的长的平方，求较短一段的长x；
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边的长x。
四、课后拓展：
1、已知关于Ｘ的方程（Ｋ－1）Ｘ
－ＫＸ＝Ｘ2－1，当Ｋ____时，原方程为一元二次方程（任写一个）。
2、已知ａ是方程Ｘ2－2006Ｘ－1＝0的一个根，求
的值。
内容：
一元二次方程定义
（2）课型：
新授讲学时间：
教学目标：
1、会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程的解的概念。
2、会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程的解的实际意义。
重点：
简单一元二次方程的试解。
难点：
让学生接受一元二次方程有两个解；实际问题中方程的解的意义。
学习过程：
一、学前准备：
1、解方程并说出方程解的定义：
①3x=2（x+5）
②
方程解的定义：
______________________________________
若x=3是方程8x－a=17的解，则a=
2、说出一元二次方程的定义
3、根据一元一次方程解的定义，你认为应该如何定义一元二次方程？
二、课堂探究：
1、上节有关排球赛问题中，我们列出了方程x2－x=56，你能发现它的解吗？
试一试，把找出的解写出来
完成下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
x2－x
…….
把你的发现说出来：
一元二次方程解（根）的定义
将x=－7代入方程x2－x=56
左边=右边
说明所以方程x2－x=56有个解
请你说出排球赛问题的答案，并说明你的理由
2、你能想出下列方程的根吗？
把答案学出来
①x2－36=0②4x2－9=0
3、试一试：
①下面那些数是方程x2－x－6=0的根？
－4－3－2－101234
②试写出方程x2－x=0的根，你能写出几个？
4、小组交流，共同探究：
对①x2－36=0②4x2－9=0③x2－x=56三个方程可能的解法在小组内进行交流，并把方程的解写下来
可注意以下几点：
①几种解法的缺陷。
（例如：
易丢负根，计算量大等）
②在实际问题中，不符合实际意义的解要舍去。
5、小结提炼：
（1）一元二次方程的解与一元一次方程解的区别与联系。
（2）试解过程中积累了那些方法、经验。
（3）说出你的收获和疑惑
三、随堂检测：
1、下列那些数是方程x2+x－12=0的根？
－4－3－2－101234
2、写出下列方程的根：
①9x2=1②25x2－4=0③4x2=2
3、三个连读整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，你能求出这三个整数分别是多少呢？
4、如果2是方程x2－c=0的一个根，那么常数c是几？
这个方程的根是几？
四、课后拓展：
1、若关于X的一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的两根中只有一个为0，则下列正确的是（ ）
Ａ、ｂ≠0，ｃ≠0 Ｂ、ｂ＝0，ｃ≠0
Ｃ、ｂ≠0，ｃ＝0 Ｄ、ｂ＝0，ｃ＝0
2、若b=a+c,求证：
一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０必有一个根是－1。
内容：
解一元二次方程（配方法1）课型：
新授课讲学时间：
学习目标：
1、会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的方程。
2、体验类比、转化、降次的数学思想方法。
3、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型，能根据具体实际意义检验结果的合理性。
重点难点：
解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的方程。
学习过程：
一、课前检测
⑴写出几个完全平方数____________,写出几个完全平方式____________
完全平方式的形式______________
⑵完全平方公式（因式分解）：
⑶平方根的定义：
二、课堂探究
1、填空：
⑴x2+8x+=（x+）2⑵y2－y+=（y－）2
⑶+4m+1=（+1）2⑷y2++36=（y+）2
⑸若a2=9,则a=⑹已知3x2=9,则x=
2、问题1一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
3、例题精讲
⑴解方程（2x－1）2=5⑵解方程x2+6x+9=2
归纳：
若方程化成x2=p（p≥0）,则可得x=；其方程化成（mx+n）2=p（p≥0），则可得x=。
4、巩固提高
⑴.解方程：
①2x2－8=0②9x2－5=3
