复变函数论教学大纲.docx
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复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质
《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求
（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程
先修课程：
数学分析，解析几何，高等代数
后续课程：
数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等
4、教学时数分配表
章 节 目 录
课时分配
第一章
复数与复变函数
第一节复数
2
8
第二节复平面上的点集
2
第三节复变函数
3
第四节复球面
1
第二章
解析函数
第一节解析函数的概念与柯西-黎曼方程
4
12
第二节初等解析函数
2
第三节初等多值函数
6
第三章
复变函数的积分
第一节复积分的概念及简单性质
2
10
第二节柯西积分定理
3
第三节柯西积分公式及推论
3
第四节解析函数和调和函数的关系
2
第四章
解析函数的幂级数表示法
第一节复级数的基本性质
2
12
第二节幂级数
3
第三节幂级数和函数的泰勒展式
3
第四节解析函数零点的孤立性及唯一性定理
4
第五章
解析函数的洛朗展式与孤立奇点
第一节解析函数的洛朗展式
4
12
第二节解析函数的（有限）孤立奇点
4
第三节解析函数在无穷远点的性质
2
第四节整函数与亚纯函数的概念
2
第六章
留数理论及其应用
第一节留数
4
14
第二节用留数定理计算实积分
4
第三节辐角原理及其应用
6
总 课 时 数
68
5、使用教材：
《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段
（1）学与思的结合：
既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；
（2）听与说的结合：
要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；
（3）知与做的结合：
通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；
（4）理论与实践的结合：
通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
7、考核方式
本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。
平时作业成绩占20%，考试成绩占80%。
8、主要参考书目
1、《复变函数学习指导书》，钟玉泉，高等教育出版社。
2、《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社。
3、《复变函数》史济怀，刘太顺，中国科学技术大学出版社。
4、《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。
二、课程内容
第一章：
复数及复平面（8课时）
第一节复数（2课时）
1、教学目的和要求
理解复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系，复数的模，辐角，三角表达式，
复球面与无穷大。
2、教学要点与知识点
教学要点：
复数与平面上点一一对应关系，复平面在几何中的应用；复平面与平面向。
量的关系，复球面与无穷大。
知识点：
复数与平面上点一一对应关系。
3、重点和难点
重点：
复平面在几何中的应用；复平面与平面向量的关系。
难点：
复平面在几何中的应用；复球面与无穷大。
第二节复平面上的点集（2课时）
1、教学目的和要求
理解初步概念：
内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念。
2、教学要点与知识点
教学要点：
聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念
知识点：
聚点、约当曲线、区域的概念。
3、重点和难点
重点：
聚点、约当曲线、区域的概念。
难点：
复角、单、复连通区域的概念。
第三节复变函数（3课时）
1、教学目的和要求
理解复变函数的定义，掌握复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
2、教学要点与知识点
教学要点：
复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
知识点：
复变函数的极限、连续。
3、重点和难点
重点：
复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。
难点：
有界闭集上连续函数的性质。
第四节复球面与无穷点（1课时）
1、教学目的和要求
理解无穷远点复平面、扩充复平面的定义。
2、教学要点与知识点
教学要点：
扩充复平面的定义及的
有关概念。
知识点：
扩充复平面的定义
3、重点和难点
重点：
的邻域及内点。
难点：
及其邻域。
第二章：
复变函数（12课时）
第一节解析函数的概念与Cauchy—Riemann方程（4课时）
1、教学目的和要求
熟练掌握解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、Cauchy—Riemann方程。
2、教学要点与知识点
教学要点：
复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系，函数解析的条件。
知识点：
解析函数的概念。
3、重点和难点
重点：
解析函数的概念，Cauchy—Riemann方程。
难点：
函数解析的判定。
第二节初等解析函数：
指数函数、三角函数与双曲函数（2课时）
1、教学目的和要求
掌握基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处。
2、教学要点与知识点
教学要点：
指数函数、三角函数与双曲函数。
知识点：
指数函数。
3、重点和难点
重点：
基本初等函数的定义和性质。
难点：
指数函数性质与相应实函数的同与不同之处。
第三节初等多值函数：
对数函数、幂函数、根式函数，一般幂函数，一般指数函数，具有多个支点的情形（6课时）。
1、教学目的和要求
理解多值函数的概念、分支、分支点的概念及对数函数、幂函数、根式函数的性质。
2、教学要点与知识点
教学要点：
初等多值函数，对数函数，根式函数的多值性。
知识点：
初等多值函数
3、重点和难点
重点：
多值函数的概念，分支、分支点的概念，多值函数分割为单值解析分支。
难点：
辐角函数、多值函数的分支点。
第三章：
复变函数的积分（10课时）
第一节复积分的概念及其简单性质（2课时）
1、教学目的和要求
掌握积分的定义、性质、会将光滑曲线上的连续函数的积分化成定积分计算
2、教学要点与知识点
教学要点：
积分的定义、复积分的计算，性质。
知识点：
积分的定义、复积分的计算。
3、重点和难点
重点：
复积分与定积分和线积分的联系与区别。
难点：
复积分的计算。
第二节柯西积分定理（3课时）
1、教学目的和要求
掌握柯西积分定理及其证明、不定积分、柯西积分定理推广、会用柯西积分定理计算。
2、教学要点与知识点
教学要点：
柯西积分定理，柯西积分定理推广，周线和复周线。
知识点：
柯西积分定理。
3重点和难点
重点：
柯西积分定理和柯西积分定理推广及计算。
难点：
柯西积分定理证明
第三节柯西积分公式及推论（3课时）
1、教学目的和要求
掌握积分公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式、Liouville定理；Morera定理。
2、教学要点与知识点
教学要点：
柯西积分公式及计算，解析函数的无穷可微性、柯西不等式、Liouville定理、Morera定理。
知识点：
柯西积分公式。
3、重点和难点
重点：
柯西积分公式及计算，解析函数的无穷可微性、Morera定理。
难点：
解析函数的无穷可微性。
第四节解析函数与调和函数的关系（2课时）
1、教学目的和要求
理解调和函数的性质，解析函数与调和函数的关系，会利用调和函数构造解析函数。
2、教学要点与知识点
教学要点：
解析函数与调和函数的关系，利用调和函数构造解析函数。
知识点：
解析函数与调和函数的关系。
3、重点和难点
重点：
解析函数与调和函数的关系，利用调和函数构造解析函数。
难点：
共轭调和函数，解析函数与调和函数的关系。
第四章 解析函数的幂级数表示法（12课时）
第一节复级数的性质、收敛性（3课时）
1、教学目的和要求
理解复级数的定义及其收敛条件，解析函数项级数的一致收敛性、和实级数收敛的联系。
2、教学要点与知识点
教学要点：
复级数收敛性，解析函数项级数的一致收敛性，内闭一致收敛性。
知识点：
复级数收敛性。