③（x+6）2－9=0④3（x－1）2－6=0
⑤x2－4x+4=5⑥9x2+6x+1=4
⑵.某商店10月份营业额为5000元，12月份上升到7200元，求平均每月的增长率？
5、随堂小结
⑴通过本节课你掌握了什么？
⑵学会用平方根的定义来解一元二次方程。
三、随堂检测
1、填空
①x2－2x+1=（x－）2
②4a2－+9=（2a－）2
③若x2－16=0,则x=。
2、解方程
①5x2－30=0②2（x－3）2－8=0
③x2－6x+9=12④16y2－8y+1=7
3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。
我市近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）。
⑴
、根据图中所提供的信息回答下列问题：
2003年底的绿地面积为公顷，比2002年底增加了公顷；在2001年，2002年，2003年这三个中，绿地面积最多的是年；
（2）、为满足城市发展的需要，计划到2005年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试今明两绿地面积的年平均增长率。
四、课外拓展
你能证明代数式y2－6y+10的值恒大于零吗？
内容：
解一元二次方程（配方法2）课型：
新授讲学时间:
学习目标：
1、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性。
2、掌握用配方法解数字系数的一般一元二次方程的方法。
3、能结合具体问题检验方程解的合理性。
4、理解解方程的程序化，体会化归思想。
学习重点：
用配方法解数字系数的一般一元二次方程
学习难点：
配方的过程
学习过程：
一、课前准备
解方程
⑴x2－4x+4=5⑵4x2+12x+9=81
二、合作探究
小组讨论解方程x2－4x－1=0怎样解？
1、练一练
⑴填空
①x2+10x+=（x+）2
②x2－12x+=（x－）2
⑵要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？
2、例题精讲
解方程
①x2－8x+1=0②2x2+1=3x
③3x2－6x+4=0
3、巩固提高
⑴填空
①x2+5x+=（x+）2②x2－0.5x+=（x－）2
⑵解方程
①x2+10x+9=0②x2－x－7=0
③3x2+6x－4=0④4x2－6x－3=0
⑤x2+4x－9=2x－11⑥x（x+4）=8x+12
⑶若一元二次（m－1）x2+3m2x+m2+3m－4=0的一个根是0，求m的值。
4、随堂小结
⑴通过本节课你掌握了什么？
⑵能学会用配方法来解一元二次方程。
三、随堂检测
⑴用配方法解方程x2+8x+9=0，将原方程变形后得到的方程为（）。
A、（x+4）2=7B、（x+4）2=－9
C、（x+4）2=25D、（x+4）2=16
⑵已知分式
的值为0，则x的值为（）。
A、x=－3B、x=3
C、x=－3或x=1D、x=3或x=－1
⑶解方程
①x2－2x+1=25②2x2+3x=3
③x2+5x+7=x+11④2y2－7y+3=0
四、课外拓展
你能用配方法来证明－2x2+4x－5的值恒小于零吗？
内容：
解一元二次方程（公式法1）课型：
新授课讲学时间：
学习目标：
1、理解用配方法推导求根公式的过程
2、了解公式法的步骤，理解一元二次方程求根公式
3、能利用公式法解一元二次方程
4、通过对公式的的推导，体会“降次转换”的基本思想，体会数学的转化思想
学习重点：
运用公式法解一元二次方程
学习难点：
公式的推导
学习过程
一、学前准备：
1、用配方法解方程
①x2+4x－5=0②2x2+6x=7
2、学习疑难摘要____________________________________________
二、课堂探究：
1、任何一元二次方程都可写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），能否用配方法的步骤求方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解？
（小组讨论）
解：
移项得：
___________________
把二次项的系数化为1得：
___________________
配方得______________________
整理得：
______________________
因为4a2﹥0，当b2－4ac≥0时，开方得：
_______________
当b2－4ac﹤0时，方程___________
总结：
2、独立思考，解决问题
解方程：
2x2－x－1=0
用配方法解：
用公式法解：
3、师生探究，合作交流
例1：
解方程
①x2+1.5=－3x
解：
把一元二次方程化成一般式:
确定a、b、c的值
求出（b2－4ac）的值.