3、重点和难点
重点：
复级数收敛性，解析函数项级数的一致收敛性和实级数收敛的联系。
难点：
魏尔斯特拉斯定理。
第二节幂级数（2课时）
1、教学目的和要求
掌握幂级数的收敛范围及性质，会计算幂级数收敛半径。
2、教学要点与知识点
教学要点：
幂级数的敛散性，幂级数收敛半径，幂级数和的解析性。
知识点：
幂级数的敛散性。
3、重点和难点
重点：
幂级数的敛散性，幂级数收敛半径。
难点：
幂级数收敛半径。
第三节解析函数的泰勒展开式（3课时）
1、教学目的和要求
掌握泰勒定理，能熟练应用泰勒定理将函数泰勒展开。
2、教学要点与知识点
教学要点：
解析函数的泰勒展开式，幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。
知识点：
解析函数的泰勒展开式。
3、重点和难点
重点：
解析函数的泰勒展开，幂级数的和函数在收敛圆周上的状况。
难点：
解析函数的泰勒展开。
第四节解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性定理（4课时）
1、教学目的和要求
理解解析函数的零点孤立性，并掌握解析函数唯一性定理的内容，意义，并掌握其证明思路。
2、教学要点与知识点
教学要点：
解析函数的零点孤立性及解析函数的唯一性，最大模原理。
知识点：
解析函数的零点孤立性。
3、重点和难点
重点：
解析函数的零点孤立性，零点的阶，解析函数的唯一性。
难点：
解析函数的唯一性
第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点（12课时）
第一节解析函数的罗朗展开（4课时）
1、教学目的和要求
掌握罗朗定理及解析函数的罗朗展开，理解洛朗级数和泰勒级数的关系。
2、教学要点与知识点
教学要点：
罗朗定理及解析函数的罗朗展开，理解洛朗级数和泰勒级数的关系。
知识点：
罗朗定理及解析函数的罗朗展开。
3、重点和难点
重点：
罗朗定理及解析函数的罗朗展开。
难点：
解析函数的罗朗展式。
第二节解析函数的孤立奇点（4课时）
1、教学目的和要求
熟练掌握孤立奇点的分类，性质，掌握奇点的判定定理和Picard定理
2、教学要点与知识点
教学要点：
孤立奇点的分类，性质，和Picard定理。
知识点：
孤立奇点的分类，性质。
3、重点和难点
重点：
孤立奇点的分类，性质。
难点：
Picard定理。
第三节解析函数在无穷远点的性质（2课时）
1、教学目的和要求
理解解析函数在无穷远点的性态，和有限孤立奇点的关系，掌握奇点的判定定理。
2、教学要点与知识点
教学要点：
解析函数在无穷远点的性态，和有限孤立奇点的关系，掌握奇点的判定定理。
知识点：
解析函数在无穷远点的性态
3、重点和难点
重点：
解析函数在无穷远点的性态，和有限孤立奇点的关系。
难点：
奇点的判定。
第四节整函数和亚纯函数的概念（2课时）
1、教学目的和要求
掌握整函数的概念及分类，了解亚纯函数的概念及其于有理函数的关系，
2、教学要点与知识点
教学要点：
整函数的概念及分类，亚纯函数的概念。
知识点：
整函数，亚纯函数
3、重点和难点
重点：
整函数，亚纯函数的共性和个性。
难点：
函数的分类，奇点和整函数，亚纯函数的关系。
第六章 留数理论及其应用（14课时）
第一节留数（4课时）
1、教学目的和要求
掌握函数在有限点和无穷点留数的概念及留数定理及留数的求法。
2、教学要点与知识点
教学要点：
函数在有限点和无穷点留数的概念及留数定理及留数的求法。
知识点：
留数的概念及留数定理。
3、重点和难点
重点：
留数的概念及留数定理及留数的求法。
难点：
留数定理及留数的求法。
第二节用留数定理计算实积分（4课时）
1、教学目的和要求
掌握利用留数定理求实积分的方法，应用多值函数的积分。
2、教学要点与知识点
教学要点：
计算积分路径上没有奇点的广义积分，积分路径上有奇点的积分
知识点：
用留数定理计算实积分。
3、重点和难点
重点：
用留数定理计算实积分。
难点：
用留数定理计算实积分。
第三节辐角原理及应用（Rouche定理）（6课时）
1、教学目的和要求
掌握辐角原理及Rouche定理及应用，并会应用它们求方程在指定范围内的零点个数、能熟练证明代数学基本定理。
2、教学要点与知识点
教学要点：
辐角原理及Rouche定理及应用，并会应用它们求方程在指定范围内的零点个数。
知识点：
辐角原理及Rouche定理。
3、重点和难点
重点：
辐角原理及Rouche定理。
难点：
辐角原理及Rouche定理。
升级会员 