若b2－4ac≥0.利用公式
求出原方程的根
②x2－
x+0.5=0③4x2－3x+2=0
归纳:
1.用公式法解一元二次方程的步骤有哪些?
2.方程的根与（b2－4ac）的值有何关系?
利用公式法法解方程:
x（x－4）=5
4、学习体会:
①本节课你有哪些收获?
你还有哪些疑惑?
②你认为老师上课过程中还有哪些须注意或改进的地方?
③预习时的疑难解决了吗?
三、自我测试:
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________其中b2－4ac__0
2.方程（2x+1）（x+2）=6化为一般形式是________
当b2－4ac=____时，用求根公式得：
___________________
3.用公式法解方程:
（1）x2+x－6=0
（2）x（2x－4）=5－8x
（3）x（x+8）=16（4）x2=2（x+1）
4、关于x的方程x2－ax－3=0的一个根是6，则另一个根是（）
A2B－2C－6或2D6或－2
四、应用与拓展
1、不解方程你能判断方程5x2－7x－9=0根的情况吗？
2、①当x是什么数时，代数式
的值等于1？
②若分式
的值是零，则x的值一定是（）
A－2B2C±2D不等于－2
③当x为何值时，分式
没有意义？
内容：
解一元二次方程（公式法2）课型：
新授课讲学时间：
学习目标：
1、掌握公式法解一元二次方程的步骤
2、能正确的运用公式法解一元二次方程
3、能根据b2－4ac的值判定一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）解的情况，反之由根的情况判断b2－4ac的符号
学习重点：
能正确的运用公式法解一元二次方程
学习难点：
b2－4ac的值与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况的关系
一、学前准备：
1、公式法解一元二次方程的一般步骤是
______________________________
2、利用公式法解方程：
①x（x+8）=16②2x2+8x－7=0
3、一元二次方程2x2+x－6=0的根的情况是（）
A、有两个相等的实数根B、有两个不相等的实数根
C、无实数根D、不能确定
思考：
上题能不能不解方程判断根的情况？
4、预习疑难摘要_______________________
二、探究活动
1、师生探究，合作交流
例1、讨论不解方程，判断下列方程根的情况
①x2－4x+4=0②x2－3x+2=0
③x2－x+2=0
小结：
由b2－4ac的值可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况
当b2－4ac﹥0时，方程有_______________的实数根
当b2－4ac=0时，方程有________________的实数根
当b2－4ac﹤0时，方程__________实数根
反之因根的情况可判定b2－4ac的符号
例2、关于x的方程mx2－2x+1=0有两个实数根，则m的取值范围是什么？
小结：
由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况，可确定b2－4ac的符号，进而求出方程系数中字母的取值（范围）
2、独立思考解决问题
若关于x的方程2x（kx－4）－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是多少？
3、学习体会
①、本节课你有哪些收获？
你还有哪些疑惑？
②、你认为老师上课过程中还有那些需要注意或改进的地方？
③、预习时的疑难解决了吗？
三、自我检测
1、用公式解方程
①x2－7x=6②x2－2
x+3=0
2、关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围
3、若关于x的一元二次方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有两个实数根，求m的取值范围
四、应用与拓展
1、请你给出一个c值，c=_________时，使方程x2－3x+c=0无解？
2、关于x的一元二次方程（a+c）x2+bx+0.25（a－c）=0有两个相等的实数根，那么a、b、c为三边的三角形是（）
A、以a为斜边的直角三角形B、以c为斜边的直角三角形
C、以b为底边的等腰三角形D、以c为底边的等腰三角形
3、已知关于x的一元二次方程kx2－4kx+k－5=0有两个相等的实数根，求k的值及方程的解。
内容：
解一元二次方程（因式分解法）课型：
新授讲学时间：
教学目标：
（1）会用因式分解法解一元二次方程，并明确因式分解法只适用于一些特殊一元二次方程。
（2）了解因式分解法的基本思路也是将二次方程化为一次方程，既降次。
（3）经历探究因式分解法是如何使二次方程降为一次方程的过程，渗透“转化”的数学思想。
学习重点：
掌握因式分解法解一元二次方程
学习难点：
理解因式分解法解一元二次方程的意义
学习过程：
一、课前预习：
1、因式分解：
X2+6x+9=_____________4x－16x2=________________
X2－x+6=______________（2x－1）2－（3－x）2=________________
2、思考：
如果a·b=0那么a=________或b=______________.
如果（x﹣3）（x－4）=0那么_______=0或________=0既x=____或x=_____
二、课堂探究：
小组活动一：
问题3（课本）：
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以每秒10米的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：
秒）为（10x—4.9x2）米
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
（精确到0.01秒）
设物体经过x秒落回地面，这时它离地面的高度为米
可列方程…………………①
（1）解方程①除配方法或公式法来解外，你能否找到更简单的方法吗？
（2）方程①的右边为0,左边可以因式分解,得
x（）=0
于是______=0或________=0
所以x1=,x2=
（3）你能说出x1=0和x2≈2.04表示的意义吗?
x1表示的意义________________________________________________________
x2表示的意义__________________________________________________________
小组活动二:
讨论以上解放程①的方法是如何使二次方程降为一次方程的?
①你能写出因式分解法的概念吗?
_____________________________________叫做因式分解法
②因式分解法解一元二次方程的实质是__________________________
例题精讲:
解下列方程
<1>x（x－2）+x－2=0<2>5x2－2x－0.25=x2－2x+0.75
巩固提高：
用因式分解法解下列方程
①4x2－144=0②3x2－12x=－12
③3x（x－1）=2（x－1）④（x－5）2=（2x－3）2
随堂小结:
1、通过本节课你掌握了什么?
2、总结归纳配方法、公式法、因式分解法的使用范围及方法，明确配方法和因式分解法的实质是降次。
公式法是配方法推导出来的。
3、提出你的疑惑：
三、随堂检测：
1、解下列方程
（1）x2+x=0
（2）3x2－6x=－3
（3）4x2－121=0（4）3x（2x+1）=4x+2
（5）（x－4）2=（5－2x）2
2、把小圆形场地的半径增加5米，得出大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径？
四、拓展思考：
1、若依以下步骤解一元二次方程2x2+3x+1=x2－1，请问那一个步骤有错误？
（A）因式分解得（2x+1）（x+1）=（x+1）（x－1）
（B）消去x+1得2x+1=x－1
（C）移项得2x－x=－1－1
（D）演算得x=－2。
错误的序号：
_________________
2、已知ｘ、ｙ为实数，且满足（ｘ２＋ｙ２）（ｘ2＋ｙ２－１）＝１２，求（ｘ２＋ｙ２）的值
内容：
复习解一元二次方程课型：
复习课讲学时间：
学习目标：
理解一元二次方程各知识点之间的联系；
掌握一元二次方程三种解法，并会解可化为一元二次方程的分式方程；
会利用根的判别式判断一元二次方程根情况。
会利用根与系数的关系解决有关的简单问题。
学习重点：
一元二次方程定义及解法
学习难点：
一元二次方程定义及解法的灵活应用
学习过程：
一、课前反思：
1、一元二次方程的一般形式
2、一元二次方程的解法；；；
3、ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为
二、课堂探究
直接开平方法解方程：
2x2－18=0
公式法解方程：
2x2+7x－3=0.5
因式分解法解方程：
6x2+11x－7=0
下面四个方程中，有两个不等实根的是（）
A、x2－x+1=0B、x2+x－1=0C、x2－x+
=0D、x2+1=0
关于x的一元二次方程x2－ax－3a=0的一个根是6，另一个根是（）
A、2B、－2C、－6D、6
三、范例尝试
例题1：
用配方法说明4x2－12x+10恒大于0
例题2：
如果不为零的实数n是关于x的方程x2－mx+n=0的根，求m－n的值。
四、题组训练
1、配方法解方程：
2x2－2x－1=0
2、在实数范围内分解因式：
2x2－2x－1
3、已知x2－5xy+6y2=0,并且xy≠0，求
的值。
4、k取什么值时，关于x的一元二次方程x2－3x+k=0
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